Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

71.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 7017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Отметим, что^слагаемые в (3, 3, 9), содержащие постоянные Ckl Dk, a/t, P/i, являются бигармоническими функциями и введены, чтобы удовлетво рить граничным условиям (3, 3, 3) и (3, 3, 4). Члены, содержащие по стоянные Втп и Fmn, частные решения неоднородного уравнения (3, 3, 1). Подставляя Ф и w в условие совместности (3, 3, 1) и учитывая, что

	/	d*w	\ 2	d 2w			т и х	пяу
	\	д х д у	)	д х 2	ду*	2 j 2 J	A™cos -----cos— —
	\	д х д у	)	д х 2	ду*	2 j 2 J	a	b
						m= 0 n—0
где Dmn — квадратичная функция от параметров Ат,и находим
F	— ———А		2 m — 1		\ 2 Г/ 2 т — 1		V , ( 2 п — 1	\ 2 - - 2	(3.3.13)
F	— ———А								(3.3.13)
тп	R	”
			в-=EhD4			( Jf - ) 2+(-г-)Т			(3.3.14)
			в-=EhD4			( Jf - ) 2+(-г-)Т

При таком выборе постоянных Втп и Fmn условие совместности удовле творяется точно. Постоянные Ск, Dh, ак, (3/* определяются из статических граничных условий. Точное удовлетворение их важно, так как для ин тегрирования (3, 3, 2) мы будем применять метод Бубнова — Галерцина, требующий удовлетворения статических граничных условий. Под ставляя (3, 3, 8) в (3, 3, 3) и (3, 3, 4), для ф получим граничные условия

6%-	II ©
-	II ©
^

^= 0 ,

dx2

^= 0 при x = ± a,

дхду

** = 0 при у = ± b. dxdr/

(3,3,15)

(3,3,16)

Приведем некоторые формулы, необходимые для дальнейшего изложе ния.

£k,m		j Ek (JC) cos	dx =-• ( -			l)'"+l		4a4d	k? (a2k2+ b2m-)~2,		(3,3,17)
								я
		ek 2m-l =		j	Ek(x)cos			—	Jixdx —
									kna
		4ab2 (2 m -	1 ) Ek (a) [4 a2k2+				(2 m -	l)2 b2] - ba2k2 cth —			(3,3,18)
- --	(— !)«+>			я [4a2k2 +			(2 m — l )2 b2\2				(3,3,18)
- --	(— !)«+>

					a		/ v	tnnx .
		F2k—\,m -			Г г		/ v	tnnx .
		F2k—\,m -		J hk-		1(X) COS			d X =
= ( -	1)"	4a2b2				(2ft— 1) яа			(2fe — l )2 a2 — 4m2fe2 -
= ( -	1)"	я 2 [(2ft — l)2 a2 -Ф- 4m262]			b sh		2ft—1 • я a			ф	4m2ft2
									(2ft — l )2 a2	ф	4m2ft2

			а
	V	-ь		(х) cos		лх dx =
	V	-ь	= l /2fc- l(;у ’			2а
						2k — 1
			8(2m — 1) (2*— 1)a3b3cth----—----яа					(3,3,20)
	=	( - 1 ) "	я2 [(2k— I)2 а2 -ф- (2т — 1)262]2					(3,3,20)
	=	( - 1 ) "

Аналогичные интегралы
&l . m =	j E°k (у) COS		dy, е°,	2m—i -	j	Eh (у) cos	2m— ■— ъу dy,
	—b			2	-6
Ф-А- 1 ,m=	J Ф2А- 1	(y) COS	dy,	Ф2А_ 1 2m-T = J ф2 * - 1			(У ) COS	Л t/d y ,
	- b				2	( ~b

получаются соответственно из e*.m, e 2m - i , F2k-i.m> Fn.	1,	2m - i
A.---—	1,	2

замены a na b, b на а.

Далее, интегрированием по частям и на основании условий получим

путем

(3,3,12)

J El (х) COS

dx = —

ek.m,

(3,3,21)

. 2 m — 1

/ 2 m — 1

2m—1

(3,3,22)

(X)

sin ---------- Jixdx =

— [ -----------

] тег

2Jfe—1

Аналогичные

формулы

имеют

место

и для

функций

Е\

(#)» Ф л—i(у),

но с заменой а на b, b на а. Подставляя функцию ф в (3, 3, 15)

и (3, 3,

16)

и приравнивая

коэффициенты Фурье нулю с учетом

(3, 3,

17) —(3,

3, 22), получаем бесконечную систему линейных алгебраических урав

нений для определения коэффициентов С^, Dh, а/*, Р/*.

