книги / Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин

к)

6. Записываем систему канонических уравнений (1.83) в численном виде. После сокращения общих множителей получаем

- — * 1 + — Х 2 - — /> = о.

3 18 4

7.Определяем основные неизвестные Х\ из решения системы урав­ нений. Получаем^! = -2Р/3 и Х 2 = Р/2.

8.Строим в соответствии с формулой (1.81) суммарную (резуль­ тирующую) эпюру моментов Мр в заданной системе. Здесь Мр = М° +

+ A fi^j + А?2ДГ2 (рис. 1.39,ж).

9. Выполняем универсальный контрольно формуле (1.91) путем умножения эпюры Мр на любую из эпюр M i, М2 или Ms.

10. Строим эпюру поперечных сил Qp в заданной системе. Эпюру Qp можно построить в соответствии с формулой (1.81): Q. = QJlX l +

+ QJ2X2 + Q°jP или непосредственно путем дифференцирования эпюры Мр . Поскольку Q = dM/ dz, на каждом участке рамы длиной d

где Мп и Мп —значения моментов на правом и левом концах участка; q —интен­ сивность равномерно распределенной нагрузки на участке (если она есть) ; z - те­ кущая абсцисса с началом на левом конце участка.

Эпюра Qp для данного примера показана на рис. 1.39, з.

11.Строим эпюру нормальных сил Np в соответствии с формулой (1.81) или способом вырезания узлов (рис. 1.39,и).

12.Проверяем правильность построения эпюр Qp и Np, рассматри­ вая равновесие любой отсеченной части. В данном случае вырезаем ри­ гель рамы и прикладываем к нему внешнюю силу Х2 = Р/2 и внутренние

силы N и Q в местах разреза (рис. 1.39, к ) . Проектируя все силы на оси х и у, убеждаемся, что эти уравнения равновесия выполнены. Также равна нулю сумма моментов относительно любой выбранной точки.

Рассмотрим плоскопространственную раму, имеющую упругоподат­ ливую связь (рис. 1.40, а). Особенность расчета такой системы заклю­ чается в следующем. Единичные коэффициенты и свободные члены определяют, во-первых, с учетом кручения элементов рамы по форму­ лам, аналогичным (1.60), а во-вторых, с учетом податливости опор по

X ! = 0,1 Р. Результаты расчета показаны на рис. 1.40, б - ж.

При проведении универсального контроля следует учесть, что пере-

Рис. МО. Схемы для расчета плоскопространственной рамы методом сил

мещение АА зависит не только от деформации рамы, но и от деформа­ ции опорной связи, т.е.

Рекомендуем читателю убедиться самостоятельно в правильности полученного результата.

Рассмотрим особенности расчета шпренгельных балок (рис. 1.41, а) ; подобные системы являются расчетной схемой некоторых экскаваторов и кранов. Выбрав основную систему (рис. (1.41, б) и определив усилия в ее элементах от нагрузки и от единичных сил Х х = 1 (рис. 1.41, в - д ), найдем Aip по формуле (1.84) и 5 п по формуле (1.85), которая для данного случая имеет вид:

Отметим, что от действия нагрузки усилия в шпренгельных элемен­ тах основной системы не возникают, поэтому при определении свобод­ ного члена А1р учитывают лишь изгибающие моменты Мх и М°р .

Особенности расчета симметричных рам. В симметричных рамах ось Симметрий может либо перерезать элемент системы, либо совпа­ дать с ним. В любом случае основная система должна быть симметрич­ ной. Если в основной системе ось симметрии перерезает элемент, то ос­ новные неизвестные представляют собой парные симметричные и косо­ симметричные обобщенные силы. Симметричными являются продольные силы N и изгибающие моменты М, а кососимметричными —поперечные силы б, а в пространственных системах и крутящие моменты Л/кр. Основные неизвестные, приложенные в точках, не лежащих на оси сим­ метрии, можно сгруппировать в симметричные и кососимметричные составляющие.

На рис. 1.38, б изображена рама, ось симметрии которой перерезает ригель и проходит по средней стойке. На рис. 1.38, д и 1.42, а показана

Рис. М 3 . Схемы для расчета статически неопределимых систем при температурных и дислокационных воздействиях

Особенности расчета на температурные и дислокационные воздейст­ вия. При расчете статически неопределимых систем методом сил на температурные или дислокационные воздействия в системе каноничес­

ляют по формулам (1.62) или (1.64). Особенность расчетов заключается также в том, что при определении суммарных усилий Sj в выражении

рама отличается от ранее рассмотренной статически определимой рамы (см. рис. 1.34, а) наличием горизонтальной связи в точке В. Таким об­ разом, заданная система один раз статически неопределима; основное неизвестное определим из уравнения Х х = — Ди / 6 ц . Поскольку пере­ мещение Д 1* в основной системе (см. рис. 1.34, а) было ранее найдено (Дkt = Д j t = 595 а/) , здесь определим лишь коэффициент 5 ц . Умножая эпюру моментов Мх (см. рис. 1.34, б) саму на себя, получим E Jbn = = 5/3/3. Следовательно, Х х = S S l a E J /t 2 Умножая все ординаты

