книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfОпределяя Q из (6.52), выражения для отличных от нуля скоростей перепишем в следующем виде:
и |
_ |
г |
|
|
|
|
|
|
|
f |
" |
Т ? Ь |
■1 - |
+ |
2 Т ~ Ч г | |
/ |
4 ~ |
7 ' |
(б -54) |
|
Как и следовало ожидать, формулы (6.53) |
и |
(6.54) |
совпадают |
|||||
с решением |
Р. Хилла |
[171] о |
выдавливании |
идеально |
жестко |
||||
пластического несжимаемого материала из шероховатой цилинд рической втулки.
§ 43. Задача Соколовского — Шилда
Течение идеально жесткопластического песжимаемого мате риала через сходящийся шероховатый конический канал впер вые исследовано В. Соколовским [163]. В этой работе с исполь зованием условия текучести Губера — Мизеса задача сводится к построению численного решения си стемы из двух обыкновенных диффе ренциальных уравнений первого поряд ка. Независимо в работе Р. Шилда [181] рассмотрена эта же задача спачала для обобщенного идеально пла стического материала, а затем иссле дован случай для материалов Губера — Мизеса и Треска.
Расположим начало сферической системы координат в вершине кониче ской поверхности, ось 0 = 0 проведем через ось симметрии, угол конусности обозначим через 2а (рис. 6.9).
Принимаем следующие граничные условия:
тге = |
т, 0; у = 0, |
0 при 0 = а , 0, |
(6.55) |
Рис. 6.9 |
|
|
|
где |
ш — степень |
шероховатости |
конической |
поверхности |
в |
на |
|
правлении образующей. |
(5.15) — (5.17). |
Прииимая |
Я = |
||||
Будем исходить из решений |
|||||||
= —2, i]}(0) = O, |
ц = С = D = М = N = 6, а также |
вводя |
обозна |
||||
чения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* - f + |
/c tg e t |
|
|
(6.56) |
|
И М. А. Задоян
для компонент напряжении получаем |
|
и |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ar = ое — 6 -^-, |
аф = Сто = |
Я — 2Glnr — з Г т гвй0, |
(6.57) |
||||
|
А |
|
|
|
* |
•/ |
|
|
|
F' |
^0ф — Тгср — О, |
|
|
||
где |
ГгО — ^ ? |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = У |
F'2 + 12F2. |
|
|
(6.58) |
|
Для скоростей перемещений будем иметь |
|
|
|||||
|
и = ~ F (0), |
и = w = |
0. |
|
|
||
|
|
г~“ |
|
|
|
|
|
Второе дифференциальное |
уравнение |
(5.17) |
удовлетворяется |
||||
тождественно, а первое принимает следующую форму: |
|
||||||
(sin 0 — ) |
— 12 sin 0 — — G sin 0 = |
0. |
|
||||
\ |
X / |
|
|
X |
|
|
|
Вводя обозначение тге= т(0), |
из выражений для тгепо |
(6.57) |
|||||
и х по (6.58) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
|
|
x = sign F. |
|
(6.59) |
|
Учитывая направление течения, заключаем, что к = —1.
Легко заметить, что для т приходим к дифференциальному
уравнению первого порядка |
|
х + т ctg 0 + 2V3V1 — т2 — G = 0 |
(6.60) |
с граничными условиями |
|
т (0) = 0, т (а )= т. |
|
После численного интегрирования этого уравнения определяют ся т(0), G и остальные компоненты напряжений. Формулы для напряжений, отличных от пуля, из (6.57) примут следующий вид:
Or = о0+ УЗ У1 — т2,
о |
|
оф = а0 = Я — G l n r - 3 Jrd 0 , тг0 = т (0). |
(6.61) |
О |
|
Сопоставляя выражения для тге по (6.57) п % по (6.58), прихо дим к дифференциальному уравнению
F’ + |
2 1 / 3 |
= о, |
F |
V Y ^ T 2
после решения которого находим радиальную скорость переме щения
А |
А = const. |
(6.62) |
и = ~2 ехр |
||
При малых значениях а можно |
(6.60) заменить |
уравнением |
х + rctg 0 — G = 0.
