книги / Оболочки и пластины

Разрешив (2,12,8) относительно комплексных усилий, получим соот­ ношения

Исключение из последней системы комплексных усилий дает систе­ му уравнений в комплексных смещениях:

Наконец, заменяя в системе (2,12,4) комплексные моменты их значения­ ми согласно (2,12,7), получим систему уравнений относительно комп­ лексных усилий

Таким образом, для определения напряженного (или деформиро­ ванного) состояния оболочки получены [4] системы из трех уравнений четвертого порядка (2,12,11) или (2,12,10) относительно трех неизвест­

ных функций Ти Т2 и S (или и, v, w).

Зная указанные функции, можно по формулам (2,12,2) и (2,12,6) определить действительные усилия и моменты и по формулам (2,12,1) — действительные смещения.

В частном случае v= 0 уравнения (2,12,10) и (2,12,11) значительно упрощаются, так как комплексно сопряженные величины в этом случае исчезают..

Развернутый вид уравнений (2,12,11), а также некоторые упрощен­ ные формы комплексных представлений даны в [4].

§ 13. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК

Безмоментное состояние оболочек является наиболее целесообраз­ ным, поскольку здесь осуществляется рациональное использование ма­ териала вследствие равномерного распределения напряжений по толщи­ не. В безмоментной теории важны вопросы об условиях применимости и оценке погрешности решений.

Пренебрегая моментами (в уравнениях (2,5,10), получим

Система дифференциальных уравнений безмоментной теории в пе­ ремещениях имеет порядок, равный четырем. Для доказательства этого достаточно разрешить систему (2,13,3) относительно Гь Г2, S и получен­ ные величины подставить в (2,13,2).

Напомним, что система уравнений общей моментной теории имеет восьмой порядок и требует четырех краевых условий.

Пусть границей оболочки является линия a=const. Согласно § 10 на этой кривой должны быть заданы четыре величины:

В безмоментной теории, как это следует из (2,13,1), можно распоря­ жаться только двумя величинами Т\ и S, остальные тождественно рав­ ны нулю.

Если краевые условия задаются в перемещениях, то, как показано в [2], вместо четырех величин

которые задаются в общей теории, в безмоментной теории можно зада­ вать только две: и и и.

Так как система уравнений безмоментной теории имеет порядок вдвое ниже, чем аналогичная система общей теории, то и число краевых условий в безмоментной теории вдвое меньше, т. е. два на каждом краю.

и равенства v = 0 следует Mi = 0. Аналогичные соображения доказывают отсутствие кручения срединной поверхности, поэтому

Из тех же .соображений симметрии следует равенство нулю перере­ зывающих усилий Л^1 в поперечном сечении цилиндра.

Рис. 2.12

Действительно, проведем секущую плоскость перпендикулярно оси цилиндра. Эта плоскость будет плоскостью симметрии, поэтому усилия Я] слева и справа от сечения должны быть равны по величине и на­ правлению. Отсюда следует

Nx = 0.

В то же время пренебрежение моментом М2 в продольном сечении при­

водит к противоречию.

Для доказательства рассмотрим элемент оболочки, изображенный на

Усилия Т р и Т22) .найдем, приравняв нулю главный вектор действующих

Аналогично

Таким образом, для равновесия выделенного элемента следует приложить к точкам СХ') и 0<2> моменты и М22) сумма которых ~^-р(а2— b2) тем больше, чем больше сечение цилиндра отличается от

кругового кольца.

Тем самым показано, что для весьма длинных цилиндрических обо­ лочек безмоментная теория неприменима.

Для расчета цилиндрических оболочек большой длины В. 3. Власо­ вым [8] предложена «полубезмоментная» теория, являющаяся проме­ жуточной между безмоментной и общей теориями. В качестве основного допущения здесь принимается равенство нулю моментов Mi и Я и пере­ резывающего усилия N\.

Введем безразмерные координаты

где Го — характерная для оболочки постоянная величина, имеющая раз­ мерность длины.

На основании принятых допущений получим уравнения равновесия из (2,5,8) и (2,5,10):

(2,14,1)

dN2

дц

дм2

дт)

где

Р

го

Связь между усилиями и деформациями будет выражаться обыч­ ными формулами

Заменив здесь деформации их выражениями через усилия и момен­ ты, будем иметь

Если в уравнении (2,14,10) пренебречь коэффициентом Пуассона v, то можно получить из уравнений (2,14,6) и (2,14,10) разрешающую си­ стему и виде

_12го_ _ЗШL + i p ( 7 1) = 0>

Здесь приведем .построение [111] соотношений нелинейной теории устойчивости для пологих ортотропных (см. § 17) оболочек, физико-ме­ ханические характеристики материала которых являются некоторыми функциями температур. Известно существенное влияние температур на свойства ортотропных стеклопластиков, и потому учет температур при рассмотрении задач прогиба и устойчивости пластин и оболочек пред­ ставляет практический интерес.

Будем рассматривать тонкую по­ логую ортотропную (см. § 17) оболоч­ ку, для которой будем считать спра­ ведливой гипотезу нормального эле­ мента Кирхгофа—Лява. Предположим далее, что оболочка является гибкой, т. е. ее прогибы сравнимы с ее толщи­ ной, но малы по сравнению с другими размерами, и что квадратичную фор­ му срединной поверхности с точностью до малых величин приближенно мож­ но заменить квадратичной формой на плоскости. Направления криволиней­ ных ортогональных координат а, р, определяющих положение точки на срединной поверхности, а также ос­ новные геометрические размеры обо­ лочки даны на рис. 2.13.

Будем считать, что материал обо­ лочки обладает криволинейной анизотропией (см. § 17) и что в разных

точках оболочки координатные направления совпадают с соответствую­ щими направлениями упругих армирующих элементов.

Далее полагаем, что температура является произвольной функцией координат и времени t

7° = 7 ° (а, Р, 2, t),

модули упругости Е1, £ 2, модуль сдвига G и коэффициенты линейного теплового расширения си и аг также произвольным образом зависят от температуры

Е1 = Е1(а, р, г), £2 = Ег(а, Р, z), G= G(а, Р, г),

а коэффициенты Пуассона vi и v2 полагаем постоянными, не зависящи­ ми от температуры

Последнее допущение основано на экспериментальных данных, показы­ вающих весьма слабую зависимость v от Т°.

Запишем обобщенный закон Гука для ортотроп,ной тонкой'оболочки

Of = fypef + ьаpeg» _ т° (*>opai + f>ppa2), Tap = Ge<f>.

4 П. M. Огибалов, M. А. Колтунов

Компоненты тензора деформаций в окрестности любой точки скла­ дываются из компонентов тензора деформаций -срединной поверхности еа, еР> еар и деформаций, связанных с изгибом. Согла-сно гипотезе пря­

Здесь, как и прежде, ха, хр, хар — изменения кривизны и кручения сре­ динной поверхности, а индекс (z) означает расстояние от срединной поверхности до какой-либо точки по нормали, взятой со знаком + или —.

Компоненты деформаций срединной поверхности и изгиба запишем, удерживая в рядах, выражающих деформации через перемещения [5], квадраты производных перемещения w по координате и отбрасывая нелинейные члены, содержащие производные перемещений и и о по ко­ ординатам:

вдоль координатных линий а и р .

Усилия и моменты, отнесенные к единице длины сечения, получим из соотношений (2,4,2) —(2,4,5). Принимая во внимание приближенные

- h i 2

(2,15,7)