книги / Надежность и диагностика технологических систем

Р е ш е н и е .

Согласно экспоненциальному закону, вероятность отказа одного эле­ мента q = 1 - e~Xt. Вероятность отказа трех элементов (т = 3) из п = 3 элементов равна:

1) согласно закону Пуассона, q$=(iikt)mexp(-rikt)/ml при т\ = 3! = 6;

Результаты расчета вероятности безотказной работы ТС РБ приведены в табл. 3.4. Значения РБ соответствуют расчету по за­ кону Пуассона, а РБ — по экспоненциальному, согласно схеме испытаний Бернулли. График изменения вероятности безотказ­ ной работы приведен на рис. 3.23. При некоторых соотношениях а = Xt кривые 1 и 2 не совпадают. Например, кривая 1 , соответ­ ствующая закону Пуассона, после значения t = 120 мин начинает возрастать. Более точен расчет при применении схемы испыта­ ний Бернулли. При моделировании производственных процессов следует учитывать, что применение МСП с достаточной для прак­ тики точностью возможно только при относительно малых вели­ чинах a = Xt.

Рис. 3.23. График изменения вероятности безотказной работы

Пример 3.12. Технологическая система из трех модулей имеет следую­ щие вероятности их выхода из строя: Р0= 0,8188; Pi = 0,1638; Р 2= 0,0165; Р 3 = 0,0011. Номинальная производительность одного модуля Q = 100 деталей в сутки. Определить, какова средняя производительность ТС при наличии отказов и восстановлений.

Р е ш е н и е .

При Р 0= 0,8188 работают все три модуля, при Р х = 0,1638 — два мо­ дуля, при Р 2 = 0,0164 — один модуль, при Р3 = 0,0011 ТС полностью

132 3. Математические основы теории надежности

неработоспособна, так как не работают все три модуля. Тогда средняя производительность равна:

QcP= 3P0Q + 2PiQ + P2Q = Ю 0(3 •0,8188 + 2 •0,1638 + 0,0164) =

= 245,6 + 32,8 +1,6 = 279,8 д ет ./су т.

Номинальная производительность всей системы в целом равна:

QH= nQ = 3 •100 = 300 д ет./сут.

Таким образом, производительность ТС с отказами и процессами ремонтного обслуживания в данном случае составляет 93,3 % от номи­ нальной.

Пример 3.13. ТС представляет собой АЛ последовательного дейст­ вия, состоящ ую из трех технологических модулей. При отказе любого из модулей АЛ останавливается и производится ремонтное обслуж ива­ ние. Номинальная производительность ТС равна Q = 100 деталей в смену. Режим работы трехсменный. Определить, какова производительность АЛ при параметрах отказов, приведенных в примере 3.10.

Р е ш е н и е .

Линия последовательного действия работоспособна, когда все ТМ находятся в исправном состоянии, а сама система находится в состоянии, соответствующем вероятности Р 0, т.е. работоспособном. В примере 3.10 определено, что вероятность нахождения всех модулей в исправном со­ стоянии равна Р 0 = 0,8188.

Фактическая производительность АЛ равна:

Фф = 3 ■Q •Р 0 = 3 •100 •0,8188 = 245,6 д ет ./су т .

Это составляет 81,88 % от номинальной производительности.

Таким образом, ТС, обладающая технологической гибкостью, более надежна и производительна при тех же параметрах надеж­ ности составляющих модулей. Однако для обеспечения гибкости ТС необходимы дополнительные интеллектуальные, материаль­ ные и финансовые ресурсы.

В классической теории массового обслуживания рассматри­ ваются МСП с ожиданием. При этом часть не обслуженных зая­ вок будет находиться в очереди на обслуживание, и если время ожидания в очереди будет превышать некоторый порог,* то заяв­ ка покидает очередь не обслуженной. Для ТС это означает, что некоторые единицы вышедшего из строя оборудования никогда не будут отремонтированы и должны быть списаны или прода­ ны. Для нормально функционирующего производства время на­ хождения оборудования в очереди на ремонтное обслуживание не ограничивается. Время предельного нахождения в очереди

считается случайным и распределенным по экспоненциальному закону:

h(t) = ve"v< при t > О,

где v — плотность потока заявок, покидающих очередь не об­ служенными. Это величина, обратная среднему времени ожида­ ния в очереди v = 1 /т ож.

Допустим, что в ТС содержится п элементов. Кроме того, необ­ ходимо ввести понятие «обслуживающий элемент» (ОЭ). Под ОЭ понимается единичный рабочий-ремонтник или бригада ремонт­ ников, выполняющих вместе одну операцию обслуживания или ремонта. Пусть в цехе имеется w ОЭ. Если количество отказав­ ших на данный момент элементов превышает w, то организуется очередь на восстановление (ремонт).