Решая это уравнение п удовлетворяя вышеуказанным граничным условиям, находим
т = т ctg ~ tg ^ т |
G = пг ctg ^ « 2 |
(6.63) |
Выражения для компонент напряжений (6.61) при малых а окончательно запишутся в виде
ог = Н— 2 ^ - ] п г + / з l / l -т'-К,
а |
У |
а- |
(Г).64) |
Оф = а 0 = Н — 2 ^ In г, |
тг0 = |
/?г ^ . |
|
Далее, подставляя значения т из (6.63) в (6.62), производя интегрирование и в разложении экспоненциальной функции ог раничиваясь первыми членами, получаем
и = — ( 1 + 2 |
1 - т = £ ). |
В формулах (6.61) п (6.64) постоянная Н определяется из условия равновесия сил, действующих на конусообразную массу.
Изложенное здесь решение содержится в работе В. Соколов ского [163] и Р. Шилда [181].
§ 44. Течение между коническими трубами
Рассмотрим течение пдеально жесткопластпческого несжимае мого материала между шероховатыми коаксиальными кониче скими жесткими трубами при заданных нормальных скоростях стенок. Проведем сферическую систему координат так, чтобы на
чало координат г = 0 совпало |
с вершинами, |
а ось |
0 = 0 с осью |
|
конусов (рис. 6.10 ). |
|
|
|
|
Ставим следующие граничные условия: |
|
|
||
v = ±Vi, |
тГ0= |
±т { при 0 = |
сс, [}, |
(6.65) |
где Vi и т { — нормальные скорости ж степени шероховатости ко нических поверхностей.
11*
Ввиду осевой симметрии и характера течения будем исходить из решения (5.15) — (5.17), полагая в нем (0) = 0 и А = ц = С =
= D = E = M = N = 0. Для компонент напряжений получаем
От= |
а0 + |
Y (/' — / ctg 0), |
стф = |
ае + |
-| (/' — / ctg 0), |
|
|
|
е |
е |
|
|
|
а0 = |
Н + |
G In г - 3 Jтгеd0 + 4 |
J(/' - |
/ ctg 0) ctg 0 |
(6.66) |
|
аа
Тге — “ |
If" + |
(/ Ctg 0)' + 2/], Т0ф — Тгф — О, |
|
|
|||||
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
V [Г |
+ (/ ctg 0) ' + |
2/ ] 2 + 4 (/' - |
/ ctg 0) 2. |
(6.67) |
||||
Скорости перемещений будут равны |
|
|
|
|
|||||
|
и = f + / ctg 0, |
|
v = |
—2/, |
w = 0. |
|
|||
Второе дифференциальное уравнение (5.17) удовлетворяется |
|||||||||
тождественно, |
а |
первое запишется |
в следующем |
виде: |
|
||||
( |
^ |
[/" + ( / ctg 0)' |
+ |
2/] |
+ G sin 0 = |
0. |
|
||
Интегрируя н обозначая тге = |
—т (0), получаем |
|
|
||||||
|
|
|
T = im e _ G c t g 0’ |
|
|
(,6-68) |
|||
где Q — произвольная постоянная. |
Используя граничные |
усло |
|||||||
вия (6.65) для тге, находим |
|
|
|
|
|
|
|||
|
т г sin a cos Р + т 2 sin Р cos а |
т 1 sin а + т 2 sin р |
|||||||
^ |
|
|
cos а — cos р |
|
’ |
cos а — cos Р |
|||
Сопоставляя выражения для тге по (6.66) и т по (6.68), ис пользуя (6.67), а также вводя новую функцию g (0) по формуле
/ = g sin 0, приходим к дифференциальному уравнению
g" + ^3ctg0 +
|
т |
Ь ) |
' |
- 0 - |
|
Решение этого уравнения представится в виде |
|
||||
0 |
|
..Г |
^9 |
|
|
|
2X1 |
|
|
(6.G9) |
|
д = А + в \ - \ - е |
aV l~'2dQ, |
||||
sin"103 |
|
|
|
|
|
где А, В — произвольные постоянные, |
а % |
преобразуется |
к бо |
||
лее простой форме |
|
|
|
|
|
2Kg' sin 0 |
|
|
|
||
1 = |
i - |
т2' |
|
|
|
V |
|
|
|
||
Выражения для нормальных компонент напряжений (6.66) |
|||||
примут следующий вид: |
|
|
|
|
|
аг = а9+ хУ1 — т2, |
аФ= а0+ 2хУ 1 — т2, |
|
|||
е |
|
е |
|
|
(6.70) |
°е = # + G In г — 3 J т сШ+ |
2х j |
j/" 1 — т2 ctg 0 d0. |
|
||
Рассматривая равновесие пластической массы между конически ми поверхностями, ограниченными сферической поверхностью с радиусом г = Л, будем иметь
J аг sin 20 dQ = /?г2 sin 2а + т2sin 2(J.
