Условие свободного опирания в точке i запишется в виде
Wi = О, |
d2w |
(3,12,24) |
= 0 . |
дх2
Если аналогично предыдущему вторую производную аппроксимировать с погреш ностью различного порядка, получим следующие формулы для значения прогиба в за контурной точке:
при аппроксимации с погрешностью ~ №
|
|
|
|
|
wi+1 = — w ult |
|
|
|
(3,12,25) |
с погрешностью |
~ Л 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wl+1 = |
- |
6 |
Щ-1 — |
|
JJ ^-2+ ^ Щ-3- |
(3,12,26) |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
При решении задач методом конечных разностей |
обычно пользуются |
формулой |
(3, 12, 22) в случае |
защемления |
контура И' формулой |
(3, 12, 25) в случае свободного |
опирания. Формулы |
(3, 12, |
23) и |
(3, 12, 26) |
|
использовались в работе [108, 166], где не |
только краевые условия, но и дифференциальные уравнения задачи аппроксимировались |
с повышенной точностью. При этом значения функции прогиба во втором законтурном |
ряду определялись по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в случае защемления |
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
= = 4 0 д о / „ 1 — |
|
1 5 2^ ■ ф’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
з , |
|
( 3 , 1 2 , 2 7 ) |
в случае свободного опирания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
75 |
16 |
|
(3,12,28) |
|
|
® +2 = ‘И m - i — у |
|
т -а 4 у |
m - i- |
|
|
|
|
|
§ 13. КОСОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА ПОД РАВНОМЕРНОЙ НАГРУЗКОЙ |
|
Рассмотрим |
задачу * исследования напряженного состояния параллелограммных |
пла |
стин методом сеток [112]. Для полного совпадения контура |
пластины с узлами |
сетки |
выбираем параллелограммные сетки. В этом слу |
|
|
|
|
|
чае удобно применить косоугольную систему |
|
|
|
|
|
координат w, |
v (рис. 3.34), образующих |
между |
|
|
|
|
|
собой угол ср и направленных по сторонам пла- у |
|
|
|
|
стины. Ось и совмещается с осью х ортогональ |
|
|
|
|
|
ной системы координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные уравнения изгиба пластины, а |
|
|
|
|
|
также выражения для силовых факторов запи |
|
|
|
|
|
сываются в косоугольной системе координат по |
|
|
|
|
|
общим правилам замены переменных в диффе |
|
|
|
|
|
ренциальных выражениях. |
равновесия |
может |
|
|
|
|
|
Основное |
уравнение |
|
|
|
|
|
быть представлено в виде двух уравнений вто |
|
|
Рис. 3.34 |
|
|
рого порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2M |
зт |
|
|
d*M |
|
■q sin2 ф, |
(3.13.1) |
|
|
du2 |
|
|
cos ф ф |
|
|
|
dudv |
|
dv2 |
|
|
|
|
|
|
|
d2w |
d2w |
|
|
d2w |
■■ — |
M |
. 0 |
(3.13.2) |
|
|
du2 |
- 2 —■—— cos ф -ф- |
do* |
— |
sin2 q> |
|
|
dudv |
|
|
|
|
|
|
|
или одного уравнения четвертого порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
d*w |
d*w |
|
cos ф 4-2(1 -ф* 2 cos2 ф) |
d*w |
|
|
|
du4 |
du3dv |
duW |
|
|
|
|
|
d*w |
k |
|
d*w |
q . |
|
|
|
- 4W cos<p^ _^ " = '5 's,n 4)1
зависимости (3, 13, 1), (3, 13, 2) записываем приближенно в конечных разностях для регулярной параллелограммной сетки (рис. 3.34). Используя обычную аппроксимацию с погрешностью О (Л2) для точки О, получим
4М 0 (1 4 |
А2) - |
2 (М3 4 М 4) — 2 (А*! 4 М 2) А2 4 |
А (М8 4 |
М7 - |
|
|
|
— М ъ— Мб) cos Ф = |
2qa2 sin2 ф, |
|
(3,13,4) |
где А = а/6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,13,5) |
w0 [4 (1 4" А2) 4 |
2 4 |
2А4 4 A.2 cos2 ф] — |
4 (1 |
4 А2) [доз 4 |
4 A2 |
4 |
^г)] — |
— 2А (A2 cos ф 4 - cos ф — 2) (w54 |
ш6) 4 |
2А (A2 cos ф 4 |
cos ф 4 А) (оу? 4 |
щ) 4 |
4 - А2 (А2 — 0 ,5 cos2 ф) (ку9 4 |
WM ) 4 - (1 — 0 ,5А2 COS2 ф) (оуц 4 |
a>u) — |
— (ш13 4 tt>14 — Щь —■^1в) A3 COS ф — (W tf 4 0^18 — “>19 — w2o) A COS ф 4 |