оо

С1Е1(а) +

( -

1 y+kDkk3(а2/2 + ЬЧ*)~* =

( -

1)'" Вм„

(3,3,23)

А=1

т=0

оо

О Д

(6) +

( - 1)'+*С*А» (a2k2+

62/2) - 2 =

( -

1)" Б|т,

(3,3,24)

т=0

2Л — 1 ,

ОО

4а262

Р* (2k — l)2 (21 — 1)cth —

яб

( - 1)'+А

а1^21—1(а) +

[(2й — l)2 62ф- (21 — l)2 a2]2

2а

			00			Is				2 ft— 1
Р/Фг/_1Ф) +		4а262. V I				ak (2k-		l)2 (21-1) cth--------- na
Р/Фг/_1Ф) +		л	2 j ( - ' ) i+k-				((2ft — 1)2а2 -ф- (2/ — l)2 ft2]2
			4=1
		= ~		>	( - ! ) W /4 ( 2 A - 1 ) ,						(3,3,26)
где
	f'2[_ , (a) = 0,5 -f - 2^					1	na ^ sh - - 1^ ■— лаЧ
			Ina			Ina	0+Ina			O '
	Et(a)		Ina		cth	Ina	0+Ina		^	Ina
Фг/_1 Ф) и ЩФ)		получаются из f'2l_x(a) и Et (a)							заменой а на b, b на а.
Необходимо	отметить, что				неизвестные			параметры С*, Dk и с^, 04
разделяются	в отдельные			системы			(3, 3, 23),		(3, 3, 24) и		(3, 3, 25),
(3, 3, 26) вследствие			предусмотренного					выбора		функции	Ek(x) и
/2;-1 (х), удовлетворяющих условиям							(3, 3, 12).

2. Уравнения для определения параметров прогиба

Умножая уравнение равновесия (3, 3, 2) на 6ш и интегрируя по пло щади поверхности панели, получим

а	Ь	d*W	д2ф	d2w	1	д2Ф
	д2ф	d*W	д2ф	d2w	1	д2Ф
jI( Dv2v2№ ду2		дх2	дх2	ду2		дх2	+
- а	- b
	+ 2 дРФ	d2w — qj бwdxdy = 0.
	дх ду	дх ду

Интегрированием по частям в силу выбора функции w в виде (3, 3, 7) найдем

а Ъ

с^ф

д2w

д*Ф

d2w

d2w .

(

—aШ

а2ф

ду2

дх2

ду2

дх ду

дх2

)

—b

дх ду

dPw

d2w

д2ш

dPw

=И—а — Ь ф6[дх2

‘

ду2

\ дхду

у/

~~дх2 ~

+ -

•

ХЛ

ф J^l-cos (/i, x)ds,

(3,3,27)

дх

где С — контур панели, п — внешняя нормаль

к контуру, 5 — элемент

дуги контура С.

б силу симметрии, этот контурный интеграл равен

o J

COs

( n

^ j s

[ *= - £f

- ] *

(3.3,28)

-b

х = ± а

И*

Учитывая это, уравнение (3, 3, 27) приводим к виду

d2^

d*w

— Фб

dx*

ду2

1\d x d y

)

—а —Ь

H ® -

]

(3,3,29)

—b

*=±a

Отсюда, подставляя выражения Ф и ш,

находим

Dabn*

2 r — l

2 s —

\ 2 1 г

А" _

( _ 1),+.---------1225»--------- +

Г (

( J L -

V I*

|Л

о )

} J

я* (2г— 1) (2s — I)

2г — 1

ОО

i :

(3.3,30)

Н------:— Я ( ~ i y i s +

4а

т=о л=о

где введены

обозначения

l m n= bznmCn + ae°mnDm + аЪВ,пп —

[b (— 1)пРшакь>(k, n) +

k = \

(— 1)шаФ*,ярйю (k, m)]

(— 1 )m+nFlka>(l,m)a(k, n), (3,3,31)

/ = 1

k=\

= (-

1)я-

- %

D’ +

2“M -

f S { < - 1>4т г ? г +

k=\

( -

1>'”

JI2 (2k

“ {k’ m) [Ф24- ‘ (b) ~

11 } +

+	16а6 VI VI /		i	® (l, m) Fik
+	- ^	S S ( -	i >*+i	2 k — 1
		/-1 A=1		2 k — 1
		/-1 A=1
'*■ = < - '>" W Л	^	C” + Ш В °"		k= \ ~ й Ь г {<-»

	T ^ V	V l - 1)'+"		F a ,
=	л * _ г р,>.	° w ( - » y	+ p ,„.	s w - i r	i _
rs	я L	2r — 1	т Ий	2 s - 1	J