Подставляя значение аГ из (6.70), определяя Я, окончательно получаем
ае = £ — G ln ^ - +
+3|?1пЩ |
- звlnis +24а ^ ct*е^ |
|||
rot sin 2 а + тг sin 2 g |
3 |
|
|
|
2 (sin2 Р — sin2 а) |
2 |
|
|
|
+ . 2 о 1 . 2 |
[ з sin2 Р (с in si l i i |
- |
^ In ^ Р /2)) + |
|
sin2 P— sm2a[_ |
\ sin a |
|
v tg(a/2)/ |
|
+ 3# (cos a — cos P) — 2x sin2p j V i — x2ctg 0 d0j .
Скорости перемещений, отличные от нуля, будут равны
и = g' sin 0 + 2g cos 0, v = —2g sin 0. |
(6-72)' |
Учитывая выражения g, из (6.69) и (6.72) после использования
граничного условия |
(6.65) |
для и находим |
|
|
|
|||||||||
U = — V1 |
cos 0 , |
/ |
yi |
|
, |
”2 |
\\ J (0) |
|
Q . |
|
|
|
||
------ b |
|
-г-1 |
|
h |
sin Р/ |
ТТ5\ COS 0 + |
|
|
|
|||||
1 sin a |
\sina |
|
/ |
(Р) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
/ |
в |
Т d0 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
/ о |
Г |
(6.73) |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 /(P )sin 2 0 |
j |
/ 1 _ т ! |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
У = Г, |
|
sine |
( |
-т-Ц |
, |
"2 U (9) |
|
. fl |
|
||||
|
|
---------+ |
|
-TTJT sin 0, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 sin a |
\sm a |
|
sin p/ J (p) |
|
|
|
|||||
причем введено обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
/ ( e ) - L 7 k e 4 |
2 * J l 7 7 § ? |
dQ. |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
Условие сохранения массы, т. е. равенство вдавливаемой ко ническими поверхностями массы и расхода в радиальном на правлении через произвольную сфериче скую поверхность с радиусом г, имеет
вид
Р
2 \и sin 0 dQ = vxsin a + v2sin (1. (6.74)
Как можно убедиться, подстановкой и из (6.72) в (6.74) это равенство удовлетво ряется тождественно.
Рассмотрим случай, когда внутренняя коническая поверхность гладкая и не подвижная, т. е. полагаем = т\ = О, а также i?2 = ^о, т 2 = т. Из (6.68) будем иметь
т = m c.t gРf t.g ^9.