4- 0,25 (tc>2i 4 ^224 |
4 ^ 24) A2cos2 ф = |
q |
|
|
— a4 sin 4 ф . |
|
Рассматривая контурные условия для различных случаев опирания пластин, можно записать выражение для внеконтурных точек сетки через внутриконтурные. Для вне контурных точек вдоль защемленной наклонной стороны сохраняются зависимости, вы веденные для прямоугольных сеток. Для внеконтурных точек, расположенных вдоль свободно опертой стороны, выражение несколько отличается от существующих для прямоугольных сеток и содержит функции угла пластины. В частном случае прямого угла выражения совпадают. Уравнения для параллелограммных сеток, в отличие от прямоугольных, содержат большее число точек. Поэтому встречаются значительные трудности при записи таких уравнений для предконтурных точек пластин, где входят значения функций прогибов во внеконтурных точках. Эти значения могут быть опреде лены из граничных условий. При записи уравнений для предконтурных точек можно пойти по иному пути. Предварительно при различных граничных условиях для точек вблизи контура составляются уравнения, в которые не включены функции прогибов внеконтурных точек. Составление этих уравнений основано на том, что сначала для предконтурных точек записывается в конечных разностях первое из основных уравне ний изгиба пластин (3, 13, 4), содержащее неизвестные в виде моментных сумм в каж дой точке сетки. Учитываются условия на контуре и подставляются значения моментных сумм из второго уравнения (3, 13, 5), где неизвестными являются уже функции про гибов и где также учитываются граничные условия. Получается алгебраическое раз ностное уравнение, не содержащее функции прогибов во внеконтурных точках. Таким образом записываются уравнения для точек, расположенных у свободных и свободно опертых сторон пластины, для точек около тупых и острых углов при различном опирании сторон пластин.
Уравнения, полученные для общего случая косоугольной сетки, могут быть упро щены для ромбической сетки, а также для прямоугольной и квадратной сеток. Для за
щемленной по контуру пластины в виде ромба |
были получены следующие значения |
прогибов |
|
|
ф = 30°, |
ф = 45°, |
ф = 60°, |
0,142; |
0,137; |
0,131. |
Для равномерно загруженной ромбической, защемленной по контуру пластины с длиной стороны 350 мм и толщиной 1,8 мм сравнивались теоретические и эксперимен тальные данные (табл. 3.3).
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 3.3 |
|
Нагрузка, |
Прогибы в центре, мм |
Напряжения в центре, кг 1см2 |
|
теоретические |
эксперимен |
% |
теоретические |
эксперимент |
%расхожде |
|
кг 1см2 |
|
|
значения |
тальные |
расхожде |
значения |
та.льные |
ния |
|
|
|
значения |
ния |
|
значения |
|
|
0,10 |
0,46 |
0,48- |
4,2 |
312,0' |
284,0 |
9,0 |
|
0,20 |
0,92 |
0,97 |
5,5 |
624,0 |
575,0 |
7,9 |
|
0,30 |
1,38 |
1,33 |
3,6 |
936,0 |
830,0 |
11,3 |
§ 14. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ
Сходимость обычного метода конечных разностей с уменьшением шага сетки замедляется, и для получения -требуемой точности нередко приходится иметь дело с очень малым шагом h и делать огромную вы числительную работу. В таких случаях иногда целесообразно обратить ся к методу конечных разностей повышенной точности [108, 166], т. е. аппроксимировать исходные дифференциальные уравнения задачи и граничные условия с погрешностью более высокого порядка [115].
Эффективность метода конечныхразностей повышенной точности показана на примерах решения задач изгиба пластин в работах [117— 119].
Здесь обычным методом и методом повышенной точности решим линейную задачу изгиба прямоугольной пластины нагрузкой, распреде ленной на малой площадке в окрестности центра [108].
