Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Пространственные задачи теории пластичности

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

37.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3929 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

получаем

тУьг

г - I

GQ = сгг + / (ёп) ^24 + В — - j j ,

Gz = Gr + / (е0) ^4 + 2В — --j.

Вводя обозначения 1

Д -	fe = o ,i, 2,
	\|А

и используя условие отсутствия нагрузки на внешней цилиндри ческой поверхности слоя г = Ь, находим

(24 + В) Ь2/! - 2С/2 = 0.

(11.11)

Имеем также условия на осевых и концевых торцевых сечениях соответственно

ъъ

М = j о0г dr,	iV = J о2г d/*,
а	а

где Л/ — изгибающий момент на единицу длины, а N — растя гивающая сила на единицу угла. Подставляя о0 и о2, после неко торых преобразований получаем

(24 + В) ЬЧо - 2С1\ = 4Л/, 3ЬЧ0В = 4ЛГ.

(11.12)

Таким образом, задача сводится к системе уравнений (11.11), (11.12) относительно неизвестных параметров 4, В, С. Разрешая систему относительно этих параметров, получим

л	2М12	2N		р	4N r	2MI х
л ~	ъ'{1й1 - 1 \ )	3 6 % ’		"	3 6 % ’	/ / , - / ; •
Принимая 6 = 1 — а/Ь		малым и разлагая 1к в степенной ряд
по параметру 6, получим
	/0= 2/„6 + ( / ; - / 0)б2+
	Л — 2/06 +		(/о +	/о)	+
	12 = 2 / 06 +		(/о +	3/0) 62 +
где

/о = / [ео (ь)1. /о = ^ / (ео №(1 — 6)1}б=о.

Тогда
I t - h	2/„62,	I o h - n
Следовательно,
f Ш \ 1 г- 1 tf		+	4N1	1	,	/ 9М2	N'1
*о(Ъ)		+	ЗЬ2/ 2	/0	V	Ь*б4 +	364б2'
Принимая степенной	закон		упрочнения			(11.5)	и полагая
г = Ь, находим
/о =			~ У		~	1/т
/о =			ЗЬ-&-)
			ЗЬ-&-)

Таким образом, для искомых постоянных получаем приближен ные значения

л / 3М 1 N \ 1		__ 2	N 1	Л _ З М 1
- U263 3	/о>	" - з	626 /о>	° - 6з / ;

Существо решения рассматриваемой задачи не меняется, если р. осевых сечениях 0 = ± а приложены также растягивающие распределенные нормальные силы, а на цилиндрических поверх ностях — радиальные распределенные силы с соответствующей интенсивностью.

§ 73. Сжатие клина

Приводится класс решений уравнений теории упруго-пласти ческих деформаций произвольно упрочняющейся среды, на осно вании которых рассматриваются две задачи о напряженном со стоянии пространственного клина.

Исходные уравнения рассматриваемой теории в цилиндрических координатах состоят из дифференциальных уравнении равнове сия (8.27), зависимости между деформациями и перемещениями

(8.28),	закона упрочнения (8.29), где ео определяется согласно
(8.30) ,	соотношения между напряжениямп и деформациями

(8.31) .

1. Представление решения. Компоненты перемещении, удов

летворяющие условию несжимаемости			материала	ег + ео + е ^ О ,
представим в следующем виде:
и =	гф (6) —	+ М sin (0 + б),
v =	— 2rg (0) +	Dr In г +	М cos (0 +	б),	(11.13)