(3,3,32)

(3,3,33)

— — У	(— 1)* [бсо (s, k) e 2r_i Cft + atо (г, &) e° 2s-i D J +
Jt	«, ——	Я, —„—

+ ЪР

2г—1ccs -f аФ

2s—1Pr + abFn

16а6 S

( _ 1)«+"ш (Г> m) (0(s,n)Bmn,

S. —о—

я2

т = 0 п=0

(3,3,34)

причем В00 = О,

/л " (

1)Л+1 я(2п— 1)Рг ~ 2b3plQ (,Z) +

+ 2

[ ( -

Dft+1

Сл +

( -

l)*DAe°ft 2л-—l] —

Л = 1

—

i r S

(/I. k)Bmki

(3,3,35)

где

га —О

fc = 0

( -

l)s -----------------,

Q (S)

( — -

-l )-!*-- -

(2s— 1)а— 4na

- Г-i - -

- -®-- --

-1 -

(3,3,36)

я(2s—1) l

(2s—1)2 яа J

Пример 1° Ограничимся сначала для

w и Ф лишь одним

членом

рядов (3, 3, 7)

и (3, 3, 9):

пх

пи

(а)

w = wQCOS — - cos——,

2а

ф =

Ci|£,{*)cos-^- +£^(i/)cos-y-J + a, |/ i (*)cos~ ~

-f <р,(у)cos -^-1 +

+ B»1f c o s ^ +

c o s i W

u « * ^ c o s ^ + - ^ l

Ро**

где

a J

2а

В о г = -

v&Eh

. Рц =

a2w0Eh

n?R

Для квадратной панели Ск = й ку aк='£>к только при условии, если w выражается формулой (а). При других приближениях для w указанные равенства не соблюдаются. В этом случае уравнение (3, 3, 23) примет вид

Рп*	Wо	16аар	,	я2	г.	^	= О,	(б)
4а2		~п2	h	4a?R	11
где / ю , /п, /i	легко	вычисляются			по формулам	(3,	3, 31) — (3,	3, 35).

После подстановки их значений в (б)	и введения параметров кривизны
и давления
4аа	16а*р
T h '	£/i4
получим

4~' = л2[ 48(Г_ v»~ + 0.00459/С&- 0,0345/СЛ2 + 0,4013£»

Отсюда для критической кривизны находим

К, > 34 .

При /С* = 77 (v=0,3) имеем

£ = 2,9, <7; = 37,5я2, £2 = 8,3.

Рассмотрим задачу, взяв в выражении Ф два члена рядов (3, 3, 9).

Вэтом случае найдем

Я.= я2 [ 48(1Я^ ?) + 0,0045*S- 0,0837/С,£2 + 0,3964£3]

Отсюда К, > 40. При /С, = 77	имеем
Si = 3,2,	<7' = 39,6я2; £2 = 7,7.

Пример 2° а =26.

Ограничиваясь лишь одним членом рядов для Ф, получим

<7. = -у -[ 1~536(Г			^ Г	+ ° ’00122^			- °-02404^ 2+ 0.1072£3j ,
откуда К, > 54.
При ?С. = 77 имеем
			Si =		3,5,	q', = 6,7л2,
			£г =		8,03,	q2 =	4,2я2.
Взяв в рядах (3, 3, 9) по два члена, найдем
Я. = 4 -	Г	1ИЛ"*	V	S + 0,00121/C^S — 0,0206/C.S2 + 0,1099£31 ,
2	\|_	15«Зо (1	v )				J
					К, > 148,7.
При К* = 160 имеем
			Si = 9,4;			Р; =	54,877л2,
			S2 =	10,6;		Р2 =	53,784я2.

Если удовлетворить статическим граничным условиям в среднем, т. е. если положить Ch = Dh = ak = % = 0, то при а = 26 получим

Я. = - у - [ 15362(5,t _ v2) S +	0.00ВД5С -	0,1333iC.S2 + 0.8086S3J ,
	К . >27 .
При /С* = 77
Si =	2, Р, = 14,09л2,
£2 = 6,46, Р2 =		— 3,85л2.

Удовлетворение статических граничных условий в среднем приво дит к понижению критической кривизны и повышению верхнего и ниж-

него критических давлений, т.е. повышению изгибной жесткости панели,

в результате чего хлопку подвержены более пологие панели.					кривизна
Например,	в случае квадратной		панели	критическая	кривизна
26, а при	К*= 77 для параметров прогиба и давления получим
	= 4,43,		179,2я2,
	£г = 9,83,	q\ =	105,Зя2.
Следовательно,	здесь получаются	завышенные		результаты	для пара

метров прогиба и давления.

