книги / Пространственные задачи теории пластичности
..pdfУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ ТОЛСТОСТЕННЫХ ТРУБ
Исследования пространственного упругопластического дефор мирования идеально пластических тел немногочисленны. Многие из этих работ базируются на методе малого параметра, развитого Д. Ивлевым при решении плоских упругопластических задач теории идеальной пластичности. В работе Л. Ершова и Д. Ивле ва [47] этим методом дано решение задачи упругопластического состояния полого толстостенного тора, находящегося под воздей ствием внутреннего давления. В частности, найдены поверхность между упругими и пластическими зонами и значение давления для предельного состояния этого тора. Д. Ивлевым и Л. Ершо вым [87] и Л. Ершовым [45] на основании применения малого параметра предложен метод решения осесимметричных упруго-
пластических задач теории идеальной пластичности. |
Л. |
Ершов |
||||
[46] и Т. Семыкина |
[155] рассмотрели упругопластическое |
со |
||||
стояние, близкое к сферическому, полостей |
в |
пространстве |
при |
|||
напряженном состоянии на бесконечности, |
слабо отличающееся |
|||||
от всестороннего сжатия. Работы С. Вульмана |
[22] |
и Р. Кери |
||||
мова [99] посвящены |
приближенным методам |
решения |
задачи |
|||
о трехмерном упругопластическом напряжеппом состоянии тел с почти сферической полостью.
В этой главе рассматривается упругопластическое состояние длинных толстостенных цилиндрических и конических труб из идеально пластического материала [68, 75]. В рамках теории упругопластических деформаций исследуется равновесие таких труб при различных комбинациях внешних сил.
Упругопластическое состояние цилиндрической трубы под действием внутреннего давления впервые изучено Л. Тернером [203] в 1909 г. Дальнейшее развитие решения этой задачи полу чено в работах Р. Хилла [171], В. Соколовского [166], В. Пра* гера и Ф. Ходжа [140].
Решение упругопластической задачи для конической трубы из идеально пластического несжимаемого материала при внут реннем давлении построено в [166].
Предельные пластические состояния цилиндрических и кони ческих труб рассмотрены в работах [53, 69, 84, 133, 208, 209].
§ 7. Упругопластическое состояние цилиндрической трубы
Исследуется [75] упругопластическо^ состояние длинной тол стостенной цилиндрической трубы, находящейся под совместньш воздействием равномерно распределенных нормальных ц каса тельных сил на внутренней и внешней цилиндрических поверх ностях, растягивающих осевых сил и Крутящих моментов, при ложенных на торцевых сечениях.
1 . Исходные уравнения и граничный условия. Материал тру бы принимается идеально пластическим» несжимаемым как в уп ругой, так и в пластической зонах, и удовлетворяющим соотно шениям теории упругопластических деформаций с условием те кучести Губера — Мизеса.
При осесимметричном деформировании эти соотношения в цилиндрических координатах состоят из диффереиццальных уравнений равновесия
i f i - o ,
dXrQ |
, |
dTQz |
, |
о Тг0 |
__ О |
дг |
+ |
dz |
+ |
А Г |
(2.1) |
’ |
|||||
d\ z |
, d0z |
|
= 0, |
||
dr |
dz |
|
|
|
|
соотношений между компонентами деформаций и перемещений
|
ди |
о |
ди |
|
|
|
e r ~dF ' |
2^е* = |
аГ’ |
|
|
|
|
ее = |
и |
О |
ди , |
dw |
|
(2. 2) |
т , |
2Yrz = |
+ |
ТЕГ. |
|||
|
|
|
|
дг |
|
|
|
dw |
О |
ди |
иV |
’ |
|
= |
д !' |
2Тгв — ^г — 7 |
|
|||
условия пластичности Губера — Мизеса |
|
|
|
|||
(от — ае)2 + (сте — аг)2 + (о2 — аг)2 + |
6 (тге -f- |
+ т?2) = 6А;2 |
(2.3) |
|||
и соотношений между напряжениями и деформациями |
|
|||||
ег =•Я (аг — а), |
^ге^А/Гге, |
(2.4) |
||||
Здесь К в пластической области — неизвестная функция коорди нат, а в упругой принимает значение 1/(2G). Имеем также усло вие несжимаемости
ег + е0+ ег = О. |
(2.5) |
Компоненты напряжения и модуль сдвига будем представлять в
долях пластической постоянной, т. е. принимаем 0%$ = ко*$ и G = kG*r а затем опускаем звездочку.
