книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

Следующий шаг - создание ячеек сетки и распределение узлов. Когда каждой

ячейке сопоставляются узлы, она становится конечным элементом. Построение сетки является важнейшим и сложнейшим этапом моделирования.. Для упроще­

ния этой задачи практически все системы на сегодняшний день предлагают те

или иные функции автоматизации. Наиболее типично использование тетраэдри­ ческих элементов для объемных тел и четырехугольных или треугольных эле­ ментов для трехмерных поверхностей, оболочек и двухмерных объектов. Многие

системы предоставляют пользователям возможность изменять параметры ·авто­

матически формируемых сеток, в частности плотность ячеек. Кроме того, в та­

ких системах обычно имеются функции ручного локального редактирования, по­ зволяющие уточнить сетку в критических областях. Многие системы связьцзают

сетку с геометрической моделью, так что изменение последней автоматически

влечет за собой изменение первой.

От сложности сетки зависит размер глобальной матрицы жесткости, численная сложность задачи и объем требуемых вычислительных ресурсов. Точность реше­

ния можно повысить увеличением количества ячеек или использованием функ­

ций формы более высоких порядков. Конечные элементы должны удовлетворять определенным требованиям. Во-первых, размерность элементов должна совпа­ дать с размерностыо области задачи. Для одномерных задач используются одно­

мерные элементы, для двумерных - двумерные, и т. д. Во-вторых, конечные эле­

менты должны поддерживаться выбранной программой FEA. Другими словами,

программа должна уметь рассчитывать вклад конкретного элемента в матрицу

жесткости. Все элементы, поддерживаемые пакетом анализа, составляют его биб­

лиотеку (element libmry). Чем больше элементов в библиотеке, тем большее число

задач может решать программа. Наиболее типичные конечные элементы, под­

держиваемые большинством программ анализа, демонстрирует рис. 8.7. Обрати­

те внимание, что одна и та же ячейка может становиться элементами разных ти­

пов в зависимости от количества узлов на ее границах. Наконец, в зонах, где

ожидаются резкие изменения неизвестных (напряжения, например, сосредо­ точиваются в окрестностях отверстий), плотность узлов и ячеек должна быть

выше, чем в областях с плавным изменением параметров.

Другой подход к решению проблем формирования сетки предлагает р-версия ко­ нечноэлементного анализа. Р-версия использует простые сетки, формируемые

автоматическими методами, но зато в этой версии может изменяться степень

функции формы (также автоматически). Существует достаточно много про­ грамм FEA. поддерживающих р-версию анализа, но только две программы были

разработаны специально для этой версии: Pro/MECHANICA фирмы РТС и

PolyFEM фирмы CADSI. Преимущества этого подхода не ограничиваются про­

стотой сеток. Р-версня позволяет задавать конкретные ограничения на точность,

а также лучше аппроксимировать геометрические модели из программ CAD.

Низкий уровень точности позволяет конструктору быстро получить результаты

анализа на предварительном этапе разработки.

За выбором элементов следует задание типа анализа (статический или динами­

ческий, линейный или нелинейный, анализ деформащtй, напряжений и т. д., как уже отмечалось). С каждым узлом связываются неизвестные или степени свобо­

ды. К неизвестным относятся смещения, повороты, температура, тепловые пота-

Для кажДого элемента обязательно задание свойств материала. Обычно эти па­

раметры включают модуль Юнга и коэффициент Пуассона (для задач строи­

тельной механики). Толщина оболочек и пластин рассматривается скорее как свойство материала, чем как геометрический параметр, что позволяет избежать перехода к трем измерениям. Для задач других типов могут быть заданы тепло­ емкость или вязкость. Разные элементы могут иметь разные свойства, благодаря чему пользователь может анализировать составной объект, о чем уже говорилось выше. Основные сложности в описании составных объектов возникают при за­

дании интерфейсов.

Полностью определенная конечноэлементная модель со всеми параметрами пе­

редается программе анализа. Решенная задача подготавливается к исследованию

постпроцессором. Большинство пакетов позволяют вычислять различные пара­

метры, выводить их в виде таблиц или графиков. Чаще всего требуется вывод

данных о деформациях, напряжениях и изменении формы. Для этой цели тради­ ционно используются контурные графики, на которых распределение парамет­

ров кодируется различными цветами непосредственно на изображении объекта.

