262 |
Глава В. Метод конечных элементов |
5.Добавлеиие области. Теперь мы должны определить область приложения на
грузки. В нашем примере нагрузка будет прикладываться в том месте, где
откидная крышка соединяется с корпусом телефона. Эта область является ча
стью лицевой поверхности, поэтому мы должны задать часть этой поверх
ности. Область определяется кривыми, которые строятся непосредственно на
поверхности детали.
6. Приложенив нагрузок (случай 1). Первая ситуация состоит в том, что крышка
полностью открывается 11 прижимается вниз. Чтобы смоделировать эту си
туацию, мы приложим направленную вверх силу к верхней половине петель
и направленную вниз силу в узкой контактной области, где опускающаяся крышка касается корпуса телефона (рис. 8.37). Суммарная нагрузка состав ляет О,1 Н в направлении х и -0,2 Н в направлении z в контактной области и 0,2 Н в направлении z в области шарниров. Система самостоятельно рассчи
тывает распределенную нагрузку при указании суммарной силы, действую
щей на какой-либо участок (рис. 8.37).
7. Пршюжеиие иаzрузок (случай 2). Вторая ситуация состоит в том, что крышка
открывается и поворачивается. Мы имитируем эту ситуацию заданием на грузки, изображенной па рис. 8.38. В этом случае величины действующих сил
одинаковы и равны 0,2 Н, но направления их действия противоположны.
Рис. 8.37. Нагрузки и граничные |
Рис. 8.38. Нагрузки и граничные |
условия для первой ситуации |
условия для второй ситуации |
8.Оцеика сетки. Теперь система может построить сетку конечных элементов (рис. 8.39). Размер элементов может быть задан двумя способами. Глобаль
ные параметры сетки - это максимальный и минимальный размер элемента
во всей модели. Локальные параметры сетки - максимальный и минималь ный размер элемента на ребре, поверхности или в окрестности точки. На
практике удобно бывает построить сетку без задания конкретных значений
параметров и изучить результат, который может послужить хорошей отправ
ной точкой. Затем при необходимости можно присnоить параметрам нужные
значения и повторить процесс построения.
264 |
Глава 8. метод конечных элементов |
|
|
|
ных элементов. После выполнения анализа можно изучить ero результаты
распределения напряжений и смещений (рис. 8.41). Результаты совпадают с
нашими интуитивными предположениями о том, что напряжения будут мак симальньi в области крепления крышки к корпусу.
8
б
Рис. 8.41. Результаты анализа: 8 - распределение напряжений для случая 1;
6 - для случая 2
Вопросы и задачи
1.Представьте, что вы должны спроектировать и выпустить подвесной кронштейн. Сначала вам нужно построить модель, рассчитать распределение смещенцй и
Глава 9
Оптимизация
Оптимизация, как мы говорили в главе 1,- это один из этапов процесса разра ботки, то есть часть жизненного цикла продукта, а потому технологии оптимиза
ции также относят к средствам автоматизиров'анного проектирования. В прин
ципе, весь процесс проектирования можно считать оптимизацией, потому что в
этом процессе создается несколько альтернативных проектов, из которых nьtби
рается один лучший. Это утверждение становится верным, если понимать слово
•оnтимизация• в очень широком смысле. Однако обычно под оптимизацией по нимается не выбор одной из нескольких альтернатив (таких, например, каt< за
клепка, болт и скоба), а скорее, выбор оптимального размера одной из них (на
пример, заклепки). Понимаемая в этом смысле оптимизация уже является
частью процесса проектирования, а не самим этим процессом.
9.1. Постановка задачи
Оптимизация конструкции требует ее параметризации, дающей возможность
рассматривать альтернативные конструкции, изменяя значения параметров. На
пример, при разработке цилиндрического сосуда для хранения газов под давле нием параметрами были бы средний диаметр, толщина, высота и используемый
материал. Различные наборы значений параметров будут давать разные сосуды.
В зависимости от ситуации некоторые параметры могут не иметь степеней сво
боды из-за ограничений. Например, у нас может быть только один материал, так что для оптимизации сосуда остались бы только средний диаметр, толщина и высота. Мерой качества сосуда может быть максимально допустимое давление,
поделенное на вес. Средний диаметр, толщина и высота будут варьируемыми параметрами конструкции. Можно попытаться найти оптимальное сочетание па
раметров, которое приведет к максимальному значению показателя качества.
