книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

Глава 7

Представление поверхностей

и работа с ними

Системам геометрического моделирования приходится хранить уравнения кривых

(или эквивалентные характеристические параметры) для всех ребер и уравнения

поверхностей (или эквивалентные параметры) для всех граней. Полезно знать, какими бывают уравнения поверхностей и какими параметрами они характери­

зуются. Мы говорили, что для реализации булевских операций необходимо рас­

считывать точки пересечения кривых. В системах поверхностного моделирова­

ния с той же целью приходится определять кривые, по которым пересекаются

поверхности. Например, если поверхность в процессе моделирования отсеi<ается

другой поверхностью, это требует вычисления кривой, по которой они пересека­ ются. Эта задача требует вычисления координат точек на поверхностях, а также

производных в этих точках. В настоящей главе мы коротко рассмотрим различ­

ные типы уравнений поверхностей и методы работьr с ними: методы вычисления

координат, дифференцирования и обработки пересечений. Все эти вопросы рас­

сматриuаются более подробно в книгах по вычислительной геометрии [9, 49, 48,

129, 72, 112].

7.1. Типы уравнений поверхностей

Уравнения поверхностей, как и уравнения криuых, делятся на два основных типа. К первому типу относятся параметрические уравиеиия, связывающие значения

координат х, у и z со значениями параметра. Ко второму относятся иепарамет­

рические уравиеиия, связывающие координаты х, у .и z непосредственно друг с

другом какой-либо функцией. Поясним эти определения на простом примере.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат. Параметрическое

уравнение этой сферы будет иметь вид:

P(u,v) = Rcosu cosv i + Rsinи cosv j + Rsinv k;

(7.1)

(О~ и ~ 2n, -л 1 2 ~ v ~ 1t 1 2),

или

Уравнение (7.2) называется иеявиы.м иепараметрuческим, а уравнение (7.3) -

явным иепараметрическим.

У каждого типа уравнений есть свои преимущества и недостатки, но мы бу­

дем рассматривать только параметрические уравнения. Как отмечалось в гла­

ве 6, параметрическое уравнение позволяет эффективно вычислять точки на

поверхности или кривой, отстоящие друг от друга на небольшие расстояния, что облегчает интерактивное отображение объекта и работу с ним. Это одна

из главных причин, по которым параметрические уравнения используются

для представления поверхностей в большинстве систем автоматизированного

проектирования1•

7.2. Билинеймая поверхность

Билиuейиая поверхиостъ (Ьilinear sшface) строится по четырем заданным точкам

и описывается линейными уравнениями с параметрами и и v. Эти точки ока­

зьшаются в углах построенной поверхности. Мы обозначим их буквами Р0,о, Р1,0, Р0.1, Рц (рис. 7.1). Вывести уравнение билинейной поверхности - это значит

найти выражение для координат произвольной точки по значениям параметров

и и v. Предположим, что эта точка делит отрезок [Р0,,,,Р1,.,] в отношении и:(1 -и) (рис. 7.1). Точки Р0,,, и P1.v делят отрезки Р0.0Р0.1 и Р1.0Р1.1 соответственно в отно­

шении v:(1 - v). Определенная таким образом точка Р(и,r1) будет перемешаться

по всей поверхности при изменении параметров и и v от О до 1. С учетом сделан­ ных предположений координаты точек Р0.,, и Р,,,, запишутся следующим образом:

Рц

--------п

1- v

и

v

v~~----­

Poo __.

. и

Рис. 7. 1. Билинейная поверхность и ее опорные точки

1 Кривые, по которым пересекаются поверхности, в некоторых случаях бывает удобно рас­

считьшать, представляя о;щу из этих поверхностей параметрическим уравнением, а дру­

гую - непараметрическим. Поэтому в некоторых снетемах могут использовап.ся и

непараметрические уравнешtя поверхностей, хотя и не как основноlt тип уравнений для

хранения сведений о кривых. В этом случае возникает потребность в 11роцедуре преобра­

зования из параметрической формы в непараметричсскую и обратно. Такое преобразова­ ние рассматривается в работе [69].

Подставовка уравнений (7.4) и (7.5) в (7.6) даст нам приведеиное ниже уравне­ ние билинейной поверхности:

Р(и,v) = (1-и)[(1-v)Р0,0 + vP0,1 ] +и [(1-v)P1.0 + vP~,~] =

Мы можем убедиться, что заданные точки расположены по углам билинейной поверхности, подставив соответствующие комбинации нулей и единиц в уравне­

ние (7.7). Это уравнение говорит нам также о том, что билинеймая поверхность представляет собой сопряжение угловых точек при помощи функций сопряже­ ния (1 - и)(1 - v), и(1 - v), (1 - u)v, uv. Из-за того что эти функции сопряжения

линейны по соответствующим параметрам, билинеймая поверхность обычно

оказывается плоской.