и>= /чр(0);+

Ф = £\

где	g(0)	и ф(0) — произвольные функции				0, а С,		Д	I , 6 -
произвольные постоянные.						можно		представить
	Компоненты напряжений согласно (8.31)					можно		представить
в форме
		ог = (JQ +	ог = ае +	2/(e0)^\|) +				c j,	(11.14)
		T r e = f(e o )W + D), т02 = /(е о)ф',			тГ2 =		/(е 0)ср,
где
		e0 = V W +	D? + 4> + ф'г +		Ф2 +		C\
	Удовлетворив уравнениям равновесия (8.27), приходим к вы
ражению			е
			е
		Ов = Н — E ln r — 2§ f (е0) (ф'			+	D) <20,			(11.15)
			О
где	Ну	Е — произвольные	постоянные, и		к	спстеме		уравпенпй
	[/(е0) W + D) ].' + 4/(еоИ = Е,			[/(е0)Ф' ] ' + /(е 0)Ф = 0.
	Преобразуя эти уравнения и учитывая соотношение
		*0 —у - Кф' + D) (Ф" + 4ф) +		Ф' (ф* +		Ф) — 4£>ф],
		ео

приходим к следующей спстеме обыкновенных дифференциаль ных уравнений:

	ф" + 4ф =			р\|/ +	D) F + Е(1 +			ф'2Ф)
				/+[(ф '-Ы >)2 + Ф'2]^
									(11.16)
			4Дфф'^’ — Е(ф' +				D) ф'Ф
	ф" +	Ф =
			/	+ 1(Ф'+Л)2 +			Ф'2]*’	'

Здесь обозначено
		F - 4 ~ f '			Ф = Г 7 / '
			ео			V
Полученные выражения компонент перемещений п напряже
ний	(11.13)— (11.15), где			функции а\|) и			ср определяются из			си
стемы уравнений (11.16), являются решением									уравнений	рас
сматриваемой теории пластичности						(8.27) — (8.31)			прп отсутствии
массовых сил с общим законом упрочнения (8.29).
В частном случае, когда D = E = 0, из (11.16) находим
	ip =	cos 2 (0 + у)>				ф = В cos (0 +			v),
где	Ay By Yi v — произвольные					постоянные.			Для компонент

напряжений находим
ог, ов = tf± .4 /(eo)cos2 (0 + к),				о* = Н + УЗС/(ео),
Тгв = — A f(e0) sin 2(0 + 4),		тв1 =	—B f(e0) sin (0 + v),			(11.17)
TV* =	Bf(e 0) cos (0 + v),		во =	УA 2 + B2 + C2.
Поле перемещении примет форму
и = у	r cos 2 (0 + у) — - вд +			М sin (0 +	б),
17- — 4 '’ sin2(0 + у) — 2Nr + М cos(0 +					б),	(11.18)
w =	+ Br cos (0 +	v),	N =	const.

2. Сжатие прямоугольного клина. Пусть бесконечный прямо угольный клин г ^ 0, —я/4 ^ 0 ^ я /4 , —l ^ z ^ l (на рис. 11.3 по казано сечение z = 0) пз произвольно упрочняющегося материала

находится под действием нормальных равномерно распределен ных по граням 0 = л/4 и z = сил с интенсивностями р и q соответственно. Полагая fi = 0 и используя граничные условия

00 = Тг0 = 0 при 0 = —J,		00 = — р, Тгв = 0 при 0 = у ,
	0* = — q при z = ±1,
из (11.17) находим
0r, 0е =	— у (1 =F sin 20),		0 Z = — <?,
TrO =	у cos 20,	т0г =	тгг = 0.

Это означает, что в рассматриваемом случае напряженное со стояние не зависит от механических свойств материала.

Соответствующие перемещения из (11.18) будут
	u = - j r	sin 29 + ^ (l -	2 у ) г + М sin (0 + б),
	v = —	г cos 29 — 2Nr +	М cos (0 + б),
	U,- , - 4 ( 1 “ 2 T ) z’
где А определяется из уравнения
Отсюда для идеально пластического материала, полагая				/(ео) =
= /с/ео, где к — пластическая постоянная, находим соотношенпе
между р и q
		Р2 — PQ+ я2= ЗА;2.
При	9 = 0 и степенном законе		упрочнения существует	числен
ный способ решения [166] этой			задачи для произвольного раст
вора	клина.
3.	Сжатие клина жесткими плитами. Положим, клин 0 < г ^ R,