Уравнение изгиба пластины в безразмерных величинах имеет вид
|
К* |
' 5&W |
д%_ |
= С0оД6, Л). |
(3,14,1) |
|
д%* |
дц4 |
|
тде I = — , л = |
— , £ = |
— (2а — длина пластины, 2Ь— ширина, начало |
a |
b |
h |
|
|
|
координат в центре), %— 2b/2a, q*= |
— |
— параметр интенсивности |
|
|
|
Eh* |
|
|
нагрузки в центре; /(£, т])—функция распределения нагрузки, |
/(0, 0)’= 1; |
■с= 0,75д: (1 — va). |
|
|
|
|
|
|
Пусть нагрузка равномерно распределена на прямоугольной цен |
тральной площадке Si=.Wi2, где /tt — шагсетки |
по х, h2— шаг по у. |
Тогда |
1 |
внутри Sx, |
|
|
|
|
|
|
(3,14,2) |
/(£. *)) = 0 |
вне Sj.. |
|
|
|
|
|
Граничные условия защемления имеют вид |
|
|
|
£ = 0 |
Еб = 0 п р и | = ± 1 , |
|
(3,14,3) |
|
= 0 при л = |
± 1, |
|
|
а условия свободного опирания запишутся так: |
|
|
0 |
ks = 0 |
при ^ = ± |
1’ |
(3,14,4) |
|
£ т т = |
0 |
П Р И |
r l = |
± 1 . |
|
индексы г| и 1 внизу означают дифференцирования по соответствующей координате.
Выбирая сетку 10X10 и аппроксимируя бигармонический оператор с погрешностью 0(Л2), с учетом осевой симметрии получим систему 25 уравнений вида (для ik узла сетки рис. 3.35)
lik (6^4 + № + 6) - |
4 (£а+1 + |
|
1,Л) (Ьа + 1) + |
|
"I- 2 (^£—l,£-f-l |
I |
~h* |
1,£—1 I |
—1,&—l) ^ "I |
I |
|
+ ^ - +2,* + |
£о -2 + Ь4Е/-2,* = |
Л # & , л*), |
(3,14,5 |
где Л = 0,75 (1—v2)64 (б = |
------ безразмерный шаг сетки, |
п — число |
де |
лений половины стороны). Для |
п = 5 получаем Л = 0,75 (1—v2)/625. |
виде |
Учитывая (3,14,2), полагая |
<70* = 50 и записывая результат в |
формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
ДОо,о = |
aqn(2а)2/£й3, |
(3,14,6) |
|
L9 |
|
В 1. |
5 5 |
1 5 |
2 S |
3 5 |
4 5 |
|
|
|
|
|
А' |
1 4 |
2 4 |
3 4 |
4 4 |
5 |
4 |
1 3 |
2 3 |
3 3 |
4 3 |
5 3 |
|
|
|
|
|
А |
2 |
2 2 |
3 2 |
4 2 |
5 2 |
|
|
|
|
|
|
где qn— qh{hi2, в |
случае |
заделки |
для |
квадратной |
пластины |
(Я=1) получим |
(законтурные значения |
вычисляем |
по |
формуле (3, |
12, |
22) |
при v= 0,3) |
|
|
а = |
0,0661. |
(3,14,7) |
Для сетки 12X12 из решения-системы 36 уравнений получим
а = 0,0649. (3,14,8)
/ |
/ 1 |
2 1 |
3 1 |
4 1 |
5 1 |
|
|
В |
|
В' |
|
О |
10 |
20 |
30 |
40 |
so $ |
Для силы, сосредоточенной в цент ре пластины, согласно [ИЗ] имеем
Рис. 3.35 |
Это значение а вследствие быстрой |
сходимости ряда для функции проги |
Очевидно, прогиб |
ба можно принять за точное. |
пластины от нагрузки рпу распределенной по |
центральной площадке s\=h\h2, должен быть меньше прогиба от сосре доточенной силы такой же величины, приложенной в центре. Следова тельно, погрешность в прогибе решения с сеткой 10x10 не менее 8,3%, а решения с сеткой 12X12 не менее 6,2%. Чтобы уменьшить эту по грешность в четыре раза, нам пришлось бы уменьшить шаг сетки при мерно в два раза, а число разностных уравнений при этом возросло бы в четыре раза.
