книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfциальных .уравнении (5.17) и заданных граничных условий кон кретных задач.
Принимая в (5.15) — (5.17) |
о|) = О, |
X = — 2, \.i = D = G = М = |
= N =-• 0, получаем известный |
случай |
радиального течения иде |
ально пластического материала через конический канал, рассмот ренный в работах В. Соколовского [163] и Р. Шилда [181].
3.Полагая в формулах (5.8)
=/ ( 0) sin 0, ¥ = a|)(0)sin 0,
для компонент напряжении из (5.6) получаем
|
|
6 , |
|
|
1 |
,, |
|
О г — CFQ |
ф h |
° Ф |
а 0 ’ |
Т Г0 — |
/ 1 |
|
|
т0ф = |
1 |
г|/sin 0, |
|
|
3 |
|
(5.18) |
— |
тгф = -----— arsine, |
||||||
со = |
Y j '2, + 12/ 2 + |
(г|/2 + |
9\|г) sin2 0. |
|
|||
Компоненты скоростей перемещении будут даны выражениями
и = |
f, w = -Y лр sin 0, г = 0. |
(5.19) |
г- |
г“ |
|
Удовлетворяя дифференциальным уравнениям равновесия (5.1) согласно (5.18) приходим к формуле
о
ае = Я + G l n r - 3 j J r /'d 0
а
и к системе обыкновенных дифференциальных уравнении
12/ sin 0 |
+ G sin 0 = |
0, |
|
со |
|
|
(5.20) |
|
9\|?sin3 0 |
_ |
|
|
Q |
||
|
со |
“ |
|
В частном случае, когда г|) = 0, второе уравнение (5.20) удов летворяется тождественно, а первое, если ввести новую функцию g (0), соотношениями
0
/ ' - 2 / 3 / * , / - / ( а ) exp 2 / 3 jg d d
а
примет форму
g' = (2V3 - g ctg 0) (1 + *2) - G (1 + **) v*. |
(5.21) |
Формулы для напряжении (5.18) преобразуются таким об разом:
От= OQ |
УЗ |
, |
Оф — о>е, |
||
l / l + / - |
|||||
|
|
(5.22) |
|||
|
о |
|
|
||
OQ = Н + G lnr — 3 ( |
,е |
|
, тг0 = -7 7 = |
||
|
{ V |
l + ег |
V I + Г |
||
Скорости перемещений (5.19) будут даны формулами
и = Цг £ /(а) + 2 ]/3 j |
v = w = 0. |
(5.23) |
Компоненты напряжений (5.22) и скорость перемещений (5.23) выражаются через функцию #(0), определяемую та диф ференциального уравнения (5.21) при заданных граничных усло виях задачи.
§ 29. Кручение конической трубы кольцевыми силами
Рассмотрим предельное состояние конической длинной тол стостенной трубы из идеально жесткопластического несжимаемого материала, находящегося под действием кольцевых равномерно
|
|
распределенных сил на внутренней 9 = |
|||||
|
|
= а |
и внешней 9 = [} |
поверхностях |
|||
|
|
(рис. 5.1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
х0Ф= |
gi, |
q2 при 0 = |
а, р. |
(5.24) |
|
|
Полагая / = |
0, [X= Е = G = 0, перво |
||||
|
|
му |
уравнению |
(5.17) |
удовлетворим |
||
|
|
тождественно, а из второго получим |
|||||
|
|
|
Ф' sin2 0 |
|
|
|
|
|
|
Vф/Z -1- (Я - I)2 ф2У + 3 (Я — 1) х |
|||||
|
|
|
X- V |
ф sin2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
+(%— о 2 - |
= 0. |
(5.25) |
|
Полагая в (5.15) /7 = 0, для напряжений находим |
|
||||||
Т0ср — Т — |
J 5! |
____ |
„ |
_ |
(*-оч> |
|
(5.26) |
|
|
^Гф -- |
|
|
|||
|
V Ф'2 -г (Я — I)2 ^2 |
1А | > 'Ч (Я -1)2 ? 2’ |
|
||||
атакже ог = о0= оФ= тГф= 0. Скорости перемещений будут
w = (X + 2 ) гхф sin 0 + 3Dr sin 0, и = v = 0.
