книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин
..pdfРис. 2.15. Схемы для определения критических напряжений в пластинах методами конечных разностей и энергетическим
Определим критическое напряжение акр для квадратной пластины (а = Ь) , шарнирно опертой по всем краям. Решим задачу в самом грубом приближении, полагая s = b/2 (рис. 2.15,я). Используя уравнение (2.29) и учитывая граничные условия (w_ г = ~wl ), получаем акр = 8D/(hs2) = = 32Dj (hb2). Это в 1,23 раза меньше точного значения, что естественно при такой ”грубой” сетке.
Применение энергетического метода поясним на примере сжатой пластины, имеющей шарнирные опирания на нагруженных краях и жест кие защемления на ненагруженных краях (рис. 2.15, б). Сначала запи шем общие выражения потенциала внутренних и внешних сил. Потен циальная энергия деформации изгиба пластины:
D |
<* Ь |
( |
32w |
b 2 w |
b 2 w |
b 2 W |
W= — |
* *Н — ~ |
+ --------) - |
2(1 - д ) [ --------------- |
|||
2 |
0 0 |
^ |
3JC |
Эу 1 |
дх2 |
ь у 2 |
Э 2 W |
|
\ |
|
|
|
(2.30) |
|
-----) |
] Г dxdy. |
|
|
||||
bxby |
|
J |
|
|
|
|
|
Работа внешних сил при потере устойчивости пластины |
|||||||
h |
а |
Ъ |
|
aw |
„ |
|
bw |
Т = — |
S S |
К |
( — |
)2 + |
а ( |
------ •: |
|
2 |
0 |
0 |
* |
эх |
|
y |
by |
+ 2тху |
bw |
|
aw |
] dxdy. |
|
(2.31) |
|
bx |
|
— |
|
||||
|
|
by |
|
|
|
|
|
При сжатии пластины в одном направлении (ах = const, ау = тх у = 0)
h Ь a bw ^
Т = т |
! ° х и ( — |
2 |
о о |
Задаваясь уравнением = / sin (]тюс/а) sin2 (7ту/b), ловиям задачи, получаем
изогнутой поверхности пластины w = которое удовлетворяет всем граничным ус
я 4 |
. |
3 тпл Ь |
8 пх2 |
16 а ч |
W=— |
D f ( |
--------- |
+ -------- |
+ |
3 2 |
|
а3 |
аЪ |
Ь2 |
3 |
, |
, , |
* |
|
Т = ----- |
a h f2 m2я2 — |
|
||
3 2 |
Л |
|
а |
|
Так как выражение полной энергии Э = W - Т системы содержит только один неопределенный параметр f, то непосредственно из равен ства W и Т находим
n2D |
1 |
b2 h |
^ \ 2 |
где Х = а/ (mb). |
|
Если а > |
Ь, то минимальное значение ох находим из условия дох/д \ = |
= 0, откуда получаем X = 0,658 и сткр = 7,3 7Г D/(hb2)yчто превышает точ ное значение всего на 4 %. Следовательно, при жестком защемлении про дольных краев пластины критическое напряжение значительно выше (в 1,825 раза), чем при их шарнирном опирании.
Расчет систем по деформированному состоянию. Сжато-изогнутые стержни рассчитывают по деформированному состоянию, при котором нарушается линейная зависимость между усилиями в связях (или пере мещениями точек) и нагрузкой.
Нелинейность силовых и кинематических факторов от действия на грузки может быть физической (не соблюдается закон Гука) и геомет рической. Ниже рассматриваются вопросы, связанные с геометрической нелинейностью, обусловленной относительно большими перемещениями точек системы. В этих случаях принцип суперпозиции неприменим и рас четы по недеформированному состоянию недопустимы.
На рис. 2.16, а показан стержень в состоянии продольно-поперечного изгиба, а на рис. 2.16, б приведена зависимость прогибов v от продоль ной силы Р (Т = кР)\ из которой следует, что рост перемещений v и, соответственно, внутренних сил опережает увеличение силы Р. Могут быть и другие зависимости между этими факторами. В двухстер^кневой системе (рис. 2.16, в), моделирующей участок деформируемой цепи или гибкой нити, при увеличении силы Р угол у и усилия в стержнях уменьша ются. В этом случае интенсивность увеличения внутренних сил и, соот ветственно, перемещения Д меньше интенсивности увеличения силы Р (рис. 2.16,г ) .