Показатель качества может быть выражен в виде функции параметров, если мы
воспользуемся знаниями, полученными при изучении сопротивления матерliа
лов. Оптимизируемые параметры называются переметtы.ми оптимизации (optimization variahles), а показатель качества, вычисляемый по этим переменным,
называется целевой фуикцией (objective function). Очевидно, что переменные оп тимизации и целевая функция выбираются конструктором в соответствии с тем,
для чего предназначается его творение.
Оптимизацию конструкции можно описать на математическом языке. Обозlfа
чив переменные оптимизации символом Х (п-мерный вектор, компонентамi'II<о
тороrо являются переменные оптимизации), а целевую функцию символом f(X.), мы можем записать задачу просто: минимизировать (максимизировать) f(X.).
9.1. Постановка задачи |
269 |
Однако реальный процесс оптимизации от этого не упростится. Очень редко по казатель качества задачи может быть выражен одной-единственной целевой
функцией. Чаще всего приходится выбирать между разными показателями или
строить объединенный показатель с какими-либо весовыми коэффициентами. Этот процесс называется построением сложиой целевой футщии (coтposite objective function ). Мы можем использовать некоторые показатели качества как
ограничения. Например, вместо того чтобы максимизировать допустимое давле ние на единицу веса и внутренний объем сосуда одновременно, мы можем огра
ничить объем некоторым минимальным значением, а максимальности потребо
вать только от давления на единицу веса. В этом случае ограничения придется
каким-то образом включить в математическую формулировку задачи (ниже мы
покажем, как это делается).
Можно ожидать, что в большинстве случаев переменные оптимизации будут иметь
ограниченную область определения. Например, высота сосуда не может превы
шать определенного значения из-за ограниченности высоты помещения. Поэто
му вектор Х должен удовлетворять определенным требованиям. Компонентами
вектора, разумеется, являются переменные оптимизации. Проект, удовлетворяю
щий всем требованиям, называется приемле.мым (jeasiЬle design или acceptaЬle design). Ограничение, задающее верхнюю или нижнюю границы области опре
деления переменной оптимизации, называется ограиичением области (regional constraint или side constraint). Ограничение, выведенное из явного рассмотрения функционального требования или показателя качества, называется функцио
налыtьtм, или поведеическим, ограничеиием (junctional, behavior constl·aint).
С учетом ограничений простая ·задача оптимизации может быть записана сле
дующим образом: найти
х· е Rn, такой что |
F(X•) =minF(X) |
(9.1) |
при условии, что |
|
|
Х1 :5:: х· :5:: Хи; |
(9.2) |
G;(X·)~O i=1,2, ... ,т;, |
(9.3) |
Hi(X.)=O |
j=1,2, ... q, |
(9.4) |
гдет-количество ограничений-неравенств, а q- количество ограничений-ра
венств. Знак неравенства в формуле (9.3) может быть заменен на противопо ложный, если условия G; выражены через отрицания. Символ Rn обозначает про
странство конструкций, получаемое варьированием всех переменных оптимизации.
Ограничения области, наложенные на переменные оптимизации, записаны в уравнении (9.2), где Х1 и Хи - нижний и верхний пределы переменных опти
мизации соответственно. Обратите внимание, что функциональные ограничения
могут быть записаны как в виде равенств, так и в виденеравенств ((9.3) и (9.4)).
Задача оптимизации, выраженная через максимизацию целевой функции, легко
преобразуется к задаче минимизации инвертированием или отрицанием исход ной целевой функции.
Целевая функция F(X) в формуле (9.1) может быть интерпретирована как урав нение поверхности размерности n в пространстве n + 1 переменных. Для задач с
двумя переменными оптимизации такую поверхность легко представить в обыч-
ном трехмерном пространстве. Координата z точки поверхности - это значение
целевой функции, соответствующее координатам х и у, подставленным вместо
параметров. Процесс оптимизации можно, таким образом, сравнить с восхожде
нием на гору в плотном тумане [149]. Альпинист может определить свою высоту при помощи альтиметра и смотреть вокруг себя, выбирая направление подъема или спуска, но не может обнаружить хребты и провалы, затрудняющие продви жение по маршруту. Ему приходится следить и за тем, чтобы не свалиться в про пасть, что эквивалентно нарушению ограничений в формулах (9.2)-(9.4).