Уравнение (5.25) удобно представить в форме
т' + 2т ctg 0 + ЗУ 1 — т2 = 0. |
(5.27) |
Решение этого уравнения можно получить в квадратурах. Вво дя функцию z(x ):
|
■, Х = с[ g 0 , |
(5.28) |
/ 1 |
2 |
|
+ z\x) |
|
|
из (5.27) получаем уравнение |
|
|
(1 + x2)z - |
2xzz - 3z2- 2xz - 3 = 0. |
(5.29) |
Далее, вводя новую функцию у(х): |
|
|
|
х — У |
(5-30) |
|
z = гп----- . |
|
из (5.29) приходим к следующему дифференциальному уравнению относительно у:
(1 + ху)у' + 2(1 + у2) = 0.
Меняя местами аргумент и функцию, это уравнение сведем к линейному дифференциальному уравнению относительно х(у ):
х 9+ |
|
Ух |
"оч + |
|
1 |
= 0, |
||
|
|
2(1 + |
Г ) |
|
2(1 + |
гг) |
||
решение которого представляется в виде |
||||||||
2х |
|
+ |
у- + |
J—dy |
|
= const. |
||
|
|
|
|
|
1 (н -г г )3 |
|||
Исключая z из |
(5.28) и |
(5.30), |
находим зависимость между |
|||||
У и т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = |
: |
1 — х*“ — Т |
|||
|
|
|
"Vi — х2 + |
X X |
||||
|
|
|
|
|||||
Полученная квадратура выражается через эллиптический ин теграл первого рода F (ср, к). Учитывая первое граничное условие (5.24), в конечном счете получим
--------- V z cfgQ _ ----- 4. Р / arccosj/х cos 0+ / l H + |
sin G, r ^ ) = |
]/" x cos 0 + "|/*1L—•т2 sin 0 |
' |
~]/2 ctg a |
|
+ |
|
j/"q cos a - f V 1 — (j\sin oc |
|
+ /^arccos]/^(/1 cosa.+ V i — (/-sina, y | ]e
Используя второе граничное условие (5.24), находим
</2 cos р + V i — </§ sin р
\/2 ctg а
Полученная зависимость устанавливает связь между q\ и <72, которая должна соблюдаться в предельном пластическом состоя нии конической трубы.
Интегрированием из (5.26) находим
Сферическая торцевая поверхность трубы остается «нагру женной» касательными силами интенсивностью тГф. Осевой мо мент этих сил уравновешивается с моментами касательных сил q\ и #2, действующих на конических поверхностях. Действитель но, составляя сумму моментов этих сил относительно оси трубы, получаем
а
Далее, исключая квадратный корень при помощи уравнения (5.27) и производя интегрирование по частям в интеграле, со держащем т', находим Мо = 0.