Погрешность можно уменьшить, не прибегая к более мелкому ша
гу, если воспользоваться |
аппроксимацией |
бигармонйческого оператора |
с погрешностью о(й4), т. е. решая систему |
|
|
tik {ЪШ + |
72Х2 + 56) - |
I 2(39Х2 + 38) С/+1вЛX2 (39Х2 + |
38)£_u - |
- (39 + 38Х2) ?u+i - |
(39 + 38А2) £,,*+, + |
20№ (£,+,,*+, + |
+ |
+ |
*-i) + Ь2 (12Ь» + |
2) Ь+2,* + |
X2 (12^ + 2) |
+ |
+ (12 + |
2А,3) £г,*+2+ |
(12 + |
2>.2) t t.k_2— |
А,2(£г+ 1,*+2 + £г+ 2,*+1 + |
+ |
Si+1,k - 2 + S/-2,*+l + —1,Л:—2 + Si—2,£-1 + Si-1,*+2 + S /+ 2 ,*-l)— |
|
— (^4Si,*+3 + |
^4Si,fe-3 + Si+3,* + £i-3,*) = |
(St, Л*)> |
где |
(1—v2)664 |
(6=l/n) — безразмерный |
шаг сетки, n — число |
делений половины стороны). Прогиб в законтурных точках определяем
по формулам (3,12,23), (3,12,27) для защемленной пластины |
и по фор |
мулам (3,12,26), (3,12,28) для свободно опертой. |
|
Выбирая сетку 10X10 (я = 5) и решая систему 25 уравнений вида |
(3,14,10) для защемленной пластины, получим |
|
а = 0,0619. |
(3,14,11) |
Это значение отличается от (3,14,9) всего лишь на 1,3%.
Для изгибающего момента М$ в середине стороны получаем
что также отличается от величины, приведенной в книге [113], на 1,3%• Для свободно опертой пластины, беря сетку 10x10 (п= 5) и ап проксимируя бигармонический оператор и граничное условие с погреш
ностью о (Л2), получим
а = 0,1316. |
(3.14.13) |
Для сосредоточенной нагрузки согласно [113] |
|
а = 0,1265. |
(3.14.14) |
При аппроксимации с погрешностью о (А4) уже |
с сеткой 8x8 |
(п = 4) получаем |
|
а = 0,1251 |
(3,14,15) |
которое лишь на 1,1% отличается от (3,14,14).
Приведенный пример позволяет в данном случае судить об эффек тивности метода конечных разностей повышенной точности.
Как отмечается в работе [108], при применении метода повышенной точности сетка не должна быть слишком редкой, так как при такой сет ке погрешность многоточечной аппроксимации иногда может оказаться большей, чем погрешность обычной аппроксимации.
Г.МЕТОД КОЛЛОКАЦИЙ
§15. МЕТОД КОЛЛОКАЦИЙ
е>
Изложенный выше метод сеток для решения краевых задач носит численный характер и позволяет получить таблицу значений искомой функции. В этом параграфе излагается метод, дающий возможность найти приближенное решение краевой задачи в виде аналитического
выражения.
Пусть требуется найти методом коллокаций [115, 116, 108] прибли женное решение, удовлетворяющее внутри области D уравнению
|
|
|
|
|
|
|
|
и граничным условиям на контуре Г |
|
|
|
|
|
/;0У = Д, |
i = |
1,2,3, |
, k , |
|
(3,15,2) |
где L и U — дифференциальные операторы. Для решения выберем неко |
торую функцию до, зависящую от п |
параметров а п : |
|
|
|
w = w ( x , y , a v |
a 2, |
, а п). |
|
(3,15,3) |
Подставив (3,15,3) в (3,15,1) и (3,15,2), получим |
|
|
|
|
Д = 1до — f lt |
|
|
(3,15,4) |
|
|
bf = |
IjW — fi. |
|
|
(3,15,5) |
Параметры |
a n определяем из |
условия обращения |
в нуль |
(3,15,5) и |
(3,15,4) на |
некоторой системе точек, |
называемых |
точками |
коллокаций, |
расположенных внутри области D |
и на ее границе Г. Это условие при |
водит к алгебраической системе п уравнений относительно |
а п |
|
ДМу = 0, / = |
1,2, |
, tilt |
|
(3,15,6) |
|
6,.Mo = 0, |
2ia = n —n lt |
|
(3,15,7) |
где M j и М а —точки коллокаций внутри области D и на ее границе соответственно. Однако в таком общем виде метод коллокаций приме няется редко, так как приходится вводить большое число параметров
а п . Обычно до подбирают так, чтобы она удовлетворяла (3,15,2), а па раметры определяются из (3,15,6).
