книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

Г | М °Р[ *НМ] Г ж-ч

ж )

Рис. 1.46. Схемы для расчета плоской рамы методом перемещений

реакция направлена в сторону, противоположную соответствующему перемещению.

5. Решаем систему уравнений (1.98) и получаем Z x = 1 ,2/(£ /); Z2 = 2/(£У) м.

6. Строим в соответствии с выражением ( 1 .101) суммарную эпюру моментов Мр (кН • м) в заданной системе (рис. 1.46, з) .

7 . Производим универсальный контроль решения —проверяем рав­ новесие узлов и отсеченных частей (рис. 1.46, и). Эпюры Qp и Np в заданной сйстеме строятся по правилам, изложенным ранее (см. ме­ тод сил).

я

Рис. 1.48. Схемы для расчета симметричной рамы методом перемещений

симметрии. Естественно, будут также равны нулю все кососимметрич­ ные неизвестные.

при расчете рамы надо решать только два уравнения с двумя неизвест­ ными. На рис. 1.48, г - е построены единичные и грузовая эпюры мо­ ментов. Следует отметить особенность характера эпюры моментов на верхнем ригеле в первом единичном состоянии — она имеет прямо­ угольное очертание, так как построена от одновременного воздействия

парных углов поворота Z\ = 1.

Определив Т ц /2 = 6EJ/l\ г12/2 = 2EJ/J\ г2212 = \ \EJ/l\ R \p!2 =

эпюры внутренних сил в заданной системе.

1.6. МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

1.6.1. ОСНОВЫ МАТРИЧНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА

Общие понятая. В связи с широким использованием ЭВМ в инже­ нерной практике многие задачи расчета конструкций решаются в мат­ ричной форме. Благодаря использованию матричного языка изложение методов расчета получило более компактную форму, существенно упростилось программирование на ЭВМ и тд. Следует отметить, что при расчетах в матричной форме континуальная задача заменяется дискрет­ ной — значения искомой функции (усилий или перемещений) опреде­ ляются не для всех точек базиса, а лишь для узловых точек. На интерва­ ле между узловыми точками значение функции интерполируется.

Предполагая, что читатель знаком с матрицами и действиями над ними, напомним смысл матричных операций на простейших примерах.

Запишем принцип независимости действия сил в обычной форме:

из коэффициентов s.^ численно равен усилию 5/ от соответствующей безразмерной силы = 1.

В матричной форме эта формула записывается так:

Рп

Если необходимо вычислить не одно, а т усилий 5; от действия той же группы сил, то аналогично выражению (1.104) записывают:

Рис. 1.49. Схемы, поясняющие податливость и жесткость элемента

С учетом выражения (1.107) эту же формулу можно записать так:

“►т

Операция замены столбцов строками (и наоборот) называется транспонированием матрицы.

Матрицы податливости и жесткости системы. Квадратная матрица коэффициентов линейного преобразования, входящая в формулу (1.106), называется матрицей податливости:

Элемент бу матрицы D представляет собой перемещение точки / по направлению силы P j = 1 , вызванное действием единичной силы Pj. Так как 5 .. = 5.-, матрица податливости является симметричной. Отметим, что матрица (1.113) является невырожденной — ее опреде­ литель не равен нулю: Det D Ф 0.

Понятию податливость противостоит понятие жесткость. Например, для пружины (рис. 1.49, а) податливость 6 равна перемещению, выз­ ванному силой Р= 1, а жесткость г равна силе Р (рис. 1 .49, б) , вызываю­

Отметим, что уменьшение порядка матрицы податливости играет существенную роль при вычислениях на ЭВМ.

Если при расчете системы эпюры внутренних сил и податливостей непрерывны, то нет смысла дважды вписывать каждую их ординату на границах участков в соответствующих матрицах. Можно каждую орди­ нату в матрицах моментов вводить один раз, но при этом в блочной матрице податливостей наложить углами соседние блоки, т.е. сложить значения ’’пограничных” элементов. Например, при EJ = const и четырех участках одинаковой длины I. = d блочная матрица податливости соглас­ но выражению (1.126) будет иметь вид:

1

!л

Рассмотрим пример. Определим перемещение точки 4 балки переменного сечения (J0/Jz = 1 + z / 0 , нагруженной в узловых точках силами Р (рис. 1.50,а).

Вычислив узловые и промежуточные значения моментов Мр и М а также относи­ тельных податливостей о (рис. 1.50, б —г ) , запишем их в блочной форме и прове­ дем в соответствии с выражениями (1.119) и (1.120) вычисления. Учитывая при этом сложение пограничных элементов, получим:

P d 3

Мы рассмотрели матричную запись формулы Мора для определения переме­ щений при изгибе. При учете других деформаций матрицы описываются аналогично.

I Расчет статически неопределимых рам методом сил. Система кано­ нических уравнений метода сил в матричной форме описывается выра­ жением (1.87).

Рис. 1.50. Определение перемещения в мат­ ричной форме

При рассмотрении ряда комбина-

ций нагружений векторы X и D р заме­ няют на матрицы X и Dp :

А \рк

&2рк

&прк

где к - число рассматриваемых вариантов загружения.

При расчете системы на температурные или дислокационные воз­ действия надо в матрице Dp заменить индексы р на t или d.

Изложим порядок расчета статически неопределимых систем в мат­ ричной форме~на'примере плоской рамы, изображенной на рис. 1.51, а, 1. Выбираем основную систему (рис. 1.51, б) и составляем исходные матрицы М, М° и А, разбивая длины стержней по участкам, как это по­

казано на рис. 1.51, а, В соответствии с рис. 1.51 ,б - д получаем

Вматрице А первый блок, состоящий из одного элемента, относится

кучастку 0 - 1 (длиной /, см. рис. 1.51, а), второй —к участку 2 - 3 и третий —к участку 4 - 5 ,