Рассчитывать сжато-изогнутые стержни по деформированному со стоянию можно различными методами. Поясним их применение на прос тейшем примере консольного стержня, нагруженного продольной силой Р и поперечной силой Т на свободном конце консоли (рис. 2.16,а) . В се чениях помимо сжимающих усилий возникают изгибающие моменты от
г) |
д) |
е) |
Рис. 2.16. Схема и зависимости для расчета систем по деформированному состоянию
поперечной и продольной нагрузок. В соответствии с выражением (2.6) максимальное напряжение сжатия
ошах |
N |
М п + Ny |
F |
(2.32) |
|
|
W |
где TV = Р\ у - плечо силы TV; Мп - момент от поперечной нагрузки.
Точное решение задачи [5] заключается в решении неоднородного дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба:
£7(v"+ Ь ) = -Л/п , |
(233) |
где к = V Р/ (EJ).
По структуре это уравнение похоже на дифференциальное уравнение продольного изгиба (2.9). Структурно совпадает и уравнение упругой линии, записанное по методу начальных параметров. Принципиальное от личие заключается в том, что при продольно-поперечном изгибе опреде ляется не параметр нагрузки (к известно), а перемещения v(z). Если продольная сила Р связана с поперечной силой Т линейной зависимостью Р = РТ (или, наоборот, Т = ргР), то функция v(z) будет зависеть лишь от одного силового фактора Р (или Т) .
Уравнение упругой линии v(z) для рассматриваемого случая имеет
вид
/ |
sin kz |
(kz — sin k z ) |
v = v0 + v0 |
---------+ |
T ------------------ . |
|
к |
к 2 EJ |
Дважды дифференцируя это выражение и учитывая граничные усло вия (vz = i = 0 и yz _ i = 0), после преобразований получим полный мо-
мент в заделке М = - T(tg kl)/k. В частном случае, когда Р = EJ/P .= = 0,4/>э (к & 1/1) fMz _ j = - 1,56 77.
На рис. 2.16, д изображена зависимость отах =/(/>), из которой сле дует, что при продольно-поперечном изгибе интенсивность увеличения на пряжений больше интенсивности увеличения нагрузки. Поэтому оценка прочности при продольно-поперечном изгибе по допускаемым напряже ниям не обеспечивает истинного запаса прочности; расчет следует вести по допускаемым нагрузкам: [Р] = Рт/к3 (где к3 —коэффициент запаса).
Кроме точного метода, сопряженного с математическими сложнос тями, существуют различные приближенные методы. Чаще всего приме няют в различных вариантах способ последовательных приближений (итераций). Изложим порядок расчета по одному из них на примере рас сматриваемого стержня (рис. 2.17, д ).
1. Для заданной системы по недеформированной схеме определяют основные силы S0 и прогибы v°, соответствующие основному деформи рованному состоянию. (При расчете крановых стрел в основном дефор мируемом состоянии учитывают также неточность изготовления, зада ваемую отношением возможных прогибов к длине стрелы).
Как следует из рис. 2.16, е, в рассматриваемом примере |
= - 77 и |
*А =Tl3l(3EJ).
2. По основному деформированному состоянию определяют прира щение любого фактора AS в первом приближении. В данном примере этим фактором является изгибающий момент ДМ' = Pv°. При этом АМп = - Р(713)/ (3EJ). Принимая, как и ранее, Р = EJ/Р , получают
АМд = -П /3.
3. Систему вновь рассчитывают по недеформированной схеме на дей ствие приращения AS1, в результате чего определяют приращения пере мещений Av' и параметры деформированного состояния в первом приб лижении.
Далее процесс повторяют, и полные усилия и перемещения определя ют по формулам:
S = S° + Д5'+ |
AS"+ |
(234) |
v = v° + Av' + Av" + |
(235) |
|
Как правило, эти ряды |
быстро сходятся и для определения S и v |
|
достаточно двух- |
трех итераций. |
|
Для данного примера при использовании графоаналитического ме тода определения перемещений [8] получим: Av^ « 0,437 vJJ » 0,145 X X 773/ (EJ) , ДМ" = - 0,145 Д Av" « 0,437 v'A = 0,064 773/ (EJ), ДМ'" =
= - 0,064 77; следовательно, Мв = - (1 + 0,333 + 0,145 + 0,064) 77 = - 1 ,542Х X 77 и v = (0,333 + 0,145 + 0,064) 773/ (EJ) = 0,542 773/ (EJ). Как видим, от клонение от точного значения момента М0 составляет около 1 %.
Отметим, что в данном случае процесс итерации сходится медленно из-за сравнительно большой продольной силы (Р « 0,4 Рэ). При мень шей продольной силе сходимость ряда осуществляется значительно быст рее. Если Р-+Рэ, процесс итерации вообще не будет сходящимся.