В математической литературе методу коллокаций уделено значи тельно меньше внимания, чем другим приближенным методам. Вопро сы рационального выбора аппроксимирующих функций, выбор точек коллокаций, сходимость и оценка погрешностей практически не разра ботаны. Недостатком метода коллокаций является произвол н выборе точек коллокаций, вследствие чего при одной и той же аппроксимирую щей функции методом коллокаций может быть полученб решение, во обще говоря, менее точное, чем вариационным методом. Однако этот недостаток сглажйвается при большом числе неизвестных параметров.
Другой важный вопрос метода коллокаций — рациональный выбор аппроксимирующих функций. М. С. Корнишин [108] в качестве аппрок симирующих функций рекомендует брать точные решения родственных задач. Например, для решения двумерных задач выгодно брать прогиб з виде
|
и» = а»1 (*) |
(У) |
(х, |
у , |
a v а 2, ... , ап), |
|
(3,15,8) |
где w \ ( x ) |
и w 2 { y ) — точные |
решения |
одномерных задач, |
Wh(x, |
у, а ь |
&2, •••> а п ) |
— корректирующая функция. |
|
|
брать |
в виде |
При решении нелинейных |
задач |
функцию до можно |
|
до = до0 (х, |
у) w k (х, |
у , |
alt а 2, |
, а„), |
|
(3,15,9) |
где w 0 (x, |
у ) —точное решение линейной задачи, |
w h (x, у, |
а и .... а п ) — |
корректирующая-функция. Функцию до можно задавать и в виде суммы
П
W = ДО0 (X, у) + £ atwt (x, у),
причем если решение родственной задачи неизвестно или имеет слож ную структуру, то за w 0 ( x , у ) принимают простую функцию, близкую к искомой.
Следуя М. С. Корнишину [108], приведем ряд примеров, поясняющих применение метода коллокаций.
1. Защемленная прямоугольная пластина
Решим эту задачу методом коллокаций.
Уравнение изгиба пластины поперечной нагрузкой в безразмерных величинах имеет
вид
* . « |
X . + |
д%*дг? ^ дт]4 |
« 5 . |
(3,15,11) |
дЦ |
^ |
Dh |
|
где £ = w/h, w — прогиб, h — толщина; q — интенсивность нагрузки; D — изгибная жест кость; Х=Ь/а, 2а — длина пластины, 2b — ширина, £=*/а; r\=y/b. Граничные условия имеют вид
|
|
|
|
|
|
|
£ = |
0 > |
£^ = |
0 |
ПРИ |
£ = |
± |
1, |
|
|
|
(3,15,12) |
|
|
|
|
|
|
|
6 = |
°. |
£ti = |
|
ПРИ |
Л = |
± |
!• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Прогиб пластины зададим в соответствии с |
(3, |
15, 8 ) |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 = 0 |
- |
£2)2 0 |
- |
л2)2 ( U |
+ £2<>£2 + |
£о2Л2 + 6226л2) • |
(3 , 1 5 , 13) |
Ограничимся случаем |
квадратной |
пластины, когда А.= 1 |
и, следовательно, |
£20= £02. Под |
ставляя |
(3, 15, 13) |
в левую часть |
(3, |
15, И), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
qa*/Dh = |
[24£00 + £20 ( - |
48 + |
360£2)] (1 - Л2)2 + [24£02 + |
£ 22 ( - |
48 + 360£2)] г? (1 - |
л2)2^ |
|
+ 2 {[£оо ( - 4 + |
^ |
) + |
£ 20 (2 - |
24g2 + 30£4)] ( - 4 + |
12if) + |
|
|
|
|
+ |
Kos (“ |
4 + |
1 2 g2) + |
?22 (2 _ |
24£2 + |
30£4)] (2 - |
24Л2 + |
30Л4)} + |
|
|
* [24£QO + |
£02 ( - |
48 + |
360г)2)] (1 - |
£ 2)2 + |
[24£00 + |
£22 ( - |
48 + 360л2)] £2 (1 - £2)2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,15,14) |
где £oo — относительный |
прогиб в центре |
пластины. Требуем, |
чтобы q совпадала |
с |
за |
данной равномерной нагрузкой q в точках с координатами |
(0,0 ) ( 1 /2 , 0), |
( 1 /2 , 1 /2 ), |
что |
в дилу осевой симметрии означает совпадение в девяти точках |
(рис. 3.36). Получим си |
стему трех уравнений для определения трех неизвестных |