9.2. Ограничения
Большинство задач оптимизации ставятся вместе с ограничениями, о чем гово
рилось в предыдущем разделе. Ограничения могут быть трех типов. Ограниче
ния первого типа задают область определения переменных оптимизации. Эти ог раничения легко выполнить, потребовав, чтобы в процессе поиска переменные
не выходили за установленные рамки. Ограничения второго типа - равенства -
сокращают размерность пространства решений. Лучшим методом обработки этих
ограничений является исключение переменных алгебраическим путем. Однако
метод исключения переменных применим только до тех пор, пока уравнения ог
раничений допускают решение относительно независимых переменных. При на
личии нескольких ограничений процесс исключения может стать достаточно
громоздким. В некоторых случаях явное решение уравнений может оказаться
невозможным. Альтернативой является использование штрафных функций
(penalty function), о которых речь пойдет ниже [6].
К третьему типу относятся оrраничения-неравенства. Стандартный подход к зада чам оптимизации с такими ограничениями состоит в том, чтобы изменить целевую функцию для учета влияния этих ограничений. Целевая функция модифициру ется добавлением штрафной функции, увеличиваюшей ее на большую величину при нарушении ограничений. Идея всех методов штрафных функций проста: при нарушении ограничения к целевой функции добавляется бесконечно большое
число, в противном случае (ограничение не нарушено) целевая функция остает
ся прежней. Следовательно, штрафную функцию Р(Х) можно определить так:
Р(Х)={ О, |
Х еR~; |
(9.5) |
+оо, |
Х ~ R1, |
|
где Rj -подмножество Rn, соответствующее только допустимым конструкциям, то есть таким, которые удовлетворяют всем ограничениям. Теперь мы можем без
ограничений решать задачу минимизации дополиетюй целевой футщии, или
футщии спуска (descent function) D(X):
Однако оптимизация без ограничений в данном случае невозможна (за исклiоче нием, быть может, некоторых тривиальных случаев) из-за разрывов в D(X) на границе Rj, а также бесконечности значений вне Rj. Замена бесконечност11 на
•большой•, но конечный штраф не упростила бы задачу, поскольку все равно ос тались бы численные трудности. Для решения этих проблем предложено было
использовать две штрафные функции: внутреннюю и внешнюю.
9.2.1. Внеwние wтрафные функции
Виешиие штрафиые футщии используются для решения уравнения (9.1). Метод подразумевает использование задач на минимизацию без ограничений, опти мальные решения которых стремятся к решению уравнения (9.1) извне области допустимых конструкций. В последовательности задач на оптимизацию без ог
раничений на каждое значение Х 11!: Rj накладывается штраф, в результате чего
оптимальное значение стремится к области допустимого.
В качестве аппроксимации штрафной функции из уравнения (9.5) можно пред
ложить приведеиную ниже функцию, учитывающую ограничения в виде ра
венств И неравенств:
|
S(X)= LБ;IG;(X)Ia + :L11lj(X)IP, |
(9.7) |
где |
i |
j |
|
|
|
|
Б. |
={0, |
Gi (Х) ~О; |
(9.8) |
1 |
1, |
Gi(X) <0. |
|
Ограничения а. и 13 обычно имеют значения 1 и 2, а функции G; и Н; взяты из |
уравнений (9.3) и (9.4). Обратите внимание, что |
|
S(X) =0 |
х Е R'j; |
(9.9) |
S(X) >0 |
Х Е R'j. |
(9.10) |
Для произвольнога положительного числа дополненная целевая функция мо жет быть определена как
1 |
S(X). |
(9.11) |
D(X,p) =F(X) rt-- |
р |
|
|
Заметьте, что D(X, р) =F(X) тогда и только тогда, когда Х соответствует прием лемому проекту, в противном случае D(X, р) > F(X). Слагаемое S(X)/ р аппрок
симирует разрывную функцию Р(Х) из уравнения (9.5) при стремлении р -+ О.
Итак, метод внешней штрафной функции состоит в решении последовательно
сти неограниченных задач на оптимизацию при k =О, 1, 2, ...:
minD(X,pk)=miн[F(X)+PJ~Б;IG;(X)Ia+ tiHi(X)IP)] |
(9.12) |
1 |
|
при строго уменьшающейся последовательности положительных чисел Pk· Оп
тимальные значения Xk для Pk будут сходиться к настоящему оптимуму х· при
увеличении k и приближении Pk к нулю. Эту сходимость мы подтвердим приве
деиным ниже примером.
Пример9.1
Найти минимум функции F(x) = х2 (х Е R) при условии х- 1 ~О. Оптималь
ное решение очевидно: х· =1, поэтому нам нужно тольiш показать, что решение,
полученное методом внешних штрафных функций, стремится к тому же числу.
Решение Построим дополненную целевую функцию, используя выражение (9.12) с а. =2.
Мы получим задачу оптимизации без ограничений: |
· ' |