Существует еще один способ приближенного расчета по деформиру-
емому состоянию,согласно которому прогиб v при продольно-поперечном изгибе определяют по формуле (справедливой лишь при Р/Рэ < 0,75)
v |
(2.36) |
1-Р/Рэ
где vn - прогибы от поперечной нагрузки, определяемые по недсформированной схеме; Р - продольная сила; Рэ =тг2Е// (д/)5 - эйлерова сила.
Для рассматриваемого примера (Р = EJ/P) уа = 0,56 773/ (E J), что незначительно отличается от прогиба, полученного выше. Отметим, что формулой (2.36) удобно пользоваться тогда, когда упругие линии при продольно-поперечном изгибе и при поперечном изгибе подобны по ха рактеру.
2.3. РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СВАРНЫХ, ЗАКЛЕПОЧНЫХ И БОЛТОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ
2.3.1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ СОЕДИНЕНИЙ
Металлические конструкции образуются из отдельных узлов и дета лей при помощи соединений. Соединением называется совокупность сое диняемых деталей и соединительных элементов (сварных швов, болтов и т д .). Кинематически соединяемые детали можно рассматривать как диски или блоки, а соединительные элементы —как связи. В зависимос ти от характера связей различают подвижные и неподвижные соеди нения.
Неподвижные соединения разделяют на разъемные и неразъемные. Разъемные соединения применяют тогда, когда в период эксплуатации металлоконструкции может потребоваться ее монтаж или демонтаж. Не разъемные соединения применяют в тех случаях, когда демонтаж конс трукции не требуется в течение всего срока эксплуатации. Основным разъемным соединением является болтовое; в качестве неразъемного соединения в большинстве случаев используют сварное, реже —заклепоч ное соединение.
2.3.2. СВАРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Типы сварных соединений и сварных швов. Сварные соединения со гласно ГОСТ 5264—80 разделяют на стыковое (рис. 2.17, а, б, в ), угло вое (рис. 2.17, <)), тавровое (рис. 2.17, е) , нахлесточное (рис. 2.17, г ) . Каждое соединение может быть односторонним (рис. 2.17,6, д) иди дву сторонним (рис. 2.17, г, ё)\ со скосом кромок (рис. 2.17, б) или без скоса (рис. 2.17, в), с отбортовкой (рис. 2.17,а) ; сварка выполняется с подкладкой (рис. 2.17, в) или без нее (рис. 2.17, б). Сварные швы мо гут быть стыковыми или угловыми. Например, нахлесточное соединение, показанное на рис. 2.17, г, выполнено угловым швом, а соединения, по казанные на рис. 2.17, б - в, —стыковыми швами. Угловые швы наи-
|
Liiiimy. |
Рис. 2.17. Сварные соединения эле |
|
ментов конструкций |
|
|
|
Рис. 2.18. Сварные швы |
|
|
более распространены и по мас |
/ |
ш |
се наплавленного металла сос |
1 и ш |
тавляют около 90 % от общего |
|
|
|
числа сварных швов. |
По расположению |
относительно |
внешнего растягивающего усилия |
(рис. 2.18) стыковые швы разделяют на прямые (77) и косые (777), а уг ловые —на лобовые (7), фланговые (IV) и косые. По ответственности швы разделяют на рабочие и связующие. Разрушение рабочего шва при водит к разрушению конструкции. Связующие швы деформируются сов местно с соединяемыми деталями, которые способны сопротивляться на грузке и без швов. Следовательно, связующие швы служат только для взаимной фиксации деталей и на прочность не рассчитываются.
Размеры сечения сварных швов. Толщину стыковых швов при свар ке элементов конструкции, выполненных из стальных листов, обычно принимают равной минимальной толщине листа. Основным размером, характеризующим сечение углового шва, является катет шва к (см. рис. 2.17, г). Максимальное значение катета шва не должно превышать 1,2 толщины более тонкого из свариваемых элементов. Минимальное значение катета шва определяется из прочностного расчета и должно на ходиться в пределах, указанных ниже.
