Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1267 вузов, 4648 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Пространственные задачи теории пластичности

..pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
37.49 Mб
Скачать
☆

из рекуррентной зависимости

 

 

 

71— 1

 

 

 

 

 

 

 

фп = —

2

{U hN n -h -l +

Vh(fn~h~i),

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дг

1

V

( дФ'< да п-к .

дФк дап-к\

 

Лп — Нг £ ^ \ д а

да

+

др

ар ) ’

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

и0 =

б(Оо-1 ,

ип =

—

2

{кб — п) щип_ь,

 

 

 

 

 

Ок=1

 

 

 

 

 

Vn =

/гсол

п

(л'6 — п +

к) a>/t^n—/*•

V Q —

G)0 ,

 

^

 

 

 

 

 

о

/1=1

 

 

Вводя новую

функцию

1рп(а,

р)

при помощи соотношения

 

 

Ф „= (сЬ а — cos р)_3/2ф„(а,

р),

из (10.55) получаем уравнение -с разделяющимися переменными

+

~~3 clh “ ^

+ т * я =

т (ch “ _

cos Р)3/2 ф"-

(10-56)

На внешней окружности имеем ^ (а о,

Р) = 0, а на внутренней

i|3n(ai,

Р) = bn(ch ai — cos Р)3/2,

bo =

const,

bi = Ь2 = - - - = 0.

Предварительно введем функцию

 

 

 

 

 

Zn (a, Р) = РТг (ch a) Q™(ch P) -

P™ (ch P) Q™(ch a),

 

где Pn (я) и Qn (x) —

присоединенные

сферические

функции

соответственно первого и второго рода m-го порядка индекса п. Решение уравнения (10.56), удовлетворяющее указанным вы­

ше условиям, будет представлено формулой

 

 

я

 

 

 

 

■фп (a, Р) =

^

J (ch ах — cos ii)3/2 L (а, р; rj) dx\ +

 

 

1 —Я

 

 

 

 

+

sj^ r

Я <Р» & ч )(ch 1 -

cos 1i ) f G (а’ Р;

11)dQ' (10-57>

где

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L { а, Р, ri) =

2-1/Лао' а)

+ 2

2 Z » - l / 2 («О -

“ )

COS п (Р — 1]),

 

 

Z-i72(ao- ai)

 

п=*1 ,Zn—1/2 (V

ai)

 

a G — функция

Грина для данной задачи, причем G(a, Р; £, т|) =

= G*(a, Р;

г])

при £ < а

и G(a, Р; £, г|) =

G* (|, 4; а, Р) при

£ > а , где

/2 Л. II. t

Р>5» Л) —

.

/t

~ ч

Z-l/2

К ’ “ )

,

g " —1/2

(ь>

а0)

-----

г “г

 

 

 

-1/2

(«„• “ l)

+ 2 1

/ г^ (/ ’ а,)п

$ - * !" • ■ * « " О - * (W.58)

«=1

/ п2- | ) 1 п2- 4 )

Z« - l/2(<Vai)

3.Круговое сечение. В частном случае, когда поперечное се­

чение представляет сплошной круг, переходя к пределу ai °° в (10.57) и (10.58), а также полагая Ьо=0, будем иметь

 

■фп (a, Р) =

 

J J Фп (£, л) (ch t — cos л)з/2 Go(а, Р; I» Л) ^£2,

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где G o = K (a ,

Р; 1, л)

при 1 ^ а ,

 

причем

 

 

 

 

 

V!

о с

ч

16 „2

 

,

 

t ,

<?i1/2 (ch а)

 

,

 

 

 

 

 

К (а, Р; £, л) =

9-Z _ a/2(a0,

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

2

,

. * * - * } У

g)

 

4[ f - i / 2(cha)

cos n (Р -

л)

 

 

 

 

 

 

А

(» “ -

в/4) (п2 -

1/4) ^ г„ _ а/2 (ch а0)

 

 

и G0 = K (l, rj;

а, £)

при

| > а .

 

 

 

 

 

 

 

членами,

бу­

Ограиичиваясь в ряде (10.53) первыми двумя

дем иметь

 

Ф =DQo(a,

(}) — XD26+lQi(a,

р),

 

 

(10.59)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 ‘

“

2, ( c h f - l s p/ «

I J

 

(5’ Ч)<Ch 5 -

 

С05Ч)’"

G><“ •Р' &• Ч) <®.