§ 30. Коническая труба под воздействием нормальных и кольцевых касательных сил
Пусть на внутренних и внешних поверхностях длинной тол стостенной конической трубы из идеально жесткопластического несжимаемого материала действуют равномерно распределенные силы (рис. 5.2)
OQ= — |
т0ф= |
при 0 = а, (5. |
(5.31) |
Если в системе уравнений (5.17) и в выражениях компонент напряжений (5.15) принять
А
то первое уравнение удовлетворяется тождественно, а из второго при учете граничного условия на внутренней шоверхпостп (получаем
^ |
sin“ а |
(5.32) |
(7i . 2л’ |
||
|
sin 0 |
|
а также дифференциальное уравнение
i|)' sin3 0
= т,
У у\>'2sin60 + 4A2 cos20
решение которого представляется в виде
г|) = -----— [ У 1 — т2 — У \ — q2] + const. |
|
^ siira L |
1 |
Остальные отличные от нуля компоненты напряжений из (5.15) с учетом (5.31), (5.32) бу дут определяться формулами
Or = о0+ У1 — т2,
0ф= Ge + 2 V1 — Т2,
(5.33)
0А= |
— Pi |
. |
о |
1 sin 0 . |
|
|
2 |
In —:------1- |
|||
0 |
1 |
1 |
|
|
sin a |
+ |
ln + Vi —-t'2 |
- V i |
|
t- |
+ |
|
|
i + V i - \ ч\ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
/ |
i = |
* |
|
ней |
Граничные условия |
на |
внеш |
|
||
поверхности |
устанавливают |
Рис. 5.2 |
||||
связи между нагрузками р( и д„ при которых труба переходит в предельное пластическое со стояние
*1 - Р2 = 2 In |
+ In * |
; |
---- '!l - Vi - 9l + Vi - |
q\, |
|
1 |
Г |
г - 7l |
|
|
|
|
/ 1 - 9 * |
(5.34) |
|
q2sin2 P = ql sin2 a. |
|||
Скорости перемещений из (5.16) для нашей задачи будут даны выражениями
_ |
3Аг |
V ~~ |
sin 0’ |
W = ЪАг sin 0 [ V i — x2 — V i — 92] + 3Dr sin 0, и = 0. q1 sin a
При переходе к пределу при q\ 0 из приведенных формул следуют полученные в [84] формулы о предельном состоянии ко нической трубы для внутренних и внешних давлений.
На сферической торцевой поверхности трубы «действуют» ра диальные распределенные нагрузки с интенсивностью сг, которые уравновешиваются внешними силами /л- и приложенными на конических поверхностях трубы.
Сумма проекций этих сил на ось конуса будет равна
Подставляя сюда выражения ог из |
(5.33) |
и вычислив интегралы, |
||
получим N0= 0. |
|
|
|
|
Из формул (5.33), (5.34) при переходе к цилиндрическим |
||||
координатам, фиксируя |
г sin 0 при |
г -*• <» и 0 -^ 0, получаем |
фор |
|
мулы напряжений |
|
|
|
|
aT= - Pl + 2 ln-^- + |
In L ± Y -i ^ lL _ |
+ / Г ^ |
[ , |
|
* |
i +Vi - <ii |
|
(5.35) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
tfe = or — 2 V i — T2, |
Tr9 = |
т = qxA T- |
|
|
|
|
|
7’“ |
|
Будем иметь соотношения между внешними силами для пре дельного состояния
P i - f t = 21n 4 - + ln 1 ; |
^r— |
-2 - V i - c j l + V i - v l , |
. + |
/ Г |
(5.3G) |
|
q2b°- = |
q^ 2. |
Формулы (5.35), (5.36) определяют в цилиндрических коор динатах предельное пластическое состояние цилиндрической тру бы, где через а и Ъ обозначены соответственно ее внутренний н внешний радиусы.
Выражения для напряжений (5.35) совпадают с формулами А. Надап [121], относящимися к напряжениям в пластической зоне, окружающей круговую полость в бесконечной плоскости.
§ 31. Коническая труба под воздействием нормальных и продольных касательных сил
Рассмотрим предельное состояние длинной толстостенной ко нической трубы из идеально жесткопластнческого несжимаемого материала, когда на внутренней и внешней боковых поверхно-
стях действуют нормальные и касательные равномерно распре деленные вдоль образующих силы (рис. 5.3)
п0= |
—/?,, Tro = Wi |
при 0 = а, |
(J. |
(5.37) |
Полагая -ф = 0, X = |
p,=2? = G = 0, |
второму |
уравнению |
(5.17) |
удовлетворим тождественно, а из первого получим
[/" + (/ctgO)' + 2 /]^ - = const.