Толщина более |
|
|
|
|
|
|
|
толстого из сва |
|
|
|
|
|
|
|
риваемых эле |
ОтЗ |
Св. 4 |
Св. 5 |
Св. 10 |
|
|
|
ментов, мм . |
Св. 16 |
Св. 22 |
Св. 32 |
||||
Минимальный |
до 4 |
до 5 |
до 10 |
до 16 |
до 22 |
до 32 |
до 40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
катет шва (мм) |
|
|
|
|
|
|
|
при пределе |
|
|
|
|
|
|
|
текучести ста |
|
|
|
|
|
|
|
ли, МПа: |
|
|
|
|
|
|
|
До 400 ............ |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Св. 400 до 450 . |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Сопряжение элементов в сварных узлах. Отдельные балки, выпол ненные из прокатных профилей (швеллеров, угловой стали) и образую щие раму, соединяют в узлах сваркой (рис. 2.19, а, б) . Сопрягаемые эле менты подготавливают для сварки: делают скосы кромок (см. рис. 2.17); при соединении деталей по схеме, показанной на рис. 2.19,6,
Рис. 2.19. Сварные узлы
полки одной из балок срезают, чтобы стенка этой балки могла располо житься внутри второй балки, что позволяет увеличить суммарную длину швов. Для увеличения жесткости используют косынки (рис. 2.19, a), a для обеспечения местной устойчивости стенок и полок —ребра жест кости.
Для решетчатых систем, выполненных из угловой стали, предпочти тельными являются узлы с использованием сдвоенных уголков (рис. 2.19, в ) . При симметрии узла относительно плоскости фермы и пе ресечении геометрических осей стержней, сходящихся в узле, в одной точке в узлах не действуют изгибающие моменты. Использование косы нок позволяет расположить на них сварные швы нужной длины. Однако такая конструкция не лишена недостатков, главным из которых явля ется относительная сложность изготовления. Поэтому в решетчатых си стемах, используемых в дорожно-строительных машинах, чаще применя ют одинарные уголки, свариваемые без косынок (рис. 2.19, г). Такая конструкция допустима при условии, что расчетная длина шва не превы шает длину контура прилегания свариваемых деталей. Геометрические оси стержней в таких узлах, как правило, не пересекаются в одной точке, что приводит к появлению в узле изгибающего момента.
При действии узловых изгибающих моментов стержни работают на растяжение-сжатие с изгибом, что приводит к некоторому увеличению массы конструкции.
Если в решетчатой конструкции применены стержни из труб, то при легание элементов в узле обеспечивается различными способами (рис. 2.19, д—к ) . Соединение, изображенное на рис. 2.21, и, обеспечиваю щее хороший контакт свариваемых деталей, требует сложной механи ческой обработки. Более распространенными являются варианты с врез кой (рис. 2.19, ё) или с расплющиванием конца привариваемой трубы (рис. 2.19, д, ж).
Учет технологических факторов при проектировании сварных узлов. При проектировании сварных соединений необходимо иметь информа
цию о возможностях завода-изготовителя, так как расчет соединений учитывает технологию их изготовления.
Рекомендуется применять автоматическую или полуавтоматическую сварку под флюсом или в углекислом газе; ручную сварку целесообраз но применять только в тех случаях, когда более совершенные способы сварки использовать невозможно.
С целью увеличения усталостной долговечности швов, в том числе для металлоконструкций, работающих в условиях холодного климата, необходимо на стадии проектирования учитывать рекомендации, разра ботанные Институтом электросварки им. Е.О. Патона и вошедшие в ГОСТ 14892-69**. В одном соединении не следует применять более двух разных марок стали. Сечения сварных элементов рекомендуется проек тировать симметричными без стыковых швов в зоне растяжения. Запре щается использовать комбинированные соединения с применением одно временно сварки и заклепок (болтов). Следует избегать резких измене ний сечений и других факторов, вызывающих повышенную концентра цию напряжений; необходимо отдавать предпочтение соединениям с на именьшей концентрацией напряжений, таким, как стыковые, нахлесточные с обваркой по всему контуру. Целесообразно применять обработку соединений после сварки для снятия остаточных напряжений и повыше ния выносливости соединения: термообработку (отпуск) , механическую обработку швов, предварительную перегрузку, местное пластическое об жатие металла вблизи соединения и т.д. Рекомендуется избегать пересе чения угловых швов. Угловые швы должны иметь вогнутую форму с плавным переходом к основному металлу, что достигается выбором ре жима сварки или механической обработкой шва. Расчетная длина шва должна быть не менее 40 мм и не менее четырехкратного размера катета шва.