причем к = 0,

1. Здесь имеем ifo =

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

11,1=

1

Г /« ? .у * Ч

, g

 

ag,

gg.

 

 

.

 

/*C0\2^

J

+

 

 

 

_ U « /

 

 

 

 

da

dp

da dp ^

 

Up /

dp2 J

 

 

+ ^

М

ж

Н

ж

)

Т

{

‘ +

? [

^

" l i ( »

_ v *

) +

^

4

( f f - v ‘ )]}.

Подставляя выражение Ф из (10.59) в (10.52), приходим к степенному уравнению относительно D:

Р = moD — XnuD26*1.

Здесь введены обозначения

о Г(•<?*<“•» л п

4.Криволинейное прямоугольное сечение. Для стержня с по­

перечным сечением в виде криволинейного прямоугольника

(рис. 10.7) решение

уравнения (10.56) представится

в форме

фп (а, Р) =

J j

фп(£, Л) (ch | — cos л)3/2 G* (а, Р; £,

л) dQ,

где G* = К* (а, Р; £, л) при | < а, причем

оо

К* (а, р; I, а) = 2 2 ^nn- i /2 (а, I) sin р„ (р — Р0) sin р„ (л — Р0),

П=1

Zlln-l/2 (£’ ®о)

Zlln—l/2 (“ ]> а)

(а, I) =

( r t - 4 ) ( A —

Pn = яи/(Рх — Р0) и G* = К* (£, л; а, Р) при £ > а.

Полученное решение содержит частные случаи, соответствую­ щие полукруговому и полукольцевому поперечным сечениям (рис. 10.8).

5. Сходимость решения. Вводя норму согласно (9.59), при помощи априорных оценок Шаудера, которые в нашем случае

запишутся в виде

Ш2ФПН^ с11фп11, и для простоты принимая 6 =

= 1, получаем рекуррентную систему неравенств

 

п

п

II Фп+1 II <

м D2 2 I Фй |qn_ h,

qn = 2 II фи II |Фп-ft ||,

 

k=l

к=о

1 8 М. А. Задоян

где

М = 2с21 Я " 2р -41 + 4с31Я ” 21|[|-| (Я ~ 2р -4) I + 2 1 Я " 2р -41 ].

Методом индукции, аналогично предыдущим случаям доказатель­ ства сходимости, получается оценка ||фп||^0 032/г~1,6Я“ п+1, где Я* = 0,062л/"1/ ) " 2.

Тогда ряд с общим членом Яп11фп11, а следовательно, и ряд (10.53) сходится абсолютно и равномерно с радиусом сходимо­ сти Я = Я*.

РАВНОВЕСИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И КОНУСООБРАЗНЫХ ТЕЛ

На основе теории упругопластнческих деформаций рассматри­ вается равновесие цилиндрических и конусообразных тел из уп­ рочняющегося несжимаемого материала при воздействии различ­ ных внешних сил. Вопросы пластического состояния упрочняю­ щихся тел, имеющих цилипдрические и конические очертания, изучены в работах [12, 92, 122, 161, 162, 166]. В настоящей главе получены классы решений уравнений рассматриваемой теории пластичности в цилиндрических и сферических координа­ тах и даны их приложения в исследованиях напряженного со­ стояния толстостенных цилиндрических и конических труб, ци­ линдрических слоев, конусов, полупространства, клина из уп­ рочняющегося несжимаемого материала.

§70. Цилиндрическая труба под действием внутреннего давления, осевой силы и крутящего момента

Такая задача для длинной толстостенной цилиндрической тру­ бы из идеально пластического несжимаемого материала при предельном состоянии рассмотрена в статье Панареллн и Ходжа [133], результаты приведены в § 26. В случае ортотропного идеально пластического материала предельное состояние трубы

при комбинации вышеуказанных внешних сил рассмотрено в статье [57].

а

Когда труба находится под действием внутреннего давления,

материал ее является по степенному закону упрочняющимся

и

несжимаемым, задача решена А. Надаи [122]. Дальнейшее

исследование этой задачи проведено в работах [92, 161].

Ниже будем рассматривать [60] длинную толстостенную ци­ линдрическую) трубу из упрочняющегося несжимаемого материала, находящегося под совместным воздействием внутреннего давле­

ния,

осевой растягивающей силы и крутящего момента (см.