—а ^ 0 ^ а, —I ^ z ^ I из произвольно упрочняющегося материала

сжимается между двумя одинако
выми	шероховатыми по				радиаль
ному	направлению			плитами, вра
щающимися навстречу друг другу
с одинаковыми			угловыми скорос
тями	со вокруг		цилиндрической
осп (на рис. 11.4 показано сече
ние	2 = 0).	Одновременно				клин
подвергается		сжатию двумя глад
кими	параллельными				плитами,
прикладываемыми				на	торцевых
сечениях z =		± l и сближающимися
с одинаковыми перемещениями WQ.
Ввиду симметрии деформирования рассматриваем четверть
клина. Принимаем граничные условия
				и =	0,	—cor при 6 =	0, а,
				ю = 0,		—Wo прп 2 =	0, I.
Далее имеем условие отсутствия внешних сил на цилиндри
ческой поверхности клина
		R
		J (ог cos 0 — тг0 sin 0) d0 = 0					при г = R.
		о

Полагая в формулах (11.17), (11.18) В = N = М = у = 0 и используя вышеуказанные условия для напряжении, получим

2со

СТг, СГ0 = — sin 2а / (во) (1 “F cos 20),

2со						i sin 20
О .------ \| Ж * Г + 3 ^ )№ .> .						i sin 20
О .------ \| Ж * Г + 3 ^ )№ .> .
г. “	У	4со2	+	3-г г , т0г =		т Гг = 0.
г. “	У	sin2 2а	+	3-г г , т0г =		т Гг = 0.
		sin2 2а	'	I
Соответствующие перемещения будут
cos 20	,	г,	г; =	. sin 20
и = с о г о-	+	г,	г; =	— сог	sin 2а ’	w = — w0Т ,
sin 2а					sin 2а ’	w = — w0Т ,

т.е. перемещения не зависят от механических свойств материала. Очевидно, полученное решение имеет смысл при а < я/2, а

также для небольших значений со/(ео), поскольку трение на по верхностях плит не может вызвать больших касательных на пряжений [37].

§ 74. Кручение конического стержня

Пусть сплошной или полый конус из упрочняющегося по сте пенному закону материала находится под воздействием внешних сил, вызывающих в теле деформации кручения.

1. Представление решения. Единственной отличной от нуля компонентой перемещения считаем w. Тогда отличные от нуля компоненты деформаций выражаются через это перемещение по формулам

_ dw	w 0 _ 1 dw	- f - c t g G .	(11.19)
2уr* = dF	^Ye<P - 7 00-

Имеем зависимость между компонентами напряжений и дефор маций

тг(р=		т0ф= 2А-е”_1убФ.		(11.20)
закон упрочнения сг0 =	причем
CJQ =	"Ь Т0ф,	£() == 2 Угф	Увф*
Дифференциальное уравнение равновесия (5.1) в этом случае
сводится к одному уравнению
(г3 sin2 0т гф) +		-Щ(Г2 sin2 0т0ф) =	0.	( 1 1 . 2 1 )

Компоненты напряжений и перемещении ищем в следующей форме:

	тГф=	—Я/сг_Хтх/ sin™ 0,			х0ф= kr~Xm%f' sin™ 0,
	ю =	r1”^/ sin 0,		^ =	( ] /" /'2 +	X2/2)771 \	(И-22)
где / = / (0) и X — произвольная					функция	и постоянная	соответ
ственно. Подставляя выражения для напряжений (11.22)							в урав
нение (11.21), приходим к				обыкновенному дифференциальному
уравнению							(11.23)
	(х/' sin™+2 0)' + X (кт — 3) х/ sin™+2 0 = 0 .
Таким образом, выражения (11.22) являются решением рас
сматриваемой системы			уравнений (11.19) — (11.21), если функ
ция /(0)	удовлетворяет		дифференциальному уравнению				(11.23).
2.	Кручение конической				трубы кольцевыми силами. Пусть

коническая труба из упрочняющегося по степенному закону ма териала находится под воздействием кольцевых касательных сил, равномерно распределенных по внутренней и внешней поверх ностям (см. рис. 5.1). Принимаем гранпчные условня

	ТеФ=	g, q 1 прп 0 =	а,	[J.	(11.24)
Полагая X = 0, пз	(11.22)	находим
т0<р=	/cl/'l™"1/' sin™ 0, Tr<p=		0,	w = г /sin0.	(11.25)

Из уравнения (11.23) следует

l/T n“ 1/ / sin™+2 0 = const.