Большинство пакетов уже ушли довольно далеко от столь примитиnной графи­ ки. Пользователь современной системы может выводить на экран изоповерхно­

сти (поверхности с постоянными значениями какого-либо параметра) или попе­ речные сечения. Для динамического анализа удобно наличие средств анимации,

позволяющих· проводить нелинейвый анализ временной эволюции систем. Все

более возрастает потребность в выводе графиков и роликов в форматах, пригод­

ных для использования в других программах, документах, презентациях и Сети.

8.4. Автоматическое построение сетки

Построение сетки подразумевает определение положения узлов и элементов, а также автоматическую нумерацию узлов и элементов с минимальным объемом вводимых пользователем данных. Предполагается, что методы полностью авто­

матического формироваиия сетки (jиlly autoтatic тesh generation) требуют толь­

ко задания геометрической модели (геометрии и топологии) объекта, подлежа­

щего разбиению на элементы, свойств сетки, таких как плотность ячеек и типы

элементов, а также граничных условий, включающих внешние нагрузки. Мето­

ды, не входящие в эту категорию, могут требовать ввода дополнительных дан­ ных, в частности разбиения объекта на несколько частей. Такие методы считаются полуавтоматическими. В этом разделе мы кратко расскажем о методах форми­

рования сеток, используя схему их классификации, предложенную Хо-Ли [70].

В отдельных местах мы будем воспроизводить его дословно и приводить иллю­ страции без изменений.

8.4.1. Соединение узлов

Чрезвычайно популярный подход к проблеме построения сетки состоит в соеди­ нении узлов. Популярность этого подхода объясняется простотой его концеп­ ции. Метод делится на две основные фазы: создание узлов (рис. 8.8, а) и по­ строение элементов (рис. 8.8, б).

Рис. 8.1 О. Соэдание узлов методом Шимады

Построение элементов

На этом этапе осуществляется соединение узлов, в результате чего получаются

элементы, которые не должны перекрьшаться, но должны покрьшать всю nло­

щадь объекта. Мы рассмотрим метод Ли, который может давать четырехуголь­

ные элементы. Однако наиболее популярным методом соединения узлов является

метод триангуляции Делоне. В нижеследующем рассмотрении мы будем учиты­

вать только те элементы, у которых узлы находятся в вершинах. Если задача тре­

бует использования элементов с промежуточными узлами, их легко можно по­ строить по элементам с узлами в вершинах. Поэтому мы не будем исследовать

промежуточные узлы во всех описываемых ниже методах.

ОМетод Ли [98]. Согласно этому методу, на объект накладывается квадратная сетка, размер ячеек которой соответствует ожидаемому размеру элементов.

Затем узлы, полученные на предыдущем этапе, связываются с ячейками этой

сетки. Ячейки и соответствующие им узлы перебираются по столбцам слева

направо и сверху вниз. Внутри ячейки узлы упорядочиваются по возраста­

нию абсцисс. Узлы с одинаковыми абсциссами сортируются по возрастаtшю ординат. Узлы перебираются последовательно, причем из соседних узлов вы­ бираются такие, с которыми данный узел образует «хорошиЙ>> четырехуголь­

ник. Если же четырехугольник оказывается <<плохим>>, вместо него формиру­

ется треугольник.

О Триангуляция Делоие [155]. Это, пожалуй, наиболее популярный метод фор­

мирования треугольников путем соединения узлов, посiюльку он максимизи­

рует сумму наименьших углов во всех формируемых треугольниках. Иначе

говоря, данный метод триангуляции ориентирован на то, чтобы по возможно­

сти избегать формирования узких треугольников.

Триангуляция Делоне обычно начинается с диаграммы Вороного или полигонов Дирихле [57]. Диагра.шtа Вороиого (Voronoi tliagram) множества N точек Р; (i:::: 1, 2, ..., N) состоит из N многоугольников (многогранников, если задача решается в трех измерениях) V;, центры которых находятся в точках Р;, причем многоуголь­ ники эти представляют собой геометрическое место точек, для которых данный

узел i является ближайшим. Математическая запись этого утверждения относи­

тельно многоугольника V; выглядит следующим образом:

(8.45)

Многоугольник (многогранник) V; является выпуклым. Он ограничивается пря­ мыми (плоскостями), проходящими через середины отрезков, соединяющих

окружностей для трех узлов [30]. Однако в трехмерном случае триангуляllИЯ

Делоне может давать очень узкие тетраэдры, тогда как в двухмерном случае ал­

горитм обеспечивает в некотором смысле оптимальную триангуляцию данного

набора точек.