£0о, |
£02, £22: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80£оо — 12 8 £о2 + |
^£22 = qot/Dh. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45,5£00 + |
31,375^02 — 15,25£22 = |
qa*/Dtц , |
|
(3,15,15) |
|
|
|
|
|
29£0о+ |
62,5£02 + |
20,84£22 = qcfl/D h. |
|
|
|
|
|
Решая эту систему, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£20 = |
0,250£оо; |
£22 — 0,288£о‘ |
(3,15,16) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
£оо = |
0,0137*7 (2a)4/£/i4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изгибающий момент в центре пластины равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мх L _Q = |
0 ,0231q (2a)2. |
|
|
(3,15,17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\у=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимальное значение изгибающий момент достигает |
j! |
|
/ |
|
|
|
на краю пластины |
(а, |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
M |
J ^ |
= |
0 ’05019<?(2a)2- |
|
|
(3,15,18) |
|
|
Рис.. |
3.36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов
По данным С. П. Тимошенко [113], прогиб в центре и изгибающий момент на краю равны
£оо = 0,0137*7(2а)*/Ек\ М х = 0,0513? (2а)2, |
(3,15,19) |
т. е. полученный результат отличается от (3, 15[ 19) примерно на 2%.
2. Гибкая круглая пластина
При решении данной задачи используем нелинейные дифференциальные уравнения в перемещениях
|
|
d2u |
|
1 |
du |
и |
|
|
1 — v / dw \ 2 |
|
dm |
d?w |
|
dr2 |
~2 * ~ d T ~ ~ ^ = ~ " 2 г |
■ m |
- dr |
dr2 |
(3,15,20) |
|
|
|
|
d3w |
+ |
1 |
|
d2w |
|
1 |
dm |
|
1 |
dm |
Г |
du |
* |
|
|
|
dr3 |
|
|
dr2 |
|
r2 |
dr |
|
h2 |
dr |
l |
dr |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,15,21) |
Здесь |
и, w — радиальная |
и нормальная |
составляющие перемещения; |
г — радиальная |
координата. Граничные условия имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
• |
|
dw |
|
при г = |
а, |
|
|
|
(3,15,22) |
|
|
|
|
и = 0 , w = 0 , |
—— = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
где а — радиус пластины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем функцию прогиба в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,15,23) |
Легко |
видеть, |
что |
(3, |
15, |
23) |
удовлетворяет граничным |
условиям |
для |
w. Подставляя |
(3, 15, |
9) в (3, |
15, |
20), |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ = |
£I |
62 / - 1 |
г* |
1 |
|
|
|
|
(3,15,24) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6I = - |
2 |
|
62; - I a2i |
2 ; |
|
■3 ~ |
v |
&2 |
^ 1 . |
|
|
|
|
|
|
' |
|
2 |
а4 ’ |
|
|
|
|
|
|
(= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 (5 — у) |
к2 |
|
|
|
7 — v / о |
|
3 |
\ к2 |
|
|
|
|
12 |
|
^2^4 а® |
|
6 7 : |
|
\ь 4 + |
- № |
< ) - |
|
|
|
|
|
69 = |
* |
4 (9 — v) |
|
|
|
к2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
(2М8+ 3Мв) — ; |
|
|
(3,15,25) |
|
|
|
|
|
|
|
11 — v |
/ |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,, = |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
(V т3 М в +' Т2 Ч 6) ^ г ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 13 : |
24(13 — у) |
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84 |
6,68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 — V o |
к2 |
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
в |
а™ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ So » |
^2 — |
2^0 |
^ 2» |
^4 — So — 2^2 -ф- |
|
|
|