Используя граничное условие (11.24) на внутренней поверхности 0 = а, находим

				S•in 2	CL		/ у
			Т0Ф= (1 -ГТГ-				(11.20)
				sin	0
Из (11.25) и	(11.26)		определяем /',			а затем	и перемещение
	е
.	д Г / х т	У /ж		г/0	г	п	signx,
ш = г sin 0 J		J		^ Q + Er sin 0, x =			signx,

где т = теФ, Е — произвольная постоянная, определяемая пз до полнительного условия закрепления трубы. Например, полагая неподвижность конической поверхности 0 = 0*, получаем

w = г sin 0

dQ sin 0 *

Условие равновесия трубы ставит ограничение на внешние силы: gsm2a = gisin2p.

§ 75. Задача Соколовского

Рассмотрим бесконечный конус из упрочняющегося по степен ному закону материала, на вершине которого приложен сосредо

точенный крутящий		момент	(рис.	11.5). Такая задача решена
В. Соколовским [162].
Будем исходить из решения, приведенного в предыдущем па
раграфе.	Полагая в	(11.22)	и (11.23)			Хт = 3, / = —A = const,
		уравнению		(11.23)			удовлетворим тож
		дественно. Для напряжений и перемеще
		ний получаем
			т,ф = ХА\ХА I”1-1к si” m 9-,
							Г
			т0ф =	0,		w = — Л/Д“ л sin 0.
		На сферической поверхности с радиу
		сом г касательные напряжения должны
		уравновешиваться моментом
			М =		2я j тГфГ3 sin3 0 d0,
причем	2ос — угол раствора		конического			стержня. Используя этс
условие, находим
	_ М	sinm 0	_ _	т	/ M W 1» sinG
	Тгф “ Т	гз »	w ~ ~~ Т			)	r3/m -i ’

где обозначено

J = 2я J sinm+20 d0.

Эти формулы получены В. Соколовским в 1949 г. Обобщения приведенного решения для усеченного конуса даны Н. Арутю няном [12].

§ 76. Коническая труба под действием нормальных и касательных сил

Пусть коническая толстостенная длинная труба из упроч няющегося по степенному закону несжимаемого материала нахо дится под совместным воздействием нормальных и касательны: сил, равномерно распределенных по внутренней 0 = а и внешне! 0 = [} поверхностям (см. рис. 5.3). Принимаем следующие гранпч ные условия:

OQ = —/ 7,, г Г0 = п и , T0(p = <7i при 0 = а , (1.

(1 1 .2 7

Будем исходить из соотношений теории упругопластических деформаций упрочняющихся по степенному закону несжимаемых тел при осевой симметрии. Имеем уравнения равновесия (2.55), соотношения между компонентами деформаций и перемещений

(2.56),	закон упрочнения материала	а0 =	/се™, зависимости меж
ду компонентами напряжений и деформаций (8.37),				(8.38):
От■”	G == 2ке0 бр, GQ — о = 2/C6Q	£Q,	(Тф — о =	2JCEQ бф,
	тij “ 2ке0	Ytj,

где интенсивности напряжений Со и деформаций ео определяются согласно (8.36).

Компоненты перемещений из (8.35), удовлетворяющие условию

несжимаемости	ег + е0 + еФ= О,	представим в следующем виде:
a =	- r ( / ' + /ctg0 ),	у = 3г/, w = r\1‘ sine,	(11.28)

где / = /(6) и \|) = г[)(0) — искомые функции от 0.