2.3.3. РАСЧЕТ СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Стыковые швы. Косые стыковые швы при угле наклона а < 67° не уступают по прочности основному металлу и на прочность не рассчиты ваются. Однако применение их не всегда экономически оправдано из-за потерь при раскрое листовой стали. Прямые стыковые швы равнопрочны с основным металлом при условии соблюдения всех рекомендаций и ка чественного провара начала и конца шва. При поверочном расчете пря мых стыковых швов сравнивают напряжение а с расчетным сопротивле нием разрыву R CB металла шва. При одновременном действии на соеди нение продольной силы N и изгибающего момента М (см. рис. 2.18, шов II) прочность проверяют по неравенству:
N |
М |
N |
ем |
(2.37) |
___+ ____ = ____ |
- < * с в *> |
|||
F |
W |
6 /р |
|
|
|
|
|
|
|
где F - площадь сечения шва; |
W - момент сопротивления сечения шва; б - толщи |
|||
на шва; /р - |
расчетная длина шва, равная его действительной длине, если применя |
|||
лись выводные планки,или уменьшенная на 10 |
20 мм в противном случае; ку — |
|||
коэффициент условий работы. |
|
* |
||
Рис. 2.20. Расчетная схема сварного сое динения
Угловые швы. Сварные соединения с угловыми швами рассчитывают на срез по одному из двух сечений: по металлу шва (по площадке,про ходящей через биссектрису угла шва; линия t на рис. 2.17, г) или по ме таллу границы сплавления основной детали и шва. Расчетным является соотношение
г < * св. Л . |
(2-38) |
щ е т - касательное напряжение; Rcв с - |
расчетное сопротивление срезу (см. |
табл. 2.3). |
|
Согласно СНиП 11-23—81 и ’’Пособию по расчету и конструированию сварных соединений стальных конструкций” (ЦНИИСК им. Кучерен ко. —М.гСтройиздат, 1984. —40 с.) расчетные сопротивления определя ются типом электрода или маркой сварочной проволоки.
Основной трудностью при расчете сварных швов является обосно ванное определение максимального касательного напряжения в наиболее нагруженном участке шва. Для этого принимают допущения о вероятном характере распределения напряжений по отдельным швам и по длине швов.
Рассмотрим расчет сварного соединения, нагруженного моментом Мх, продольной силой N и поперечной силой Q (рис. 2.20). Он основан на допущении, что детали являются жесткими, а деформируются только сварные швы, причем под действием момента соединяемые детали пово рачиваются одна относительно другой вокруг центра масс О шва. Мо мент М является суммой внешнего момента Мх и момента, создаваемого поперечной силой Q:
( L + h - a ) Q . |
(2.39) |
Сначала найдем напряжения, создаваемые моментом М. Его можно представить как сумму элементарных моментов, воспринимаемых эле ментарными участками шва:
dM = nIT=rTMdF, |
(2.40) |
где г - расстояние от рассматриваемой точки К шва до центра О; dT - элементар ная сила, действующая на участок шва; TJ^ - касательное напряжение; dF - эле ментарная площадь.
Поскольку приняли, что соединяемые детали не деформируются, де формации участков шва пропорциональны расстояниям г и, следовательно, Tfyf = сг, где с —коэффициент пропорциональности, равный касатель ному напряжению в точке, удаленной от точки О на расстояние г = 1. Ин тегрируя выражение (2.40), получаем
М = с I r2dF = cJp =c(Jx +Jy), |
(2.41) |
F |
|
где Jp - полярный момент инерции; Jx , Jy - |
осевые моменты инерции швов. |
Из формулы (2.41) находим |
|
c=M/(Jx + Jy). |
(2.42) |
Напряжение от момента М в рассматриваемой точке К |
|
rM =Mrl{Jx + Jy). |
(2.43) |
Наибольшее касательное напряжение ттах действует в точке А, для которой г = rmax = у/х2 + у 2, где х, у —координаты точки А \ х~1х - а, у - 1 2\2. Следовательно,
Напряжения тдг от действия продольной силы N определим исходя из предположения об их равенстве на всех участках швов:
N |
N |
(2.45) |
|
F |
(21, + |
||
/2 )кр |
|||
где к - катет шва; р - |
коэффициент, учитывающий технологию процесса сварки |
||
(/3 = 0,7 ... 1,1; |
принимается по данным СНиП 11-23-81; для ручной дуговой сварки |
||
13=0,7). |
|
|
|
Аналогично определяем напряжение TQ , создаваемое поперечной си лой Q:
TQ =Q/F=QI(211 + h )k fi. |
(2.46) |
Суммарное касательное максимальное напряжение |
|
' = 7M + TN + ?Q |
(2.47) |
Геометрическую сумму (2.47) можно вычислить, используя уравне ния векторной алгебры или определить методом построения многоуголь ника напряжений. При проверке условия (2.68) принимают ку = 1, при работе конструкции в районах холодного климата ку =0,85.
В частных случаях расчет угловых швов упрощается. Рассмотрим нахлесточное соединение несимметричного профиля (например, углового) с плоским элементом при действии продольной силы и сварке фланго выми швами. Из уравнения проекций всех сил на ось уголка (рис. 2.21) получим R x + R2 = N (где R х и R2 —силы реакции в швах), система один раз статически неопределима. Чтобы напряжения в двух швах бы-