По табл. 3.4, которая составлена |
для |
v=0,3, |
коэффициенты |
В { |
(i= 0 ,2 ,..., 20) |
могут быть |
выражены |
через |
£0, |
|
g2, |
U |
Например, |
В0= — 7,1067£о*+ 4,3160Х |
X £Q£2+ |
|
+0,0669^2^4- Реальная |
нагрузка q* (£), |
которой соответствует прогиб |
w и касательное перемещение и, может быть найдена из |
(3, 15, 21) |
в |
результате |
под |
становки |
(3, |
15, 23) |
и (3, |
15, |
24) |
и последующего |
дифференцирования: |
|
|
(1 - |
va) q* (I) = |
Л0 + |
2 |
+ |
|
ЗЛ4^ |
_ (В0 + |
2В & |
+ 3В & + 4 |
+ |
|
* |
5В8£* + 6В10Б10 + 7JB12^2 + |
8В14£“ |
-f 9B1S^ |
+ |
10Б18Б18 + |
1 IBaoC20) . (3,15,30) |
Подставляя в (3, 15, 30) |
=const, получаем неуравновешенность |
|
|
|
|
|
Дг (£» Со. ?2э С4) = |
— % Ф |
{^о 4" 2Л 2Б2 4 |
ЗЛ4^ — |
|
|
|
|
|
- |
(Во > |
2Вг|2 4- Ш |
|
4 + |
. . . + |
H B 20I20)} |
|
|
(3.15,31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
3.4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
tk* |
|
|
|
|
u l |
|
£о£г£4 |
|
BQ |
|
—7,1067 |
|
4,3160 |
|
|
|
0,4852 |
|
|
|
— 1,0920 |
|
—0,6785 |
В 2 |
|
14,387 |
—25,896 |
|
|
|
6,6213 |
|
|
|
7,6960 |
|
0,6438 |
В 4 |
|
12,133 |
47,060 |
|
|
—33,453 |
|
|
|
—28,444 |
|
13,693 |
Во |
|
6,0667 |
—41,860 |
|
|
|
55,467 |
|
|
|
50,960 |
|
60,979 |
Во |
|
—1,2133 |
20,384 |
|
|
—47,320 |
|
|
|
—47,320 |
|
1 1 0 ,6 6 |
В\о |
|
0 |
|
|
4,0040 |
|
|
|
22,568 |
|
|
|
22,568 |
|
— 102,65 |
Ви |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
4,3680 |
|
|
|
—4,3680 |
|
48,672 |
Ви |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
—9,3600 |
Вю |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
Вю |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
Вго |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
u l |
|
й |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
CS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во |
|
—0,1337 |
|
0,3553 |
|
|
|
0,2179 |
|
|
|
0,0069 |
|
0 |
|
В2 |
|
—0,3516 |
—2,3314 |
|
|
—0,1609 |
|
|
|
0,1634 |
|
0,1337 |
Во |
|
1,4560 |
|
7,1327 |
|
|
—4,5117 |
|
|
|
—1,1068 |
|
—0,4012 |
Во |
|
5,0960 |
— 15,773 |
|
|
|
20,835 |
|
|
|
—2,1617 |
|
0,2675 |
Во |
|
—29,848 |
22,811 |
|
|
—51,68,8 |
|
|
|
20,384 |
|
— 1,2133 |
В\о |
|
56,784 |
—18,292 |
|
|
|
75,712 |
|
|
|
—56,420 |
|
8,0080 |
Вю |
|
—53,664 |
|
8,7360 |
|
|
—63,648 |
|
|
|
83,616 |
|
—21,840 |
Р и |
|
25,584 |
—1,6380 |
|
|
|
28,548 |
|
|
|
—69,888 |
|
31,824 |
Вю |
|
—4,9227 |
|
0 |
|
|
|
—5,304 |
|
|
|
31,061 |
|
26,139 |
Вю |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
5,7200 |
|
11,440 |
Вго |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
—2,0800 |
Выражения (3, 15, 27) и (3, 15, 31) содержат неопределенные параметры Со, С2, С4, варьируя которые можно получить приближенное решение рассматриваемой задачи* Можно исходить либо из равенства нулю в трех точках Ль либо из обращения в нуль Л2. В первом случае в точках коллокаций приравниваются величины перерезывающих
сил от заданной нагрузки q0 и от неравномерной нагрузки <7*(£), определяемой из вы
ражения (3, 15, 30). Во втором случае приравниваются интенсивности самих нагрузок. Приведем решение, полученное из условия равенства перерезывающих сил в точ ках коллокаций, а оценку погрешности из анализа Д2. Из условия Ai = 0 в точках
(i= l, 2, 3) получаем систему трех уравнений для нахождения £0, С2, C-i-
<l-v*)<7* = 4> -M.6f-M.Ef-(Во + 'Brf?4 - 4 - |
+ ам6?°). ‘ = 1.2, 3. |