Подставляя значение т в формулы (6.71) и (6.70) и учиты вая выражения для Q и G
Q _т cos a sin Р |
Q ___ |
т sin р |
^ — cos a — cosP’зр’ |
~ ~ |
cos a — cosPР’ |
получаем нормальные компоненты напряжений. Из (6.73) на-
ХОДИМ
и = |
J o____L- |
J (0) cos 0 -f- |
|||
|
sin р J |
(Р) |
|
(6.75) |
|
и = — |
^0 |
/(0) |
|
sin 0. |
|
|
|
sin р |
J (Р) |
|
|
Исследуем течение жесткопластического несжимаемого мате риала из копическои втулки при нормальной скоростп Vo и сте пени шероховатости стенки т (рис. 6.11). Преобразованием и предельным переходом при а -* 0 пз (6.71), а затем пз (6.70) для компонент напряжений окончательно получаем
<Уг = Ов + У1 — т2, Ор = Ое + 2У1 — Т2,
а6 = т (c gР+ Slip- -§-c 8т)- m |
1пТ ~ |
||
|
|
|
р |
— Gmctg-|-ln^ ^ |
| —2 j / l — т2 ctg 0 d0. |
||
|
|
|
е |
тГ0 = — т = |
|
О |
0 |
— т ctg |
tg Y - |
||
Для скоростей перемещений |
пз |
(6.75) |
преобразованием и пре |
дельным переходом находим |
|
|
|
и = vo cos 0/sin Р, |
v = —Vo sin 0/si(n p. |
||
Условие сохранения массы (6.74) в этом частном случае также удовлетворяется тождественно. В рассмотренном случае, как свидетельствуют эти формулы, скорости перемещений не за висят от шероховатости поверхности втулки.
§ 45. Течение между коническими поверхностями
Пластическое течение материала между шероховатыми кони ческими поверхностями впервые рассмотрено в работах [48, 85]. В этих работах принимается, что конические поверхности — ше роховатые по тангенциальному направлению и движутся с постоянными по этому же направлению поперечными скоростями. Здесь же принимаем, что эти скоростп движения конических поповерхностей меняются как по тангенциальному, так и по про дольному направлениям. Шероховатости этих поверхностей в указанных направлениях полагаются различными [69, 72].
Воспользуемся сферической системой координат, где а и р - полууглы раствора рассматриваемых внутренней и внешней по верхностей, a R — радиус торцевой сферической поверхности (рис. 6.1 2 ). Ставим следующие граничные условия:
v = ± v {re ^ \ |
тге = |
тОФ= |
при 0 = ос, [J. (6.76) |
Здесь v{, \i — заданные положительные параметры, характеризу ющие сближение конических поверхностей, т,, п{ — степени ше
роховатости этих поверхностей в продольном и тангенциальном
направлениях соответственно, удовлетворяющие условию |
0 ^ |
^ т\ + Ui ^ 1.
В силу симметрии течения относительно плоскости ср = 0 до статочно рассматривать область слоя а ^ 0 ^ 0 ^ ф ^ фо. В соответствии с характером течения будем исходить
из решения |
(5.15) — (5.17), |
принимая в нем ^==1, |
С = G = М *= |
||||||
= N = 0, параметр \х заменяем через |
—ц. Тогда компоненты на |
||||||||
пряжений можно представить в виде |
|
|
|
|
|||||
Ог = о е + С р |
<тф = ое + |
у |
( / ' — /c t g 0 — Ц1|>), |
||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
е |
оо = — р — А (ср— ф0)+ 6 |
(/' — / ctg 0 — (лг(>) ctg 0 у |
— 3 j* тг6dQ, |
|||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.77) |
ТгЭ ^ \ |
+ / ct" 0 + |
Н-Ч»)'* Т0Ф= |
(^' sin 0 + |
|
|||||
|
Тг<р = |
“ |
£7Е0 У + |
/ctg 6 + |
И ). |
|
|||
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х * ] / ' 0 ) 2 + |
( 4 + - ^ |
) ( / ' |
+ / c t g 0 |
+ |
H |
) 2 + |
g ^ ' s i n O + j f ^ ) 2 |
||
(6.78)
& = \ f (Г + / ctg 0 + рд|))'2 + 4 (2/'—/ctg 0 —(ллр) (/'—2/ ctg 0—2рд|)).
Здесь / и г|з — неизвестные функции 0, а р, А — произвольные постоянные.