рис.

4.3).

Будем исХОдПТЬ из уравнений пластичности упрочняющихся несжимаемых тед в цилиндрических координатах. Это — дифферен­ циальные уравнения равновесия (8.27), зависимости между ком-

18*

понептамп деформаций и перемещений (8.28), закон упрочнения материала (8.29), где Go и ео определяются согласно (8.30) и (8.32) соответственно, соотношения между компонетами напря­ жении и деформаций (8.33).

Полагая тензор деформаций лишь функцией от г, компоненты перемещений из соотношений (8.28) можно представить в виде

и = — (А + В) г + -р-,

г

а

где А, В, С, D, Е, Н — произвольные постоянные. Отсюда имеем

Се = А +

— ч с2 =

В,

702 = Dr + — .

(11.2)

 

 

г

 

 

г

 

Часть компонент напряжений

из (8.33)

при е = 0

можем

представить в виде

 

 

 

 

 

 

ое = Or + /(е 0);(2е0 +

ez),

oz = or + /(ео) (е0 + 2е2),

 

 

 

 

 

Tez = /(eohex.

(11.3)

Подставляя эти

выражения

в

уравнения

равновесия

(8.27)

п последовательно интегрируя их совместно, приходим к следую­ щим выражениям:

г

причем biy — произвольные постоянные. Вводя обозначения

S =

eg + б0ег + е2 + Vez> Т =

Tre +

будем иметь

В случае степенного закона упрочнения

сг0 =

f(e0) =

(11.5)

где к и т — параметры материала, получаем уравненпе относи­ тельно / вида

£2^2/(1-т) у2у2т/(1-т) =

£2/(1-™^

Определив отсюда /, получим явные

выражения напряжений

и перемещений через координаты и произвольные постоянные. Рассмотрим равновесие трубы, находящейся под совместным

действием внутреннего давления р, осевой растягивающей

си­

лы N и крутящего момента М. Полагая

тге= тГ2 = 0, находим

ео = 5,

ао = 5/. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

аг =

— 2с0 + J/(<5)(2e0 +

ех)^-,

а0 =

аТ+

/ (S)(2е0 + ег), ^

^

 

а

 

 

 

 

 

 

 

аг = аг + f(S) (е9 +

2ег) ,

твг =

f(S)

 

Полагая в выражениях

(11.1) — (11.2)

 

 

 

Кгв =

Tfr* =

Е = Н = О,

В — — 2А,

 

для компонент перемещении получим

 

 

 

 

а

,

о Ъ~

0

rz

2а

 

 

“ - - у Г

+

Р -р

 

 

1/3

 

где а, р, if — произвольные постоянные.

Соответственно для выражения компонент деформаций будем пметь

a

ft62

2а

г

/,1,1 гуЧ

ee = - V ?

+ Р7 ’

6г = у Г

ТегИ=ут*

(11-7)

Подставляя (11.7) в формулы напряжений (11.6) и удовлетво­ ряя граничным условиям на внутренней и внешней цилиндри­ ческих поверхностях

Or = —р при г = а; ог = 0 при г = 6,

а также условиям статической эквивалентности на торцевых

сечениях трубы

ъ

ь

N = 2л j ozrdr,

М = 2п\ т0zr2dr,

а

 

получим соотношения между параметрами a J , к и внешними силами

1

 

1

 

J> = p jV (* )^ > ,

M0 = y jF (x )x d x ,

 

И

х

V

 

 

 

1

 

N0 = ИР + V^3a j F(x)dx,

(11.8)

Здесь введены

обозначения

 

 

 

 

^ 0 = 4 ? .

* . - 4 ’ / о $ ) = т

 

 

по

 

по

 

 

 

Х = -г Ч, S = Л / а2 + ^ + - f x .

 

 

Ь“

X

х

 

Отличные от нуля компоненты напряжений определяются

следующими формулами:

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

ar = - p j V

( * ) ^ ,

a0 =

<jr + f F(x),

 

 

 

 

 

(11.9)

oz =

Or + | / 3 a +

 

%&z = y V x F { x ) .