Ось цилиндрической координатной системы проведем по оси трубы так, чтобы плоскость 2 = 0 проходила по среднему попе речному сечению. Положительное направление полярного угла 0 считаем против вращения часовой стрелки.
На внутренней г = а и внешней г = Ь цилиндрических поверх
ностях заданы значения безразмерных внешних сил |
(рис. 2 .1 ) |
От= —Ри тг0 =• £„ тГ2 = Si при г — а, Ь. |
(2.6) |
На торцевых сечениях z = ±1 приложены осевые растягивающие силы N тт крутящие моменты М. Принимаем интегральные усло
вия равновесия |
ь |
|
ь |
|
|
2л j‘ azr dr = N, 2л |
[ т0гг2dr = М. |
(2.7) |
а |
а |
к постоян |
Здесь принято, что внешние силы |
также отнесены |
|
ной к. |
|
|
В зависимости от вклада крутящего момента в интенсивность внешних сил пластические деформации могут впервые появить ся на внутренней пли внешней поверхностях трубы. Для опре деленности полагаем, что при некотором уровне интенсивности внешних сил и сравнительно не большом крутящем моменте с внут ренней поверхности г = а трубы рас пространяется пластическая зона.
2. Представление решения в пла стической и упругой зонах. Исходя из характера деформирования трубы, полуобратным способом полагаем, что тензор деформаций как в пласти ческой, так и в упругой зонах не зависит от продольной координаты 2 н граничная поверхность между пластической и упругой зонами при нимается цилиндрической, на кото рой следует соблюдать условия со-
пряжения решений двух соседних зон (рпс. 2.1 ). Прини маем также, что продольное удлинение какмв пластической, так и в упругой зонах не зависит от радиаЛЬН0И координаты г.
Тогда из условия несжимаемости (2-5) 11 соотношении (2.2) для 7ге и ^г2 компоненты перемещеипя 15 пластической зоне мож но представить в следующем виде:
Аг |
. |
Ва2 |
//> |
г т% |
р |
dr |
|
|
г ( |
(2.8) |
|||||||
U ~~ 2 т/з G |
+ |
35г’ |
v — шGp +^ |
ТйГGp |
G J |
ге г ’ |
||
|
Р
Здесь А , В, С, Я, Я — произвольные постоянные, г = р — радиус граничной между пластической п упругой зонами цилиндриче ской поверхности, значение которого следует определять в зави симости от интенсивности внешних сил.
Используя условие пластичности (2.3) и условие несжимае мости (2.5), часть компонент напряжений из (2.4) для пластиче ской зоны можно представить в следующем виде:
(2.9)
Легко убедиться, что тге и xrz не зависят от z. Тогда из урав нения равновесия (2.1) и из (2.9) при соблюдении граничных условий на внутренней поверхности г = а для компонент напря жений в пластической зоне получаем
Г
а
Компоненты напряжения (2.10) и перемещения (2.8) удов летворяют уравнениям теории пластичности (2.1 ) — (2.4) и гра ничным условиям (2.6) на внутренней поверхности трубы. В вы ражения (2.10) входят неизвестные постоянные А, Я, С и р, подлежащие определению в дальнейшем.
Исходя из условия несжимаемости (2.5) и соотношений (2 .2 ) для 'Yre и Tfrz, компоненты перемещения в упругой зоне можно представить в виде
V |
|
, V |
|
1 /7Г |
Л » О |
’ |
|
2 У 3 G |
2Gr |
||
Г
(2.11)
р
г
Здесь X = 1 /(2 G), где модуль сдвига G также отнесен к пласти ческой постоянной к.