Для скоростей перемещении будем иметь
и = |
г (/' + / ctg 0 + цф) е“йф, |
v = —3r/e~w, |
iv = |
3/ч|) sin ве~ц(р + ^ г sin 0, |
(6.79) |
D = const. |
Система дифференциальных уравиеиий относительно функций / и \|э согласно (5.17), если положить Е = А/2, примет следу ющий вид:
у у ( Г + |
/ |
0 + |
J Н----- |
-— { f + / ctg 0 + |
рд|)) = |
О, |
('|>' sin2 0 + |
ц/)] |
— tu |
(/' + |
/ ctg 6 + цг|)) + у |
sin 0 = |
0. |
Учитывая представления (6.77), приведенную систему можно переписать в виде
(тг9 sin 0)' — - тГф sin2 0 = 0, |
(6.80) |
(т0ф sin2 В)' + Зтгф sin2 0 -f A sin 0 = 0.
Исключая отсюда тгф, а затем интегрируя полученное дпфференциальное соотношение, получаем
_Лcos 0 |
— В |
|хт |
(6.81) |
||
S ~ |
sin2 0 |
2sin 0’ |
|||
|
|||||
где введены обозначения |
|
|
|
|
|
ТГ0 = |
т(0), |
Т0ф= |
5(0), |
( 6.82) |
|
а В — новая произвольная постояпная. Используя граничные ус
ловия |
(6.76), находим |
|
|
|
|
^ |
2 ( /гх sin2 а + п0 sin2 р) + ц |
sin а + |
sin р) |
|
|
|
|
cos а — cos р |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
(6.83) |
В = |
2 |
( п1 sin2 а cos р + п2 sin2 р cos а ) + М- (т 1 sin а cos Р + |
sin р cos а) |
||
|
cos а — cos р |
|
|
||
|
|
|
|
||
Далее, вводя новую функцию F (0): |
|
|
|||
|
|
/ ' = F - |
/ ctg 0 - |
цф |
(6.84) |
и исключая из выражения % в (6.78) производные /', F' и г|/ при помощи соотношений
,Ь' = ± ^ Х ______V4_ |
(6.85) |
3 sin 0 sin2 0* |
|
находим
( ‘ + ; d ^ Y ’ + w w + M m i e + M - F ) .
|
|
(6.86) |
Из первого уравнения |
(6.80) следует |
|
т' = |
— т ctg 0 — 6 —sin 0. |
(6.87) |
|
Л |
|
Для определения функций /, г|), т и F из системы диффе ренциальных уравнений (6.84) — (6.87) имеем граничные условия
/ = ± -g- i>i, |
т = ± /?Zi при |
0 = а, р. |
(6.88) |
После определения этих |
функций по |
(6.81) и (6.82) |
найдут |
ся значения тге и т0Ф. Остальные компоненты напряжений при мут следующий вид:
|
СТг = |
ав + |
{F — / Ctg 0 — Щ>), |
|
|
||
|
o<p = |
oe + |
^ (F — 2f ctg 0 — 2^|э), |
|
(6.89) |
||
|
|
|
9 |
9 |
{F — 2/ ctg 0 — |
|
|
ае = — Р — А (Фо — ф) — 3 J т dQ + 6 j |
|
||||||
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
-2 H > )c tg 0 | , |
Тгф = - |
^ . |
||
Скорости перемещений будут |
|
|
|
|
|||
|
|
и = rFe-w, v = |
—Зг/е_цф, |
|
|
||
|
iv = 3/*г|)sin 0е~м’ф + |
— г sin 0, |
|
(6.90) |
|||
|
|
|
|
|
г* |
|
|
На |
боковых сечениях |
ср = ±сро |
отсутствуют |
внешние |
силы, |
||
поэтому |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
<Тф(0, фо)^0 = |
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
|
Подотавляя сюда оФиз (6.89), получаем |
|
|
|||||
Р = |
| (F — 2/ ctg 0 — 2цф) [1 + |
(Р - 0) ctg 0] ^ |
- |
|
|||
|
a |
|
|
|
|
|
|
- F ^ . f ( P - 0) Td0- (6-91)
a