Члены, содержащие гиперболические функции, существенно влияют на напряженное состояние у краев Панели. Так, например, для квадрат-

„	f a	Ь \
ной пластинки напряжение в точке I —		, — 1равно

а* = 0,003 -^-wlEh,

если ограничиться одним членом ряда в бигармонических функциях. Без учета этих членов получится

о* = 0,031

wiEh.

Если взять два члена ряда в бигармонических функциях, то

о* = — 0,001 — w\Eh.

При удовлетворении граничным условиям в среднем получается равно мерное распределение напряжений по сечениям

а именно:		х — const,	у =	const,
а именно:
п , / я V	WoEh	щ	~	Dп	,,	{	пя \ 2	™0Eh	^ ях
п , / я V	Шб£ "	ПУJ	~	/J	1	/	V1	3 2	. сод----
								3 2

3. Шарнирно-закрепленная прямоугольная панель под действием внешнего давления

Задача сводится к определению функции напряжений и функции прогиба из нелинейных уравнений (3, 3, 1) и (3, 3, 2) при граничных условиях

w = 0	при х = ± а,	у =	± 6,	(3,3,37)
-Jjf- = 0 при	х — ± й,	= 0	при у = ± Ь
дхг	оу2

и граничных условиях для тангенциальных перемещений:

и= 0 на кромках х= ±а,- у= ±Ь ,

о = 0 на кромках х= ±а, у= ±Ь .

Пользуясь законом Гука

ди 1 / д2Ф

Их Eh [ dij2

V д2Ф '\ ___ L(. dw
дх2 ,)	2 \ Их

ди

/»,

)

(3,3,39)

ду

Eh [

дх2

ду2

V ду

для и, v получим

*> - i - 5 - Ф

- * - £ ) - т Ш

+ f h

<з А 4 о >

Поэтому, на кромках х= ± а будет выполняться условие

дЩ>

д*Ф

л-н ду2

дх2 ) - т

(

Л = 0'

<3’3 ’41>

а на других кромках у= ± Ь должно выполняться условие

Я - 5 - ( - £ - ’ - £ ) - т ( 1 Г М

] * - 0 '

<З А 4 2 >

Из равенства

и = О при у= ± Ь

вытекает равенство

нулю касательной

производной

на этой кромке, а из условия и= 0 при х = ± а уело-

вне

----=

ду

Таким образом, два других граничных условия принимают вид

д2Ф

д2Ф \

d w V

ду2

дх2 J

дх

д2Ф

)

----(

----------

дх2

------ ду2

)

( ------

ду

)

/ ,

п	. ,	/ 0 Q
v	~	к
. w	п
Н------ =	0 п р и л '= + а .
R	У	“

Форму прогиба мы выберем так же, как в п. 1, в виде ряда (3, 3, 7). Тогда условия (3, 3, 37) выполняются. Кроме того,

dw	г,	у =	±	. 1	d2w	= 0 при х = ± а.
----=	0 при	у =	±	Ь,	------	= 0 при х = ± а.
дх	^	*			ду2

Поэтому граничные условия (3, 3, 43) принимают вид

д2Ф	д2Ф	Л	при у =	,	,	(3,3,44)
ду2	—v — -	= 0	при у =	±	Ьу	(3,3,44)
ду2	дх2
д2Ф	д2Ф	л	при х =	± а.		(3;3,45>
дх2	- v ----- =	0	при х =	± а.		(3;3,45>
дх2	ду2

Это означает, что ребра жесткости на контуре не растяжимы и не изги баются. Это обусловлено выбором функции w. Функцию напряжений возьмем в виде

00								bny
®-Е[ CkEk (х) cos -£SL + DA£° (y)c				o	s +	y*ch-	cos-	bny
®-Е[ CkEk (х) cos -£SL + DA£° (y)c				o	s +	y*ch-	cos-	b "f"
Л=1
+ ch ■					2m — 1		2n — 1
+ ch ■	^ « " т	-	1 + Ё Ё	'	- -2a	JUTCOS	2b	- n y +
			m=l n.—\
+ S	S		C O S - ^ - + -L (pi y 2 + p ^ * ) +
m=0л=0
	+	-	+	Я ±Р * y ,				(3,3,46)
			2 4	о

где £*(*) и E°k(y) даны (3, 3, 10), коэффициенты Fmn и ВШ71 выра жаются формулами (3, 3, 13) и (3, 3, 14), члены, содержащие постоян ные у и и б/t, являются гармоническими функциями, а полином четвертой степени — функция бигармоническая. В силу этого условие совместнос ти удовлетворяется точно. Квадраты производных от w выражаются формулами вида