Компоненты напряжений, определенные из уравнения равно весия (2.1 ) при учете граничных условий на внешней поверхно
сти трубы, |
будут |
|
|
|
С г . - д г + Д, |
|
o o ^ - q + B ^ + Q , |
|
|
|
az = - < z + / 3 ^ + 6* ^ , |
|
||
|
Т'гв ~ |
^1 |
= Су —, |
(2 .12 ) |
|
|
Г“ |
г |
|
Trz = |
^ 17 1 б==Т ’ |
Р ^ |
Г ^ Ь- |
|
Приведенные выражения (2.11)— (2.12) удовлетворяют урав нениям теории упругости (2.1) — (2.2 ), (2.4) — (2.5) и граничным условиям (2.6) на внешней поверхности трубы.
3. Начальные поверхности текучести трубы. Определяя неиз вестные постоянные из граничных условий на внутренней по верхности и условий на торцах (2.7) при чисто упругом состоя нии и вводя обозначения
г = ах, |
N = п(Ь2— а2) п, |
М = |
и |
(64— а4) —, |
|
||
|
|
|
|
|
CL |
|
|
для интенсивности касательных напряжений получаем |
|
||||||
Оо |
+ |
т*х2 + |
+ Г (р - ч )2 |
*• |
(2.13) |
||
|
|
L ( i - 62)2 + |
|
||||
При т — 0, очевидно, Oo(x)<;0, |
а при т¥=0 функция Оо(х) |
||||||
имеет единственную точку |
экстремума х = #*, в |
которой она |
|||||
принимает минимальное значение. Вводя обозначение |
|
||||||
ф = |
3 У з 5 |
Кр - |
?)2 + (1 - б2)2 |
|
|
||
значение х* можно представить в виде |
|
|
|
|
|||
/ >fc,!os(4arccos4’ |
|
|
|
|
Ф < 1 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|/ t + W — i + ^ ч — v V — *i ф>1. |
||||||
уЗ |
|
|
|
|
|
|
|
В случае т = 0, очевидно, пластическая зона начинается с внутренней поверхности трубы. Когда т ^ О , в зависимости от расположения точки х = х# пластические деформации могут на чаться как с внутренней, так и с внешней поверхности трубы.
Видно, что исключается возможность начала возникновения пла стических деформаций с промежуточных (1 < х < Ь /а ) поверх ностей трубы.
Когда внутренняя поверхность трубы переходит в пластиче
ское состояние, |
из (2.13) |
находим зависимость между внешними |
||||||
силами |
|
+ SQ + т\ + 1 ( п |
6Ч-*оУ =! |
|
||||
(р« - %? |
+ |
(2.14) |
||||||
d - б 2)2 |
|
|
3 {"* |
! _ |
62 ) |
г - |
|
|
В случае, |
когда пластическая |
зона начинается |
на |
внешней |
||||
поверхности трубы, будем иметь |
|
|
|
|
|
|||
fiV o -g p )2 + |
бnl + б24 |
т0 |
1 |
п0 |
6Ч ~ % |
= |
1. (2.15) |
|
(1 - 62)2 |
|
|
+ ^ + |
з |
|
1— 62 |
|
|
Уравнения гиперповерхностей (2.14) и (2.15) в пространстве внешних сил описывают предельные упругие состояния трубы, после достижения которых труба переходит в упругопластическое состояние.
