книги / Надежность и диагностика технологических систем

Определим вероятность попада­ ния непрерывного события X на уча­ сток оси ординат от х до х + Аж. Это можно записать в виде

Р(х + Ах) —Р(х) = F(x + Ах) - .F(x).

Тогда предел отношения при Ад: —» 0 будет равен:

l.m F(x+ AX)-F (x) = n x ) = f(x)

ходится как производная от функ­ ции распределения. Она показывает плотность распределения

случайной величины х , т.е. вероятность попадания события X на отрезок от х до (х + dx). Кривая, интерпретирующая график плотности распределения (рис. 3.2), носит название кривой рас­ пределения, где тх — математическое ожидание плотности ве­ роятности. Плотность распределения f{x) случайной величины на всем протяжении оси ординат может быть как возрастающей, так и убывающей. Для большинства законов распределения ве­ роятности у этой кривой один максимум. При описании законов распределения случайных величин вводятся специальные число­ вые характеристики: математическое ожидание; дисперсия; сред­ нее квадратическое отклонение случайной величины.

Рис. 3.2. График функции плотности распределения

Математическое ожидание тх — наиболее вероятная сред­ няя величина случайной величины х. Для непрерывных и дис­

кретных случайных величин тх соответственно определяется по формулам:

оо

яг* = Jxf(x)dx;

N

jnx = ZPiXi,

i=l

где Pi — вероятность появления события х(; N — общее количе­ ство событий.

Если количество наблюдений ограничено (т.е. конечно), то пользуются оценкой математического ожидания вида:

где Xt— средняя величина некоторого принятого диапазона изме­ нения случайной величины xt; gt — число одинаковых значений xt в данном диапазоне (частость); п — количество диапазонов.

Дисперсией случайной величины называется характеристи­ ка — «математическое ожидание квадрата отклонения случай­ ной величины от математического ожидания». Для непрерывных и дискретных случайных величин дисперсия Dx соответственно находится по формулам:

оо

Dx = j(x -m x)2f(x)dx;

—оо

N - l . - i

Для оценки дисперсии при ограниченном количестве событий (выборке) от 1 до N используют формулы:

Dx = l/ (N -l)^ (xi -m xf ; i=i

Dx = l/ (N -l)ig l(Xl -m x)2.

i=l

Более удобно пользоваться средним квадратическим отклоне­ нием а* = л/Щ, которое имеет размерность случайной величины,

тогда как размерность дисперсии соответствует квадрату случай­ ной величины.

В теории надежности часто используют такое понятие, как квантиль распределения. Квантиль — это значение случайной величины Ху которое соответствует заданному значению вероят­ ности. Так, величины квантилей х = 0,99 и х = 0,95 характери­ зуют значения аргумента х случайной функции распределения, соответствующие величинам вероятностей Р = 0,99 и Р = 0,95.

Для анализа законов распределения предположим, что име­ ются некоторые вероятности ptсобытия В, заключающегося в по­ явлении в течение некоторого промежутка времени t отказа у одного из пу находящихся в цехе технологических модулей (ТМ), и вероятности qt противоположного события А, заключающегося в отсутствии отказа. Очевидно, что в этом случае p-t+ q-t = 1. До­ пустим, что ТС имеет некоторый запас мощностей и производст­ венная программа может быть выполнена, если в работоспособном состоянии будет находиться т ТМ. Тогда можно поставить задачу по определению вероятности выполнения производственной программы.

Допустим, что работают три ТМ, т.е. п = 3. Имеем группу од­ нородных событий для промежутка времени t:

Количество однородных событий в группе равно количеству

Если события однородны (pi = const), тогда, используя бином Ньютона, получим выражение

т = 0

Вероятность появления группы однородных событий равна:

(3 .3 )

Событие с т = 0 означает отсутствие отказов.

Данный закон распределения носит название биноминально­ го по схеме испытаний Бернулли. Он является наиболее общим законом распределения однородных событий.

Пример 3.1. ГПС состоит из четырех ТМ, т.е. п = 4. Вероятность вы­ хода из строя за время Т одного модуля р = 0,1. Требуется определить, какова вероятность того, что в течение времени Т все модули или ока­ жутся работоспособными, или выйдут из строя. Исходные данные: п = 4; m = 0, 1, 2, 3, 4; q = (1 - р) = 0,9.

Решение.