8.4.2. Топологическое разбиение

Метод топологического разбuе1tuя (topology decoтposition approach) для двумер­

ного случая был разработан Ворденвебером [160]. Согласно этому методу объект

аппроксимируется многоугольником, который, в свою очередь, разбивается на

множество крупных элементов (gгoss elements) соединением его вершин до по­

лучения треугольников (рис. 8.13, а). Затем крупные элементы разбиваются на

более мелкие до тех пор, пока не будет достигнута желаемая плотность ячеек сетки (рис. 8.13, 6). Размеры и форма элементов в данном алгоритме не могут

быть заданы пользователем, поскольку крупные элементы зависят только от ис­

ходной топологии объекта, в частности от распределения вершин. Вершины, от­ носящиеся к одному крупному элементу, могут быть найдены методом триангу­

ляции Делоне, описанным в предыдущем разделе.

Рис. В. 13. Топологическое разбиение

Для формирования набора треугольников по исходным вершинам Ворденвебер

разработал операторы, аналогичные операторам Эйлера, применяемым в объем­ ном моделировании. Первый оператор Ворденвебера OPj применяется к объекту для удаления имеющихся в нем отверстий (рис. 8.14). Затем по вершинам объек­ та строятся треугольники, которые отделяются от объекта рекурсивным приме­ нением оператора ОР1, пока вершин не останется всего три. Последний тре­

угольник строится оператором ОР2.

После преобразования объекта в набор крупных треугольников осуществляется их детализация, позволяющая достичь требуемой плотности сетки. Детализация может быть проведена тремя методами (рис. 8.15). На рис. 8.15, а показан метод, применяемый в том случае, если два узких треугольника имеют общую длинную сторону. На общей стороне создается еще один узел, после чего соседние тре­ угольники делятся на части путем соединения их вершин с новым узлом. На рис. 8.15, б показано, как большой треугольник делится путем добавления ново­

го узла в его центре тяжести. В результате деления перечисленными двумя мето­

дами может получиться так, что узкие треугольники, уже отвечающие требова­ ниям к плотности сетки, будут иметь общую сторону (рис. 8.15, в). В этом случае качество сетки может быть повышено благодаря использованию второй диагона­ ли четырехугольника, образуемого вершинами двух исходных треугольниi<ов.

Учтите, что результат анализа методом конечных элементов может быть недос­ таточно точным, если в сетке будет слишком много узких треугольников.

ОР1

~

ОР2

~

Рис. В. 14. Операторы выделения треугольников

ф Транспонирование

диагонали

~

в

Рис. 8.15. Методы улучшения треугольников

Метод топологического разбиения может быть обобщен на трехмерный случай. Объект аппроксимируется многогранником, который разбивается на тетраэдри­

ческие элементы путем последовательного соединения вершин. Затем тетраэд­

рические элементы измельчаются делением на более мелкие тетраэдрические

Линия возможного деления

Рис. В.17. Деление по линии

Рис. В. 1В. Пример построения сетки рекурсивным методом

Описанный метод может быть обобщен на трехмерный случай. Объект делится на два объемных тела по плоскости лучшего сечения до тех пор, пока все подобъ­

екты не превратятся в тетраэдры. В отличие от двумерного случая, где в резуль­

тате рекурсивного деления может получиться четырехугольник, в трехмерном

случае невозможно получение шестигранников непосредственно в результате

рекурсивного деления. Однако при желании можно разбить каждый тетраэдр на

четыре шестигранника (кирпичика).

8.4.4. Решеточные методы

Решеточиые .методы (grid-based appmaches) основаны на том, что решетка вы­ глядит подобно сетке и может быть nреобразована в последнюю при условии, что ячейки сетки вдоль границ объекта будут превращены в элементы. В общем

случае более мелкая решетка дает сетку лучшего качества, поскольку в такой ре­

шетке доминируют внутренние ячейки nравильной формы. Разновидности ре­

шеточных методов отличаются друг от друга главным образом методом создания

граничных элементов.

По всей видимости, первым решеточным методом был метод Такера и его кол­

лег [150]. Согласно этому методу на объект накладывается треугольная решетка,

причем все точки решетки, оказьшающиеся вне объекта, удаляются, в результате

чего получается зигзагообразная граница. Точки на этой границе перемешаются на границу объекта, что дает готовую сетку. Кикучи [84] расширил этот метод

для создания сеток, состоящих главным образом из четырехугольников, однако

содержащих некоторое количество треугольников. Он использовал прямоуголь­

ную решетку (рис. 8.19). Одним из недостатков обоих методов является исчезно­

вение мелких дет<1лей, размеры которых сравнимы с расстоянием между линия­ ми решетки. В других методах точки на границе решетки не перемешаются на