1 / dw \ 2	оо	оо	тлх	nny
	V I	V I

		Т	Ы	)	= 2 .	X	A-	cos —	'=“	■
					m —0 n —0
		1	/ dw	\ 2	OO	OO	л”	т я х		tmy
		1	/ dw	\ 2	V4	V I	л”	т я х		tmy	(3,3,47)
		T	( I T	)	= 'S	V	^	COS—	COS-		(3,3,47)
		T	( I T	)	= 'S	V	^	COS—	COS-
					m = 0 л = 0
где Лтл и Лт„			— известные квадратичные функции от Атп.
Внося это в (3, 3, 41) и (3, 3, 42), будем иметь
		Э » Ф	dx —v				— £/za^j /4о„ cos			ЯШ/	= 0,
		Iдуг						л=О		6
		Iдуг						л=О
				6
				о	дх2		V ду Л=6
				о
\	1		тля								= 0.
~ E hb \		Л„ю cos —-----									= 0.

т = 0

(3,3,49)

Неизвестные постоянные С/,, Dh, у*, 6ft, Рь Рг, а и р определяются из гра ничных условий (3, 3, 44), (3, 3, 45), (3, 3, 48) и (3, 3, 49). Для этого так же, как и в п. 1, правые части этих уравнений разлагаем в ряд Фурье и приравниваем коэффициенты Фурье нулю.

Таким образом, для определения постоянных С*,, D/t,

Pi> Рг>

§ получается

система

уравнений:

оо

2пФЬ У] (— 1 y+kk3Ck

к2 — vt2J (а?к2 + ЬЧ2)~2 +

k = \

+ f

(1 + v) а21 ] ( -

l)'+ft+lyft

a 2k2

62Za

s h - ^ -

(1 + v) a, ch ^

*=i

[£?' (6) +

£? (6)] A +

( -

1У+Ч1 + 2v)

а +

,),+' w

i r

n£=0

< - *>"

v,>) s -

(ЗЛ50>

2лай2 2

(— iy+A63D* f -£■62 — vlA (b2k2+ a2l2)-2 +

fc=

nb2(1+V)

( _

l)l+k+l A

£ ------sh J ? L +

№ _([±А. Y ch

lna

*=i v

Y/cn —r -

;

(<fl2/2- f ^ 2

[ e: (“) +

v( T ) 2 £‘ <“> ] c ' +

<“

1),+'

< - 1)1+11( ‘ + 2v)

“

£ <

1)m (

- ^

- v,2) s -

(3’3’51)

m=0

t S

l r

' +

' f

. »

( ( - • ) • ( 2 ,- ■i)-

m= 1 n =

«1 (nl) U P -

v - £ (2m -

1 )> ] j —

J-

B„ -

-i- a»£M iloz

taC, + J

i t t i L

Y, sh -2=2. + ( -

D-+. (2 +

v ) £ £ .+

/ _ n /+

2л2г2

J 2 n 2l2

(3,3,52)

1=1 rt—1

l)m(2m — 1) — (O(m, 0/) J^4/2-—v v| -£(■2(2n« —- ll)2jj —

n 2P

— abEhAlo +

tebEh

y i

y i ( -

l^+Uiw.fi) (m, 1)

n*Rя2Я

Z j

2n — 1

m=1л=1

rtD, +

§ sh

—

4- ( _

iy + i

/2 +

2я2/2

+ (— iy -н

fl.*A

' a

2ля2/21 ’

(3,3,53)

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 7017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
13.11.202322.72 Mб0Обнаружение и исправление ошибок в дискретных устройствах..pdf
#
12.11.202312.6 Mб16Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации..pdf
#
19.11.202329.24 Mб0Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях..pdf
#
12.11.202312.55 Mб0Обобщенная теория анизотропных оболочек..pdf
#
12.11.202317.06 Mб13Обогащение полезных ископаемых..pdf
#
19.11.202371.66 Mб16Оболочки и пластины..pdf
#
12.11.202321.81 Mб5Оборотное водоснабжение химических предприятий..pdf
#
12.11.202316.36 Mб4Оборудование для добычи нефти и газа. Т. 1.pdf
#
19.11.202328.38 Mб8Оборудование для добычи нефти и газа..pdf
#
19.11.202335.36 Mб138Оборудование для дуговой электрической сварки. Источники питания дуги.pdf
#
12.11.202312.57 Mб0Оборудование для подготовки материалов..pdf