Используя выражение тг0 из |
(5.15) |
п граничное условие при |
||||||||||||
0 = а, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т,9 = |
т = / « |
1 Т |
= |
^ |
[/" + ( / ctg0)' + |
2/1, |
(5.38) |
|||||||
причем |
= |
|
|
|
О)2 + |
|
4 [/" + |
(/ |
|
9)' + |
2/j*. |
|
||
со |
1 f |
( Г - f |
c t g |
|
C t g |
|
||||||||
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|||||
Остальные компоненты напряжении из (5.15), если принять |
||||||||||||||
также Н = Он определить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
со = |
|
|
|
|
X = |
sign (/' — / CtgO), |
(5.39) |
||||||
запишутся в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ог = п0+ V1 — х2, |
оф= а0+ 2 V1 — т2, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 + |
|
V 1 — т2 |
- |
|
|
|
|
||
09= - Р1+21пДЦв + 2 In------ |
|
.-------- |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
sm а |
|
1 + |
|
V 1 — w® |
|
|
О |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2 ( |
|
|
|
— |
|
— 3т1sin а In |
а ’ |
Т0Ф |
|
|||||
1&ТГ
Удовлетворяя условиям на внешней поверхности 0 = Р, прихо дим к соотношениям между внешними нагрузками, определяю щими предельное пластическое состояние трубы,
Pi — Р: |
2 In sinsin aft |
+ 2 In |
1 |
+ V 1 — m\ |
|
1 |
+ 1 — m2 |
|
|||
— 2 ( |
— m? — / 1 — m\)— 3mi sin a In |
m2sin m1sin a. |
|||
|
|
|
|
|
(5.41) |
Соответствующее поле скоростей перемещений из (5.16) мож но принять в виде
и = У + / ctg 0, и = —2/, и; = 0. |
(5.42) |
Сравнивая (5.38) и (5.39), приходим к линейному обыкно венному дифференциальному уравнению второго порядка относи тельно /
Г + ctg 0 |
— |
2т |
|
ctg 0 / - о, |
Т г з |
|
|||
|
|
|
|
|
общим решением которого будет |
|
|
||
|
|
о |
|
|
/ = |
Слsin 0 + Со sin 0 \— |
ехр |
(5.43) |
|
|
|
J sin |
0 |
|
где Сх — произвольные постоянные. |
(5.40) |
на сферической торце |
||
Согласно полученному решению |
||||
вой поверхности конической трубы приложены нормальные и ка сательные распределенные силы с интенсивностями аг и тге со ответственно. Можно показать, что эти силы уравновешиваются заданными внешними силами, действующими на боковых поверх ностях. Так, составляя сумму проекций этих сил на ось трубы, будем иметь
iV0 = лг2 £р2sin2 Р — рхsin2a + т2sin Р cos (J —
Р
— т1sin a cos a + 2 J(ar cos 0 — rr0 sin 0) sin 0 dQ a J
Подставляя сюда выражения ar и тгв из (5.40), вычисляя полу ченные интегралы и используя зависимость (5.41), получим
N0 = 0.
