книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

Устойчивость внецентренно сжатых стержней в плоскости действия момента проверяется по аналогичным формулам:

где <рвн < —коэффициент, зависящий от гибкости стержня X и от приведенного эксцентриситета тх, учитывающего форму поперечного сечения. Значения <р, mlt

На рис. 2.9 показаны схемы, определяющие граничные условия при продольном изгибе стержня, и приведены соответствующие значения коэффициентов д. Из рис. 2.9, а - г видно, что приведенная длина стерж­ ня д/ равна длине соответствующей полуволны синусодды. Это относит­ ся и к случаю, когда сила при продольном изгибе постоянно направлена в полюс (рис. 2.9, d), что соответствует потере устойчивости крановой стрелы из плоскости действия нагрузки. Существенное влияние на сни­ жение критической нагрузки может оказать податливость опорных связей (рис. 2.9, е).

Основные методы определения критических нагрузок. Статический метод заключается в исследовании уравнений равновесия стержня, нахо­ дящегося в деформированном со­ стоянии. Поскольку прогибы v при переходе от исходной к отклонен­ ной форме равновесия малы, эти уравнения можно записать прибли­ женно, основываясь на общем диф­ ференциальном уравнении изгиба:

EJv" = -М .

Рис. 2.8. Зависимость критического на­ пряжения от гибкости стержня

Рис. 2.9. Схемы для определения гра­ ничных условий при продольном изгибе

о)

Рис. 2.10. Деформированное состоя­ ние стержня при продольном изгибе

Подставляя это выражение в общее дифференциальное уравнение изгиба, после преобразований получим дифференциальное уравнение продольного изгиба:

a

где QJX - поперечная сила, определяемая по деформированной схеме.

фиктивной поперечной нагрузки q . (по деформированной схеме). Учи­ тывая, что при сжатии стержня q = 0, получаем

В уравнениях (2.10) — (2.14) неизвестными всегда являются лишь два начальных параметра; два других либо известны, либо связаны с неизвестными параметрами определенными зависимостями (в случае податливой опоры на левом конце). При этом прогиб v0 связан с попе­ речной силой Q0, а угол поворота Уо —с моментом М0; каждому кине­ матическому фактору соответствует статический.

Используя два граничных условия на правом конце стержня, полу­ чаем два однородных уравнения, содержащих кроме двух неизвестных начальных параметров искомый параметр критической нагрузки а. Для получения нетривиального решения задачи — определения параметра а, приравнивают нулю определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных начальных параметрах:

Это условие называется уравнением устойчивости. Минимальный корень при решении этого уравнения определяет критическую нагрузку.

Поясним сказанное на примерах. На рис. 2.11, а изображен консольный стер­ жень, сжатый силой, направленной при продольном изгибе в полюс С, лежащий в за­ делке В. Параметры b = /, М0 = 0, Q0 = 0, vj = 0 и vj = 0, перемещение v0 и угол по­ ворота v0r неизвестны. Используя формулы (2.10) и (2.11), получим следующую систему уравнений:

тей дает приближенное значение критической нагрузки, причем для стержней пос­ тоянного сечения - заниженное.

Энергетический метод основан на рассмотрении полной энергии сис­ темы Э, находящейся в отклоненном деформированном состоянии. Ча­ ще всего его применяют в форме метода Ритца (см. п. 1.4.4). Задаваясь уравнением изогнутой оси стержня v = v(z) при помощи семейства упру­ гих кривых /J*(z), каждая из которых должна удовлетворять кинемати­ ческим граничным условиям, составляют выражение полной энергии системы (1.65), в котором первое слагаемое Wпредставляет собой энер­ гию изгиба стержня, а второе Т —работу, совершаемую силой Р, на вза­ имном перемещении А концов стержня при его изгибе (рис. 2.13, а).

Величину А связывают с функцией v(z), для чего определяют раз­ ность между длиной элемента ds изогнутой оси и длиной его проекции dz\ затем полученное выражение интегрируют по длине (рис. 2.13, а, б) .

