книги / Пространственные задачи теории пластичности

Функция Фо(г, z) определяет линейно-упругое напряженное состояние, а Фь Фг, ... характеризуют упрочнение материала.

Решение уравнения (10.22) при условии Фп = 0 на контуре области ищем в виде ряда

ri

(10.25)

где введено ооозначение

Nh(x, у) = /2(Цла:)1^2(ЦАу)—

После преобразования выражение (10.25) можно представить

в виде

Lh(r, Е) = Nh(r’ r,) Nh(Z< ri) » k (r2>ri)

Далее, подставляя (10.26) в (10.24) и преобразуя, окончательно будем иметь

где G(|, г\; г, z) — функция Грина в рассматриваемой задаче

оо

G (£, ту, г, z) = 2 Gh (г, I) COS COS Цк1\ h=l

Для линейно-упругого решения при п = 0 из (10.27) после преобразования получаем

3. Сходимость решения. Для доказательства сходимости ряда

(10.21) в области поперечного сечения стержня введем норму согласно (9.59).

Применяя априорные оценки Шаудера [110, 111], которые в данном случае запишутся в виде Ш2ФПН< с11(?п11, где с — посто­ янная, зависящая от геометрии области, из (10.23) получаем рекуррентные неравенства для рассматриваемых норм

димости Я = А,*.

§ 68. Пространственное деформирование тороидального тела

Здесь в тороидальных координатах рассматривается осесим­ метричное деформирование тора или неполного тора из упроч­ няющегося несжимаемого материала. Будем исходить из соотно­ шений теории упругопластических деформаций в тороидальных координатах а, р, у, приведенных в § 58 (рис. 8.6). Это — диффе­ ренциальные уравнения равновесия (8.49), соотношения между компонентами деформаций и перемещений (8.50), закон упроч-

пения (8.51), зависимости между напряжениями и деформация­ ми (8.52).

1. Приведение к системе дифференциальных уравнений. Ком­ поненты перемещений из (8.50) можно представить в следую­ щем виде:

Здесь щ, Vo, Wo — произвольные функции от а и р,

F , - 2 ( * » - - & £ ( ■ £ • ) . (,0.29)

Определяя по выражениям (10.28) деформации еа, еР, еаР и допуская, что тензор деформаций не зависит от полярного угла 'У, приходим к формулам

Решение этой системы дифференциальных уравнений возьмем в форме

где Di(y)— неизвестные функции от 'у, a D — произвольная по­ стоянная. Подставляя выражения Fa и в уравнения (10.31) и используя известные соотношения для коэффициентов Ламе, по­ лучаем тождество.

Согласно характеру деформирования кривого стержня полагая и>о=*А{ = #2 = 0, из (10.48) для компонент перемещений будем иметь

Постоянные В\ и С определяются из условий закрепления тела. 3. Задача кручения. Пусть неполный тор с эксцентричным кольцевым поперечным сечением, кон­ туры которого определяются уравнениями a = «i и а = « 2, находится под действием перерезывающих сил Р и крутящих

Отличные от нуля компоненты напряжений определяются со­

Рассмотренная задача сводится, таким образом, к задаче Нейма­ на в кольцевой области для дифференциального уравнения (10.49) при граничных условиях (10.50).

Компоненты перемещений из (10.48) будут представлены вы­ ражениями

§ 69. Кручение неполного тора

Исследование задачи о кручении неполного тора можно про­ вести также в напряжениях [64]. Пусть рассматриваемое тело из упрочняющегося материала находится под воздействием пере­ резывающих сил Р и крутящих моментов Ра, приложенных на торцевых меридиональных сечениях (рис. 10.6).

1. Уравнение задачи. Будем исходить из представленных в предыдущем параграфе решений. В выражениях для компонент

и используя зависимости между компонентами деформаций и

причем

а

Таким образом, приходим к задаче Дирихле для дифферен­ циального уравнения (10.51) в области поперечного сечения. В случае односвязной области Ф = 0 на контуре, а при многосвязной области Ф принимает постоянные значения на внутрен­ них контурах, подлежащие определению.

Крутящий момент или перерезывающая сила выражаются через функцию напряжений. Аналогично § 67 для случая много­ связной области находим

В области поперечного сечения стержня возьмем произволь­ ный замкнутый контур Г* и, умножая обе часта уравнения (10.51) на da dp, проинтегрируем по области, ограниченной этим контуром. Применяя формулу Грина —- Остроградского, прихо­ дим к формуле

рактеризующие материал. Для простоты принимаем б целым. Рассматривая эксцентричное кольцевое сечение, функцию Ф ищем в виде степенного ряда по параметру Я

Зпачение Фо(а, Р), очевидно, соответствует случаю линейно-уп­ ругого материала.

Положим также