По формуле (3.3) находим:

Ро(4)=Cj 0,1° 0,9 (4_0)=1 1 0,6561 =0,6561 (вероятность того, что все модули работоспособны);

Рц4)=С4•0,11 •0,9(4_1)=4-0,1- 0,729=0,2916 (вероятность того, что от­ кажет один модуль);

Рщ) =С2 -0,12-0,9*4_2)=4*3/(1-2)0,01 0,81 =0,0486 (вероятность того, что откажут два модуля одновременно);

i>3(4)=Cj 0,l3-0,9(4"3)=4-3-^(1-2-3)0,001-0,9=0,0036 (вероятность того, что откажут три модуля одновременно);

Р4(4)= ^4 "ОД4-0,9^4-4^=1-0,0001 -1=0,0001 (вероятность того, что от­ кажут все четыре модуля одновременно).

Проверка: 0,6561 +0,2916+0,0486+0,0036+0,0001=1.

Пример 3.2. ГПС состоит из четырех ТМ. Определить, какова должна быть вероятность р выхода из строя одного модуля, чтобы за время Т (с вероятностью безотказной работы всей системы р = 0,95) не вышло из строя ни одного модуля;

Решение.

С учетом (3.3) заданной величины вероятности безотказной работы всей системы р = 0,95 запишем равенство

Pm(n)=C?pmqn-m=0,95.

Принимая q = 1 —р, можно записать

Ртю =Р<*4,=С„т р 'У " " =С4У ( 1-р)(4-0)=1-1(1 -р)4 =0,95

ИЛИ

(1-р)=0,95^5 =0,987,

откуда

р=1-0,987 =0,013.

Если вероятностир для каждого модуля не одинаковы, то по­ лучим следующее соотношение:

1=1

Чтобы было удобнее пользоваться данной формулой, введем параметр г:

Приведенная функция (p(г) называется производящей. Она имеет искусственный характер и необходима для лучшего по­ нимания расчетной процедуры. Если произвести перемножение биномов, то при параметре атбудут присутствовать произведения рти qn~m, что поможет анализировать искомые вероятности.

Пример 3.3. ГПС состоит из трех модулей, вероятности выхода из строя которы х за время Т равны: рх = 0,1; р 2= 0,2; р3 = 0,3. Требуется найти вероятности того, что за время Т или не выйдет из строя ни один модуль, или выйдут из строя все модули.

Р е ш е н и е .

Используя выражение (q = 1 —р) и производящую функцию (3.5), получим

<p(2)=(0,9+0,lz)(0,8+0,2z)(0,7 +0,3г)=

=0,504+0,3982 +0,092z2+0.00623.

Вероятность того, что из строя не выйдет ни один модуль, равна:

Ро(3) —0,504.

Вероятность того, что из строя выйдут 1, 2, 3 модуля, соответствен­ но равна:

Рцз)= 0»398; Р2(3)= 0,092; Рз(3)= 0,006.

Для проверки, складывая полученные числовые значения вероят­ ностей, получим в сумме 1.

Вычисления по биноминальным формулам, особенно при боль­ ших пудостаточно трудоемки. Поэтому целесообразно рассмотреть случай, когда п —» —» 0, л •р -» а, где а — фиксированное, достаточно малое положительное число. При этом получим сис­ тему редких событий. Величина а есть среднее число отказов, появляющихся за время Т.

Выражение (3.1) можно записать следующим образом:

ml

выражение (3.3) приq - 1 - pn qn~m =qn/qm =qnq~mпримет вид:

Составляющая формулы (1 - р)~т—> 1 при р —>0.

Используя свойство основания натурального логарифма е, фор­

Распределение дискретных случайных событий, описываемых формулой (3.8), называется распределением Пуассона, которое зависит от единственного параметра а. Однако если ввести пара­ метр X(вероятность появления события на отрезке времени от 0 до Г), то получим а = XT. Тогда в некоторых случаях распределе­ ние Пуассона справедливо и для непрерывных функций.

При т = 0 (т.е. при отсутствии отказов на отрезке от 0 до Т) распределение Пуассона примет вид:

Тогда вероятность противоположного события, а именно ве­ роятность появления на том же отрезке хотя бы одного отказа, определяется экспоненциальным законом:

Пример 3.4. Определить вероятность отсутствия отказов у ТМ при

X = 0,00002 ч"1 и Т = 5000 ч.

Решение.