Так как dz = \JdsL - ds1' « ds [1 - 0,5 (v')2 ], то Adz = 0,5 (v')2 dz и, следова­ тельно,

Из условий минимизации энергии (1.73) получают систему «линей­ ных алгебраических уравнений относительно неопределенных парамет­ ров dj. Затем находят критическую нагрузку из равенства нулю опреде­ лителя полученной системы уравнений —условия, аналогичного (2.17). Если параметр а один, то из выражения (1.73) непосредственно следует

I

I *[7 <

S)

Рис. 2ЛЗ. Схемы для определения критических сил энергетическим методом

Отметим, что критическая нагрузка, определяемая энергетическим методом, всегда получается завышенной (если, конечно, упругая кривая не оказалась выбранной точно).

При применении метода Ритца часто расчеты можно упростить, если за неопределенные параметры я,- принимать не пердмещения, а силы. В этом случае получаемые упругие кривые будут автоматически удовлет­ ворять граничным условиям и ’’учитывать” изменение момента инер­ ции по длине.

Поясним сказанное на примере определения критической силы для консоль­ ного стержня (см. рис. 2.13, а) . Задаваясь упругой кривой в виде ряда v = axz2 +

ше точного значения.

Решим эту же задачу с использованием силовых параметров а/. Прикладывая к свободному концу стержня неопределенную силу а (рис. 2.13, г ) , построим эпю­ ру моментов Ма и запишем уравнение упругой кривой: v = \a/(EJ) ](lz/2 —z3/6 ) .

= а215 / (15Е2Л ) . Используя зависимость (2.23), находим Ркр = l.SEJ/l2 Этот ре­ зультат решения задачи с одним силовым параметром совпал с результатом, полу­ ченным при применении двух кинематических параметров.

Устойчивость пластин. Стенки высоких балок, ребра жесткости и другие элементы сложных конструкций представляют собой прямо­ угольные пластины, в срединной плоскости которых могут действовать нормальные ох и оу и касательные г = тху = тух напряжения (рис. 2.14, а). Толщина этих элементов, определяемая из условий проч­ ности, может быть достаточно малой, поэтому их необходимо рассчиты­ вать на устойчивость. Местная потеря устойчивости пластины, как эле­ мента конструкции, может произойти раньше, чем наступит общая поте­ ря устойчивости конструкции в целом. Однако вследствие потери устой­ чивости элемента могут существенно перераспределиться усилия и воз­ никнет опасность потери общей устойчивости конструкции.

Методы расчета пластин на устойчивость те же, что и при расчете стер­ жней, только при этом определяют не критические силы, а критические напряжения.

Статический метод определения критических напряжений основан на решении дифференциального уравнения (1.142) изогнутой поверхности пластины, в котором выражение q(x, у) представляет собой фиктивную

Найдем значение акр для квадратной пластины (а = Ь), шарнирно опертой по краям, полагая т = п = 1. Подставив выражение w(x, у ) в уравнение (2.26), получим акр = 47т2D/ (hb2), что в 4 раза больше крити­ ческого напряжения для шарнирно опертой по двум краям пластины. Ха­ рактерно, что для длинных пластин (а > 2Ь) , шарнирно опертых по кра­ ям, критическое напряжение вычисляют по этой же формуле, так как изогнутая поверхность пластины состоит из участков, близких к квад­ ратным; при этом в каждых смежных участках образуются полуволны разных знаков (рис. 2.14, г ) .

Если по краям шарнирно опертой пластины действуют только каса­ тельные напряжения тху, то критическое напряжение сдвига при а > Ъ

можно определить по формуле, аналогичной (2.27):

где Л, « 5 ,3 4 + 4 (Ь/аУ

При комбинированном напряженном состоянии пластины крити­ ческие напряжения будут меньше, чем критические напряжения при раз­ дельных напряженных состояниях. Например, при совместном действии усилий сжатия, равномерно распределенных по краям х = 0 и х = д, и касательных усилий, равномерно распределенных по всем краям шар­ нирно опертой пластинки, формула для определения критических напря­ жений имеет вид

размеров и граничных условий при раздельном действии усилий сжатия и сдвига.

Из этого уравнения можно найти критические напряжения, если зада­ но отношение акр/ткр или одна из этих величин. При других комбина­ циях напряжений формулы, определяющие критические напряжения, бу­ дут иметь иной вцд [3].

Применение метода конечных разностей проиллюстрируем на приме­ ре пластины, сжатой в одном направлении. Запишем уравнение (2.26) в конечных разностях для узла ij квадратной сетки (см. п. 1.7.2):

(2.29)