4.Условия сопряжения и условия на торцах. На поверхности
г= р необходимо выполнение условия сопряжения решений в двух зонах. Из условия непрерывности перемещения следует
А\ = А, В { = В , Di = Д Н] —>Я, |
(2.16) |
а из условия непрерывности нормальных и касательных напря жений на этой же поверхности будем иметь
|
|
(2.17) |
|
|
a |
a |
|
a2. |
si ~ T |
S’ |
(2.18) |
|
Условие непрерывности интенсивности касательных напряже ний на поверхности г =• р дает
Лг + 5 2 ^ + |
С2 = |
1 — т2е(р) - |
x*z(Р). |
||
|
Р |
|
|
|
|
Отсюда, определив |
постоянную В и подставив в выражения |
||||
(2.10 ), для напряжений в пластической зоне получим |
|||||
|
г |
|
|
|
|
От = — р + |
2Q j* |
dr, |
се = |
or + |
2QQ> |
|
|
|
|
|
(2.19) |
TYo— ^ 2’ |
^Tz — |
|
® ^ Г^ |
Pi |
|
Г'
где введены функции
Q{p) = ] / " l |
—^42— с2— Т?о (р) — Тгг (р), |
(2.20) |
V 1 - |
Тг0(Г) - ТгЛ Р) |
(2 .2 1 ) |
Q(p,r) = |
|
V <>2 (p) + A2- 4 + C 2-g
гг
Компоненты перемещения (2.8), после исключения #, при мут следующий вид:
|
Аг |
“ ~ |
21/ 3G |
D , Аг
W -■г-+
Qp2
2Сг’
р |
|
|
• г T r0 dr |
(2 .22) |
|
■J |
Q 7»’ |
|
г |
|
|
о |
Р |
^ ^ |
р2“ |
Г ТГ2<*Г |
|
G J Я г2
В упругой зоне, учитывая (2.16), (2.18) и исключая В, из (2.12 ) для компонент напряжений находим
а2 = — q + |
+ |
0“ |
TQz = С —, |
(2.23) |
|
|
г |
|
|
Tffl — t —oi |
T’r z — S ~ i Р |
Г Ь. |
|
|
Г |
г |
|
|
|
Для компонент перемещений в упругой зоне, исключая из (2.11) В, получаем
iz = — |
Аг |
Р2<? |
|
|
42У З |
G |
|
||
Hr |
, Crz |
(2.24) |
||
V ~ G p |
+ Gp |
|||
|
||||
D |
|
. SCI 1 Г |
^ | |
|
G |
|
+ - g |n - , |
p < r < f c . |
|
|
У з |
|
||
После исключения В уравнение (2.17) запишется в виде
Условие на торцевых сечениях трубы |
осевой силы перепи |
|
шется в виде |
|
|
р |
Аг |
|
j* ozr dr |
||
2я |
||
а |
||
|
Подставляя соответствующие выражения для о2 в пластиче ской и упругой зонах, производя интегрирование по частям в по лученном двукратном интеграле и используя (2.25), приходим к уравнению
А [ Ь2 — р2 + |
Р J Q (Р’ г) г3 dr] = |
( £ - |
+ qb'\ (2.26) |
Аналогичным образом из второго условия |
(2.7) находим |
||
С |
Р4 |
|
(2.27) |
Уравнения (2.25) — (2.27) определяют значения параметров А, С и р в зависимости от внешних сил. Определив численными спо собами эти постоянные, можно найти компоненты напряжений в пластической и упругой зонах. Перемещения определяются с точ ностью до произвольных постоянных D и Я.
В предельном состоянии, |
приняв р = Ь, из (2.25) — (2.27) по |
|
лучаем систему уравнений |
|
|
|
p - q = Q ( b ) \ a [ b , b V z ] ^ , |
|
|
|
62 |
|
|
1 |
Р = |
п (ра2 — qb2) + |
У^З nb2A j £2 [ft, b Y х\ х dx, |
|
1 |
ба |
|
|
|
М = |
пЪ*С J Q [Ь, Ь V * ] х2dx, |
|
|
ба |
|
определяющую параметры А, С и устанавливающую зависимость между внешними силами в предельном состоянии.
5. Двустороннее пластическое состояние цилиндрической тру бы. Пусть в упрутопластической цилиндрической трубе при р =' ро внешняя поверхность трубы г = Ъ также переходит в пластиче ское состояние. При дальнейшем увеличении интенсивности внеш-
них сил возникает и распространяется внутрь вторая зона пла стических деформаций (рис. 2.2). Радиусы внутренней и внешней пластических зон обозначим соответственно pi и рг.