Тогда компоненты напряжений можно записать в следующей

форме:
	аг = Ое —б/с/'х,			ат =	Оо - 6/с(/' —/ ctg 0)'х,				29)
Тгв = — к (/' + / ctg 0) 'х,				тв, = к x t' sin 0, т„ = О,
где	обозначено
х =	( / ( / ' +	/ ctg 0)'2+ 1 2 (/'s- / 7 c t g e + / 2ctg*0)+						siii'-e)"1-1
									(11.30)
Подставляя выражения компонент напряжений (11.20)									в урав
нения равновесия (2.55), приходим к формулам
			е
	ОЧ) =	— lh +	зк [ [/" — /' clg 0 — (1 — ctg2 0) /\| X <й),
			“						(11.31)
		Т()(Г=	sin" а		. о	.	о
		Т()(Г=	т = гу, — -— ,		sin- а = д\>sin- р,
			sin- 0
где	частично	использованы		граничные		условия	(11.27),		п к си
стеме обыкновенных дифференциальных уравнений
[X(/' + / ctg0)' sint)f + (>X.(/sin е)' =						Х»\|>' =			(11.32)
Согласно		(11.27) имеем также граничные условия
		kx(j' + /ctg 0 )' =			—пи при 0 = а,		р		(11.33)
и соотношение
		Р

I [Г — /' Clg 0 — (1 — ctg2 0) /] X dQ = Pl — p2. (11-34)

19 м. А. Задомн

Таким образом, определепие напряжений (И .29) и перемеще ний (11.28) сводится к интегрированию системы дифференциаль ных уравнений (11.32) при условиях (11.33), (11.34). Для оп ределения \\i необходимо поставить еще условие закрепления, например, неподвижность какой-нибудь конической поверхности

0 = 0* .

§ 77. Коническая труба под действием внутреннего давления н окружных касательных сил

Исследуем напряженное состояние конической толстостенной трубы из упрочняющегося по степенному закону несжимаемого материала, находящейся под совместным воздействием нормаль ных и кольцевых касательных сил, равномерно распределенных на внутренней 0 = а и внешней 0 = р конических поверхнос тях (см. рис. 5.2). Имеем граничные условия

о0 = —ри т0ф= qi при 0 = а, р.

На конических поверхностях 0 —а и 0 = р отсутствуют продоль ные касательные силы. Положим, что тге = 0 по всему объему трубы. Тогда будем иметь дифференциальное уравнение

( / ' + / ctg0)' =	O,
следующее из (11.29). Решение этого	уравиепия представится
в виде

где А и Е — произвольные постоянные. Для рассматриваемой задачи, принимая Е = 0, из (11.29) — (11.31) будем иметь

	о
	а
причем	определяется из уравнения

II соблюдается соотношение q\ sin2 а = ^2Sin2 р.

Условие (11.34) перепишется в нашем случае в виде

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3929 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20235.32 Mб0Промышленные роботы. Ч. 3.pdf
#
12.11.202314.26 Mб0Промышленные системы водоснабжения и водоотведения. Ресурсосберегающие технологии очистки воды.pdf
#
12.11.202311.05 Mб1Промышленный экологический анализ..pdf
#
12.11.202314.59 Mб5Пространственная модель турбулентного обмена..pdf
#
12.11.20238.66 Mб1Пространственное развитие городских систем..pdf
#
19.11.202337.49 Mб1Пространственные задачи теории пластичности..pdf
#
12.11.20236.9 Mб1Противопожарное водоснабжение..pdf
#
12.11.20231.49 Mб0Прототипирование сетевой системы управления. Разработка Windows-приложения удаленного контроллера прототипа робота-официанта на базе PROMOBOT V.4.pdf
#
12.11.20231.35 Mб2Профессии в горной промышленности..pdf
#
12.11.2023588.52 Кб2Профессионально-прикладная физическая культура студентов технического университета..pdf
#
12.11.202312.87 Mб9Проходческо-очистные комбайновые комплексы калийных рудников. Ч. 1.pdf