Принимая в (5.40), (5.41) mi = m2 = 0, будем иметь
сгг = ex©+ 1 , сто = — Pi + |
2 In |
стф = а0 + 2 . |
|
0 |
, |
р1 |
л 1 sin. В |
|
р2 = 2 In |
||
Эти формулы получены впервые Д. Ивлевым [84]. Поле ско ростей перемещений, соответствующее этому напряженному со стоянию, согласно [84] имеет вид у = Сг/sin0, u = v = 0. Второе возможное поле скоростей перемещений для этих напряжений
[84] можно |
получить |
согласно (5.42), |
где |
функция / определя |
|||
ется из (5.43) при т = |
0: |
|
|
|
|
||
/ |
= |
Сг sin 0 + |
|
С |
|
а |
|
С2ctg 0 -f |
sin 0 In ctg -j-. |
||||||
Переходя к цилиндрическим координатам, фиксируя rsinB |
|||||||
при г -*■ оо и 0 |
0, из |
(5.40) |
получим |
|
|
||
от= — р + 2 1 n-^- + 21In1~r |
— 2 ( V 1 — т2 — V i — т\), |
||||||
|
|
а |
1 |
+ |
V 1 - т\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.44) |
(Те = Or + |
2 V i — т2, |
oz = Or + V i — т2, тгг = т = т1 |
|||||
Из (5.41) |
находим |
|
|
|
|
|
|
рг — р2 = 2 In — + 2 In 1 |
|
— 2 ( |
1 — m2 — V^l — т 2Д |
||||
|
|
a |
l + K l - m J |
|
|
||
|
|
|
|
/тг1а = m26. |
|
(5.45) |
|
Формулы |
(5.44), (5.45) |
в цилиндрических координатах опре |
|||||
деляют предельное пластическое состояние цилиндрической тру бы под действием нормальных и продольных касательных рав номерно распределенных сил.
§ 32. Коническая труба под воздействием распределенных сил
Пусть теперь предельное напряженное состояние конической длинной толстостенной трубы из идеально жесткопластпческого несжимаемого материала вызвано равномерно распределенными нормальными и касательными силами на боковых поверхностях (см. рис. 5.3).
Зададим внешние нагрузки
9 M. А. Задоян
Полагая в |
(5.15) — (5.17) |
X = \.i==E = G = 0 и |
вводя Новые |
||||
функции g (0), ^(0) и й (0) при помощи соотношений |
|||||||
|
f = |
g sin 0, |
g' = |
фя, |
ф' = фй, |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
g = |
g (0) + |
j |
i|>sd0, |
o|)= ф (0 )exp ^ \h d d 'j, |
|||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
T-rS — |
|
s' -f- hs -j- 3s ctg 0 |
(5.47) |
||||
|
hs + 3 s ctg 0)2 + |
4 (h2 + s2 + l) |
|||||
|
V (s' + |
|
|||||
Из первого |
уравнения (5.17) |
интегрированием |
и использова |
||||
нием граничного условия для тге на внутренней поверхности получим
|
_ |
_ |
^ |
Sin а |
|
|
(5.48) |
||
|
T;-Q — Т — ТИХл :——. |
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
1 sin0 |
|
|
|
|
Остальные компоненты напряжений будут |
|
|
|||||||
ог = o’©+ |
,V i . |
|
|
|
|
2s V i- |
|
||
/ s 2 + |
A2 + |
l ’ |
а<Р |
а ° + |
/ s |
2 + A2 + l ’ |
|
||
|
|
||||||||
|
|
|
6 |
0 |
s V i —т2 |
|
|||
|
|
|
|
|
Г |
(5 49) |
|||
О© = — Pi — Зт^т a In---------h \ |
—r = = |
ctg 0 d0, |
|||||||
|
|
|
t g - y |
|
a r S2 + h1A +- f :1 |
|
|||
Т0ф — |
h V ’ 1 |
T 2 |
-1 |
Trrn |
--- |
--- |
/ 7 ~ |
Г 2 |
|
Vs2+ |
A2 + |
cp |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
/ |
/ + |
* » + ! * |
|
||
Сравнивая выражения тге по (5.47) и (5.48), а также исполь зуя второе уравнение (5.17), приходим к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка от носительно s и h:
5' + |
{h + |
3 Ctg 0) 5 — - |
А |
- . V s 2 + h2 + |
1 = о, |
||
|
|
|
/ |
l |
- т 2 |
|
(5.50; |
|
h |
i — T2 sin2 0 |
\ |
|
з / l - |
x2sin2 0 |
= 0. |
^ |
/ . * + A3 + 1 |
) |
|
Vs2+ |
A2 + 1 |
|
|
Из граничных условий для те» (5.46) будем иметь
А{ Чг
V s \ h \ I V 1 — т\