А/л
Рис. 2.2
Во внутренней пластической зоне для компонент напряжений будем иметь
|
|
|
г |
|
|
|
|
Or = |
— Р + 2Q (pj) J Q (Pi, г) у , |
ае = |
аг + |
2Q (рх) Q (plt г), |
|||
|
|
|
а |
|
|
|
|
а2 = |
аг + I |
3 А — + Q (Рх) |
&(Pi.r), |
т02 = |
C^; Q(p1,r),(2.28) |
||
|
[ |
|
Pi |
|
|
|
Pi |
|
|
Tr9 = |
Trz = |
s -f, |
а < г < р х. |
||
Г"
Вэтой же зоне для компонент перемещений получаем
и = |
2T/3G |
|
2Gr |
’ |
|
|
|
|
|
||||
|
+ С7Ь|СЪ |
1 |
2 |
РД |
|
r) гз • |
|
G |
J Q(pr |
||||
|
|
|
Pir Г |
ТГ0 |
dr |
|
w : D |
Аг |
|
|
2 РД |
^гг |
dr |
G |
Pi Г |
|||||
б |
+ 1/3 |
G J Q(Pl,r ) r2 ’ |
||||
(2.29)
4 М. А. Задоян
В упругой зоне pi |
г ^ р2 для напряжений получаем |
|
|||||
аг = |
- р + |
pi |
|
( |
г\ |
|
|
2Q(Pl) J Q (Pl, г) % + Q (Pl) ( l - |
5 ) . |
|
|||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
Се = |
Or + |
2Q (px) |
0z = 0r + 1^3-4 + |
^ (Pi) |
(2.30) |
||
|
|
|
г |
|
|
г |
|
'trQ == t ~2? |
T'Vz3 5 ” * |
^0z = ^ 77”1 Pl ^ |
Г^ |
Рг* |
|
||
Гr
Перемещения в упругой зоне будут
|
|
|
и = |
|
|
|
|
Лг |
+ |
PlQ (Pi) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 1 /3 |
G |
|
2Gr ’ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
V = |
Я> |
|
|
, |
Crz |
tr |
l a 2. |
|
|
|
|
|
(2.31) |
||
|
|
|
77- — |
|
h777— |
2G \.2 |
„2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Gpx |
|
|
1 Gpx |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
D |
|
. |
|
Az |
t |
а |
л |
r |
|
__ |
^ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ —7=r- + s 7Г In |
|
P i< r < p |
|
||||||||||
Во внешней пластической зоне для напряжений будем иметь |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о г = |
— q — 2Q (Pl) j< ?(p 1,r)^f, |
сге = |
от+ |
2<?(p1)Q (p1- г)> |
|||||||||||||
|
<JZ= |
Or + |
[ / |
|
3 ^ | |
+ |
^ (р1) ]й (р 1,''), |
тг0 = |
* £ |
(2.32) |
||||||||
|
T0z = |
|
С— Q(pL, г), |
Trr = |
s —, |
р2 < г < |
6. |
|
|
|||||||||
|
Компоненты перемещения в этой зоне будут |
|
|
|||||||||||||||
______ Лг |
|
Pi<?(Pi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 1 /3 G + |
|
|
2<?г |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
, _ |
Hr |
t |
Crz |
tr |
|
( a2 |
|
a2\ |
, |
P^ |
f |
Tr0 |
|
dr |
|
(2.33) |
||
" |
GPi + |
6Px |
2G l p. |
|
pl I |
+ |
G |
J |
Q (plt |
г) r3* |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||
'P2
Лг |
. |
S(l 1 P2 , |
£| f Trz dr |
p2 < r < 6. |
1/3 |
G+ |
G ln Pi |
GJ Q(plt»-)r«’ |
|
|
|
|
Pa |
|
Вприведенных выражениях для напряжений и переме-
щений (2.28) — (2.33) постоянная А выражается через |
Рь Р2 |