Количество состояний системы увеличится, если п » ш, что случается на практике. Тогда можно перечислить следующие со­ стояния системы:

•0 — все элементы работоспособны;

•1 — неработоспособным является один элемент, который

вданный момент восстанавливается (система работоспособна);

•k — отказало k элементов, которые в данный момент вос­ станавливаются (система работоспособна при k < w );

•w — отказало w элементов, которые восстанавливаются, дли­ на очереди равна нулю, k - w ;

•iv+1 — отказали элементы, количество которых превышает количество ОЭ, и один отказ ожидает восстановления k= w+1;

•w + s — отказали w + s элементов, из которых s элементов находится в очереди.

Ясно, что первые w уравнений будут совпадать с уравнения­ ми формулы (3.66).

dPQ(t)/dt = -XtP0(t)+

ность того, что система, находящаяся в состоянии w- 1 , получи­ ла отказ и перешла в состояние w;

ме, находящейся в состоянии ш, не был устранен ни один из п имеющихся отказов;

3) PW3 = + v)At — вероятность того, что в системе, находящейся в состоянии w + 1 , один отказ был устранен или одна заявка на ремонтное обслуживание покинула очередь на обслуживание.

Рассмотрим следующее дополнительное дифференциальное уравнение:

dPJdt = XPw-\ - (X + w\i)Pw(t) + (W\L + v)PUH.i{t).

Рассмотрим состояние w + s при s > 0. Можно выделить три составляющих:

1) ^W+sil' Аб)=Рщ+8,1^W+S,2 ^W+S,3»где Рщ+8,1 = -Р

вероятность того, что в систему, находящуюся в состоянии п + s - 1 , был привнесен еще один отказ;

2) Рщ+в,2 = Рш+а(0(1 - ХА* - wpA* - svA*) — вероятность того, что за время At в системе, находящейся в состоянии w+s, состоя­ ние не претерпело изменения, ни один отказ не был устранен

ини одна заявка на обслуживание не покинула очереди;

3)-Рцн*,з=-Рш+«+1(*) [ы>Ц+ (s + l)v]A* — вероятность того, что за время At в системе, находящейся в состоянии w + s, один отказ

был устранен или одна заявка на обслуживание покинула очередь. Получим еще одно дифференциальное уравнение:

dpu>+s(t)/dt ~ Рц>+8-гШ + Р ш+, ( г ) ( - Х * - ШЦ - s v ) + Рш+, +1(< )[ш ц + ( s + l ) v ] .

Окончательно получаем систему, дифференциальных урав­ нений:

dP0(t)/dt = -№Р0#)+Р$)\1 ,

dtf{{t)/dt - Pk-i(t)\- iJ(*)(X+ \ik)+Pk+i(k +1) 11,

dPw-i(t)/dt = Pw_2(t)X-[X+(w- 1)р1рш_1(*)+ w\iPw(t), dPw(t)/dt = XPW_i - (X+ w\i)Pw(t)+ (w\i+ v)Pw+1(*),

.dpw+,(t)/dt = РШ+,_!(*)Х+ Pw+8(t)(-Xt—wji—sv)+ Pw+8+i(t)[wyi+(s+l)v].

В предельном случае при * «> получим установившийся ре­ жим, который можно описать системой обычных линейных урав­

Отношение а = А./М- < w показывает, что количество ОЭ доста­ точно для обслуживания отказов. При а > w количество ОЭ недос­ таточно для устранения отказов и их число с течением времени будет возрастать, пока не достигнет некоторого критического уровня, при котором вся ТС станет неработоспособной.

Среднее количество свободных ОЭ находится по формуле

л „ = 2 ( ю - В Д . *=о

Пример 3.14. Технологическая система содержит 15 станков. Плот­ ность потока отказов для каждого из них X - 0,1 в сутки. Режим работы односменный при продолжительности смены 8 ч. Отказы устраняют два звена наладчиков (w= 2). Математическое ожидание времени устра­ нения одного отказа равно т^ = 4 ч. Требуется: подтвердить наличие установившегося режима обслуживания; определить вероятность от­ сутствия отказов Ро, вероятность наличия очереди на обслуживание Pi* •••>Р5 и среднюю длину очереди на обслуживание.

Решение.

Плотность потока обслуживания р = tCM/mo6 - 8/4 = 2. Суммарная плотность потока отказов Хс= п •X= 15 •ОД = 1,5.

Находим параметр а= Х/\1= 1,5/2 = 0,75. По формуле (3.72) опреде­ ляем вероятность отсутствия отказов:

Р0= 1/{1/1 + 0,75/1 + 0,752/2 + 0,75/[2(2 - 1,5)]} = 0,454.

На основе анализа полученных вероятностей очевидно, что устано­ вившийся режим, при котором наладчики будут успевать обслуживать отказы, существует, так как а = Xjw = 1,5/2 = 0,75 < 2.

Среднее число станков ТС, находящихся в очереди на ремонт, вы­ числяем по формуле (3.75):

т = 0,753 •0,454/[2 •2(1 - 0,75/2)2] = 0,12.

Таким образом, практически все станки, у которых произошли от­ казы, сразу будут ремонтироваться.

Введем понятие производительности ремонта Пр (Пр= mo5/w,

где w — количество звеньев ремонтников) и определим, как влия­ ет величина т^ на вероятностные характеристики процесса обслу­ живания. Для наглядности сделаем это на примере.