Когда заданы

внешние

силы,

задача

сводится к определению

 

 

a, Р и ] из системы уравнений

 

 

(11.8). Для степенного закона

 

 

упрочнения (11.5)

имеем

 

 

 

F(x) =

к ( l / a 2 +

^ + Y2*)

 

 

 

 

 

( 11.10)

 

 

 

Для значений a, р, у из сис­

 

 

темы (11.8) на ЭЦВМ получается

 

 

решение

 

 

 

 

 

a =

2,09057, р = 1,15762,

 

 

 

 

7 = 7,89860.

На основании приведенных числовых данных по формулам для напряжений (11.9) и (11.10) вычислены напряжения в раз­

личных точках вдоль толщины трубы и построены графики (рис. 11.1).

§ 7 1 . Цилиндрическая труба под действием касательных сил

Пусть длинная толстостенная цилиндрическая труба из уп­ рочняющегося несжимаемого материала находится под совмест­ ным воздействием продольных и кольцевых касательных сил,

равномерно распределенных на внутренней и внешней цилиндри­ ческих поверхностях (рис. 11.2). Принимаем граничные условия

тГ0= тгг = Шг при г = а, Ь.

Полагая

в

(11.1) — (11.4)

А = В = С = D = Н = а\ = Ъ\ =

= с» = О, для компонент напряжении получаем

 

 

 

 

 

2

^

Or =

СГQ=

Oz == TQ2 = О,

ТГ0 =

, Trz =

TTlj —.

 

 

 

 

г

г

Здесь использованы граничные условия, причем имеют место

ограничительные

условия п\а2 = /ггЬ2,

т\а = тп^Ъ,

следующие из

равновесия трубы.

 

 

 

 

Соответственно для деформаций и перемещений будем иметь

Е 0 === & z = = У Oz ==г U = =

О ,

v = Er +

2?i1a?r JгF (<т0)

 

а

г

u? = 2m1a J F (ст0)

а

где функция F удовлетворяет условию

 

 

F (сто ) /( ео) =

1»

\ Л

» ? +

л ? £

В случае степенного

закона

упрочнения

F(o0) =

koo

если условно закрепить внутреннюю цилиндрическую поверхность г = а, для отличных от нуля перемещений находим

 

 

1

__________

л =

n^r

j

[ у Гm\x +

nXx^Y l dx,

 

a2/r2

 

 

 

 

1

 

 

w =

mxka

J

( У m\x +

п\х^П 1 ^ .

 

 

a2/r2

 

Продольная сила и крутящий момент, действующие на трубу,

будут равны соответственно

 

 

 

N =

4ла/я11, М =

4яаЧп\ч

где 2/ — длина трубы.

 

 

 

§ 72. Поперечный изгиб и продольное растяжение цилиндрического слоя

Рассматривается [59] сектор длинной трубы в виде цилиндри­ ческого слоя из упрочняющегося несжимаемого материала, под­ вергнутый совместному воздействию равномерно распределенных изгибающих моментов М на осевых 0 = =Ьа и растягивающих сил

N

на торцевых z = ± l сечениях

(см. рис. 4.6). Аналогичная за­

дача для идеально пластического

материала

была рассмотрена

в

§ 27.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем исходить из представления компонент перемещений

(11.1). Полагая в нем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тге =

Yrz = D = Е = Н = 0

 

 

и заменяя С на —С, получаем

 

 

 

 

 

 

и = — (А +

В) г — у ,

v =

(2А + В) г0,

го = Bz.

Соответственно имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е0 = А — 4г",

ег =

В,

уег = 0.

 

 

В выражениях

(11.3)

и

(11.4)

для

напряжений,

принимая

diг= bi = с\ = 0, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ог = со+

J* / ( ео) (2^9 + е2) у ,

(Те = ог + / (е0) (2е0 +

е2),

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oz=

Or + / (е0) (е0 +

2е2) ,

тг0 =

т02 = тГ2 = 0.

 

Входящие в этп выражения А, В, С, со — произвольные по­ стоянные. Приведенные здесь величины компоиепт перемеще­ ний и напряжений удовлетворяют всем соотношениям теории упруго-пластических деформаций упрочняющихся тел.

Вводя обозначения

а = А2 + АВ + В2, р = (2А + В )С , у = С2,

будем иметь

Используя условие отсутствия нагрузки на внутренней ци­ линдрической поверхности слоя г = а, для компонент напряжений

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности