книги / Надежность и диагностика технологических систем

На рис. 3.3 приведены кривые распределения Пуассона при различных значениях а, которые показывают, что с ростом т

укривых распределения Пуассона появляется максимум, а при

т> 6 кривые по характеру все больше становятся похожими на известную кривую нормального распределения закона Гаусса.

Рис. 3.3. Распределение Пуассона при различных значениях параметра а

Закон Гаусса выводится из биноминального закона при стрем­ лении п —» ©о и т —» ©о произвольным образом. В теории вероятно­ стей доказывается, что при х = (т - np)/(npq)0,5вероятностьрт(П) оценивается по формуле

Данное выражение только незначительно отличается от рас пределения Гаусса, записанного в нормализованной форме:

Нормальный закон относится к классу предельных. К виду этого закона приближаются при определенных условиях так на­ зываемые смеси распределений, описываемые другими законами при их многократном употреблении (суммировании). Имеются

и некоторые другие законы, которые при определенных услови­ ях можно рассматривать как предельные.

Плотность вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону, в общем случае имеет вид:

В данном выражении параметр тх соответствует математиче­ скому ожиданию, а параметр а = — среднему квадратиче­ скому отклонению распределения случайной величины.

Вид кривой плотности распределения по нормальному закону имеет вид симметричной колоколообразной кривой с максиму­ мом, соответствующим математическому ожиданию при х = тх (рис. 3.4). Очевидно, что при таких условиях величина макси­ мума равна f(x)шаХ = 1/(а-^/2 п ). Чем меньше величина среднего квадратического отклонения а, тем больше величина f(x)max, и наоборот.

Рис. 3.4. График плотности распределения функции Лапласа

Функция распределения для нормального закона равна:

Несмотря на то что данная функция распределена по всей числовой оси, вероятность события на интервале от до тх — За составляет всего рх = 0,00135, а за пределами интервала (тх - За < < х < тх + За) равна рх = 0,0027. Традиционно принято считать, что случайная величина, распределенная по нормальному закону,

Вероятность попадания на участок между точками о и q опре­ делится из выражения

р (о, q) = Ф (ф ) -Ф (-V o ) = Ф (ZI/ G) +Ф (k/o). (3.18)

Вероятность нахождения случайной величины в диапазоне от - 00 до точки k находится по формуле

р (-оо, к) = Ф (~ ф )~ Ф (— /о) =

Пример 3.5. Определить вероятность появления отказа на участке от -«в до точки k, если 14= 8, а величина среднего квадратического от­ клонения о = 4.

Решение.

По формуле (3.19) находим: Р(-оо, k) = 0,5 - Ф(/4/о) = 0,5 - Ф(8/4) = = 0,5 - Ф(2) = 0,5 - 0,4772 = 0,0228. Значение 0,4772 — табличное зна­ чение величины Ф(2).

При исследовании надежности используются и другие законы распределения случайных величин. Например, экспоненциаль­ ное распределение, функция распределения которого описывается формулой (3.10), имеет плотность распределения

f(x) = F\x) = A,exp(-Ajc).

Математическое ожидание

DX = J x?f(x)dx =fx2X-exp(-Xx)dx = Xj я2 •exp(-Xx)dx. (3.20)

о о о

При интегрировании по частям получим значение D(x) = 1/Х2 или G(X ) = 1/Х. При экспоненциальном распределении тх = а(х) = = 1/Х.

Экспоненциальное распределение применяется для опреде­ ления характеристик надежности элементов электронной аппа­ ратуры ТС и других элементов, а также в случаях, когда ТС эксплуатируется очень долго и многократно ремонтируется.

Логарифмическое нормальное распределение имеет смещен­ ный максимум и очень удобно при описании законов распреде­ ления отказов различных элементов, например подшипников качения и скольжения. Плотность распределения в этом случае находится по формуле

хаы2п

Математическое ожидание и дисперсия данной функции равны:

тх = ехр (а + а2/^);

Dx = ехр 2 (а+ сз2)[ехр(о2) -1].

Закон Вейбулла имеет примерно такой же вид кривой плот­ ности вероятности, как и предыдущий:

Этим законом удобно пользоваться при исследовании надеж­ ности изнашивающихся или стареющих элементов. Матема­ тическое ожидание и дисперсия данного закона находятся по формулам:

тх = 1/суаТ(1+1/а);

Dx = l/c ^ [Г(1+ 2/а)- Г2(1- 1 /а)].

В этих формулах функция

оо

Цх) = jt^e-'dt

является гамма-функцией, табулированной в специальных таб­ лицах. Закон Вейбулла удобно использовать при описании не­ симметричных распределений, сдвинутых в сторону и с одним максимумом.

Гамма-распределение применяется в аналогичных случаях. Его функция плотности вероятности (в отдельных случаях при t = 2Хх) имеет вид:

f(t) = l/[2 4Cn -1)]*4exp(-f/2).

•выбор рациональной структуры ТхС (схемная надежность);

•оценка надежности системы по ее структуре и количествен­ ным показателям составляющих элементов;

•определение методов технического обслуживания и ремон­ та системы с минимизацией экономических затрат.

Надежность ТхС зависит от свойств и характеристик самой системы и ее элементов. Необходимо учитывать характер отка­ зов, которые могут быть как внезапными, так и постепенными, связанными с процессами старения, коробления, износа и др.

Элементы системы могут быть восстанавливаемыми и невосстанавливаемыми. Невосстанавливаемый элемент (НЭ) — это такой элемент, свойства которого после отказа восстановить не удается или его восстановление экономически нецелесообразно. НЭ после отказа удаляется из системы и заменяется новым.

Вмашиностроении к невосстанавливаемым элементам относят типовые стандартные элементы, изготавливаемые в массовом производстве (подшипники, детали крепежа, агрегаты пневмо­ гидроаппаратуры, пружины и т.п.).

Восстанавливаемый элемент (ВЭ) после отказа может быть отремонтирован (восстановлен). К категории ВЭ обычно относят сложные дорогостоящие детали и сборочные единицы (узлы), изготовленные в условиях мелкосерийного или единичного про­ изводства и обладающие свойством восстанавливаемости. На­ пример, достаточно легко восстановить покрытие элемента или целого изделия. К ВЭ относятся сборочные единицы, которые рассматриваются при расчете надежности как отдельный, еди­ ничный элемент. Отказы из-за выхода из строя одной или не­ скольких деталей у подобных сборочных единиц устраняются за счет их замены при ремонте. Работоспособность многих дета­ лей удается восстановить технологическими методами (наплав­ кой, плазменным напылением, сваркой и др.).

На НЭ и ВЭ действуют внезапные, постепенные и комбиниро­ ванные отказы (рис. 3.6). Комбинированные отказы проявляются при действии субъективных факторов и под влиянием окружаю­ щей среды. К комбинированным отказам можно отнести пробой электроизоляции, вызванный ее старением, воздействием тем­ пературы, влажности и др.

При расчете показателей надежности технических систем их следует рассматривать как некоторую эквивалентную структуру

С другой стороны, изделия и системы могут иногда оказы­ ваться под воздействием субъективных факторов, влиянием ок­ ружающей среды (температуры, влажности, тумана, гололеда

ит.д.), в аварийных ситуациях (автомобильный транспорт), ко­ гда доля незначительных повреждений и отказов весьма высока (например, проколы камер, разрыв покрышек). Поэтому в по­ добных условиях процессы восстановления объективно необхо­ димы.

ТС весьма дорогие, сроки их эксплуатации достаточно дли­ тельны, поэтому они в подавляющем большинстве случаев отно­ сятся к классу восстанавливаемых. Восстанавливаемые элементы

исистемы могут находиться в трех состояниях: работоспособном; состоянии ожидания восстановления; состоянии восстановления.

Наряду со способностью к восстановлению важное значение с позиций обеспечения надежности имеют структура и свойства системы, определяющие влияние отказа каждого элемента на надежность системы в целом. При этом для расчета показателей надежности любая конструкция или изделие должны быть пред­ ставлены в виде элементарных блоков, соединенных между собой функциональными связями. Элементарным блоком может быть модуль, сборочная единица, узел и даже отдельная деталь.

Классификация структур систем обеспечения надежности изделий достаточно сложная (см. рис. 3.7). Системы могут быть нерезервируемые и резервируемые. Нерезервируемые системы

спозиций надежности могут быть только последовательными. Последовательные системы (ПС) имеют структуру, которая пред­ ставляет собой последовательную цепочку элементов (1-4), каж­ дый из которых, за исключением первого 1 и последнего 4> соеди­ нен одной функциональной связью с предыдущим и последующим элементами (рис. 3.8). Отказ хотя бы одного элемента ПС приво­ дит к отказу всей системы в целом. К таким системам относятся большинство механических, электромеханических, оптических, оптико-механических и других изделий, у которых усложнение структуры с целью повышения надежности приводит к резкому увеличению стоимости изделия и, соответственно, к пропорцио-

1 2 3 4

Рис. 3.8. Структура системы с последовательным соединением элементов