Пример 3.15. Технологическая система содержит 15 станков. Плот­ ность отказов каждого из них X = 0,1 в сутки. Режим работы односмен­ ный (8 ч). Отказы устраняет одно звено наладчиков (ш = 1). Математиче­ ское ожидание времени устранения одного отказа тов= 2 ч. Определить, как изменяется вероятность отсутствия отказов Р0по сравнению с пара­ метрами примера 3.14.

Решение .

Производительность ремонта: Пр = т об/ш = 2/1 = 2. Плотность потока обслуживания: ц = tcu/mo5= 8/2 = 4.

Суммарная плотность потока отказов: Хсм= л •X = 15 •0,1 = 1,5. Находим параметр а = Хс/р = 1,5/4 = 0,375.

Вероятность нахождения ТС в состоянии отсутствия отказов, т.е. полностью работоспособном состоянии равна:

Р0= 1/ [1/1+ 0,375/1+ 0,3752/(1 - 0,375)] = 0,506.

В примере 3.14 Р0 = 0,454, Пр = 4/2 = 2.

Таким образом, выгоднее концентрировать ремонтные мощности, если пропорционально концентрации растет производительность труда.

Из рассмотренных примеров следует, что знание и примене­ ние марковских случайных процессов позволяет получать важ­ ные для практики расчетные параметры, правильно определять стратегии эксплуатации и ремонтного обслуживания ТС.

Контрольные вопросы

1.Что определяет функция распределения случайной величины?

2.Каковы диапазоны изменения функции плотности распределения по оси абсцисс и по оси ординат?

3.Приведите формулу для расчета вероятности наступления событий по биноминальному закону.

4.Каковы особенности функции распределения Пуассона?

5.В чем состоят свойства закона нормального распределения?

6.Перечислите числовые характеристики случайной функции.

7.Как влияют факторы износа на вероятность наступления отказов?

8.Как определить вероятность безотказной работы ТС?

9.Какова последовательность расчета при использовании дискретных переходов для расчета вероятностей состояний системы?

на все изделие в целом определяются на основе методов теории вероятностей с использованием данных о плотностях потоков отказов, видах и характеристиках функций распределения от­ казов во времени (в течение наработки).

Статистические показатели надежности находят по дан­ ным испытаний изделий и их эксплуатации. Их расчет ведется методами математической статистики.

Бели изделия и их элементы являются невосстанавливаемыми, то основными показателями надежности следует считать пока­ затели безотказности, главным из которых является вероят­ ность безотказной работы (ВБР), которая нормируется с учетом установленной наработки изделия. ВБР в интервале времени от О до *о — это характеристика надежности элемента или системы, определяющая вероятность P(fo) того, что в течение заданной наработки t0 изделие сохранит свою работоспособность. Другими словами, ВБР — это вероятность отсутствия отказа в течение до­ считается, что в начальный момент эксплуатации изделие на­ ходилось в работоспособном состоянии. Данный показатель можно определить по формуле

lX*0) =l-Pi(f0) =F(*0),

где P i(f0) — функция распределения времени до первого отказа; F(f0) — функция распределения нахождения всех параметров изделия в пределах функциональных допусков.

Для нормального распределения при выходе параметра толь­ ко за одно из предельных отклонений F(t0) = 0,5 + Ф ^ ); Pi(fo) = = 0,5 - В случае выхода параметра за обе границы функ­ ционального допуска

F(tQ) = Ф(г1) + Ф(г2);

^ 0) = 1 -Ф (21)-Ф (г2).

При статистической оценке показатель

Я*о) = Що)/ЩО) = 1 - n(f0)/tf(0),

где N(t0) — количество изделий, оказавшихся работоспособными в момент времени f0; iV(0) — количество работоспособных изде­ лий на начало эксплуатации; n(t0) — количество изделий, отка­ завших в момент времени t0.

Вероятность отказа F(to) — это вероятность возникновения отказа в течение заданной наработки: JF(*O) = 1 ~ F(t0).

Средняя наработка до отказа Т\ есть математическое ожида­ ние наработки до отказа, определяемое по формуле

оо

Ti = \xfn(t)dt,

о

где /н (t) — плотность распределения наработки до отказа.

При статистической оценке имеем

*«»

т ^г/щ оу 5>lt, i=i

где *1г — единичная реализация времени наработки до первого отказа.

Для восстанавливаемых изделий применяют те же показатели надежности, которые рассчитываются до первого отказа. Кроме того, используются дополнительные показатели, характеризую­ щие или учитывающие процесс восстановления:

• среднее время восстановления

оо

x=\tg(t)dt,

О

где g(t) — плотность распределения времени восстановления;

• интенсивность восстановления

где G(t) — функция распределения интенсивности восстановле­ ния;

• средняя наработка между отказами

r 0T= lim l/f t i<7}, j=i

где Tj — единичная реализация времени наработки между отка­ зами; k — количество реализаций.

Поскольку изделие может находиться в работоспособном со­ стоянии, в состоянии восстановления или ожидать процесса вое-