эпюры М на эту величину, найдем окончательную эпюру Mt в заданной системе (рис. 1.43, б). Выполняя универсальный контроль по формуле

Рассчитаем статически неопределимую ферму (рис. 1.43, в) на дис­ локационное воздействие. Пусть стержень 3 —4 выполнен короче расчет­ ной длины на (1/1000), т.е. дислокация d = -//1000. Основная система изображена ни рис. 1.43, г, там же даны значения усилий Nxот сил Х х = = 1 . По формуле, аналогичной (1.53), получим

тNU.

6 ц = 2 ---- — = — [4 + 2 ( - \ f ? ) 2 s fT ] l = 9,6S-./

Как видим, чем жесткость EF стержней на растяжение будет больше, тем больше будут усилия в стержнях системы.

1.5.3. МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Основы метода. Основная система метода перемещений получается из заданной путем введения (наложения) связей. Связи вводятся таким образом, чтобы система представляла собой совокупность сочлененных в узлах однопролетных балок с неподвижными концами. Вводимые связи, препятствующие повороту узлов, называют угловыми (’’плаваю­ щими заделками”, воспринимающими только момент), а связи, препят­ ствующие поступательным перемещениям, —линейными.

Чтобы преобразованная система была эквивалентна заданной в ки­ нематическом отношении, связям одновременно с их введением задают соответствующие угловые или линейные перемещения Z/; они являются основными неизвестными. Статическая эквивалентность согласно выра­ жению (1.79) достигается путем составления уравнений равновесия, каждое из которых выражает равенство нулю реакции во введенной /-й связи от действия нагрузки и основных неизвестных:

Число вводимых связей зависит от степени подвижности узлов, называемой степенью кинематической неопределимости - пк .

Узлы разделяют на шарнирные (рис. 1.44, а) и жесткие (рис. 1.44,5, в). И те и другие могут быть свободными и опорными. Свободный шарнирный узел может обладать лишь линейной подвижностью, а сво­ бодный жесткий узел обязательно обладает угловой подвижностью и может обладать линейной подвижностью. Степень кинематической неопределимости системы равна сумме степеней угловой (пу) и линей­ ной (лл) подвижности узлов:

Степень угловой подвижности пу плоской рамы равна числу свобод­ ных жестких узлов. Степень линейной подвижности пп равна числу независимых поступательных перемещений узлов системы и опреде­ ляются степенью изменяемости так называемой шарнирной схемы —

Рис. 144. Узлы системы

Сосредоточенная сила определяется из рассмотрения равновесия вырезанного ригеля, узлы которого получают линейное перемещение. К введенной /-й линейной связи прикладывают соответствующую реак­ цию, а к ригелю —поперечные (и нормальные) силы в сечениях примы­ кающих стоек, а также сосредоточенные внешние сил*>1 (если они есть); затем из уравнения статики XX = 0 находят искомую реакцию. Отме­ тим, что значения поперечных сил определяют в соответствии с табл. 1.1 или по формуле (1.93).

Описанный способ определения единичных и грузовых реакций называется статическим. Наряду с ним используют (в основном для контроля вычислений коэффициентов г.^) способ перемножения эпюр, согласно которому

вий следует учитывать, что температурное воздействие на стержень / можно представить в виде суммы двух воздействий: равномерного на­ грева (охлаждения) на t' °С и неравномерного нагрева на t" °С. От равномерного нагрева стержень / удлиняется, что приводит к пере­ мещению концов сопряженных с ним стержней (балок) и к действию в них изгибающих моментов М\. От неравномерного нагрева изгибаю­ щие моменты М'} возникают только в самом стержне /. Таким образом, Rit = R'it + R"it. При линейной дислокации реакции Rid определяют так же, как при равномерном нагреве.

Порядок и примерырасчета. Порядок расчета поясним на примере расчета плоской рамы (рис. 1.46, а).

1. Определяем степень кинематической неопределимости (степень подвижности узлов). Здесь пу = 1,лл = 1 и согласно выражению (1.97)

пК = 2 .

2. Выбираем основную систему с основными неизвестными (рис. 1.46, б). Задаем углы поворота по часовой стрелке, а линейные пе­ ремещения —слева направо.

3.Строим единичные и грузовую эпюры моментов, используя дан­ ные табл. 1.1 (рис. 1.46, в - д) (штриховой линией показано деформи­ рованное состояние элементов рамы).

4.Определяем единичные и грузовые реакции. Вырезая узлы, нахо­ дим моментные реакции (рис. 1.46, е), а вырезая ригели, т.е. смещаю­