7.3. Лоскут Куна

Сопряжение углов дает билинейную поверхность. Сопряжение граничных кри­

вых произвольной формы дает поверхность, называемую лоскутом. Куна ( Coon 's patch). Слово 4:Лоскут» указывает на то, что описываемая поверхность представ­

ляет собой сегмент, соответствующий значениям параметров О :5: и :5: L О :5: v :5: 1.

Комбинирование лоскутоn позволяет образовать поверхность произвольной

формы и размера.

Уравнение лоскута Куна выводится следующим образом. Предположим, что нам

известны уравнения четырех граничных кривых: P 0 (v), Р1 (v), Q0(и) и Q1 (и)

(рис. 7.2). Предположим также, что направление кривых Q0(и) и Q1 (и) совпада­ ет (на рис. 7.2 эти кривые направлены вправо, что обозначено стрелкой). То же

предположение мы выскажем и относительно P 0 (v) и Р1 (v).

Рис. 7.2. Граничные кривые, определяющие лоскут Куна

Если граничные кривые не удовлетворяют этим требованиям, вам придется вы­

полнить преобразование их к описанному выше виду. Направление и интервал

изменения параметра легко изменить юшерсией или масштабированием [120].

где функции сопряжения F1, F2, F3 и F4 определяются следующим образом:

F1 (и)= 1-Зи2 + 2и3 ;

F2(и) = Зи2 -2и3 ;

(7.19)

F3(и) =и -2u 2 +и3 ;

F4(и)=-uz +из

Это те же функции сопряжения, что и n уравнении эрмитоnой кривоi:i. Вообще говоря, уравнение (7.18) представляет собой попросту расширение уравнения

эрмитовой кривой для описания поверхности. Уравнение (7.18) может быть

редуцировано до уравнения кривой путем подстаноnки конкретного значения

одного из параметров, например v = v0 • Произведение последних двух матриц в

правой части уравнения (7.18) дает вектор-столбец. Это умножение может быть

интерпретировано следующим образом. Первая строка дает уравнение левой

граничной кривой между Р(О,О) н Р(О,1), а вторая строка дает уравнение правой

граничной кривой между Р(1,0) и Р(1,1) (рис. 7.3). При подстапоnке конкретно­

го значения v0 первые две строки дают нам I<онечные точки А и В. Последние две

строки столбца для v = v0 задают nекторы касательных в направлении и в точках

А и В. Последнее утверждение мы проверим позже. Следовательно, уравне­

ние (7.18) представляет собой объединение уравнений эрмнтовых кривых, соот­

ветствующих разным значениям v. Граничные кривые, определяемые условиями v =О и v = 1, будут эрмитовыми кривыми. АналогичнЫ!\! образом можно пока­ зать, что и граничные I<риnые для и = О, и = 1 тоже будут эрмитовыми.

Рис. 7.3. Изопараметрическая кривая v = v0

При попытке воспользоваться уравнением (7.18) мы столкнемся с проблемой за­

дания векторов кручения, влияние которых на форму поверхности не является

интуитивно понятным. Иногда для простоты нм присnаивают нулевые значения.

Получаемая таким способом поверхность называется лоскутом Фергюсона или

F-лоскутом (Ferguson 's patch или F-patch). Поскольку нулевые nекторы кручения

делают поверхность более плоской, F-лоскут не может использоваться для моде­

лирования поверхностей с большой кривизной. Однако он хорошо описывает поверхности с нулевой кривизной по крайней мере в одном направлении во всех

точках.

Покажем теперь, как векторы кручения влияют на форму внутренней области поверхности. Если мы сможем показать, что векторы кручения определяют фор­ му изопараметрической кривой .v = v0 на рис. 7.3, мы сможем утверждать, что эти векторы влияют на любую внутреннюю изопараметрическую кривую, а значит, и

на всю внутреннюю область лоскута. Точки А и В определяются граничными

кривыми - эрмитовыми кривыми, которые не зависят от векторов кручения.

Следовательно, мы должны показать, что векторы касательных в точках А и В

определяются векторами кручения. Сделаем это, продифференцировав уравне­

ние (7.18) по параметру и:

G 4 (v)

Обратите внимание, что произведение второй и третьей матриц мы записали в

виде вектора-столбца с элементами G 1(v), G2(v), G3(v), G4(v). Чтобы вычислить производную по и в точке А, мы должны подставить в уравнение (7.20) значения и= О, v = v0• Подстановка и= О в вектор-строку делает ее равной [О О 1 0], благо­ даря чему получается, что Pu(A) = G 3 (v0 ). Поскольку G3(v0) определяется векто­

рами Pu(O,O), Pu(0,1), Puv(O,O) и Puv(0,1), мы заключаем, что векторы кручения

Puv(O,O) и Puv(0,1) определяют Pu(A).

Подставим и =1, v =v0 в уравнение (7.20 ), чтобы выяснить, от чего зависит Ри (В):

GI

(v0 )]

Ри(В)=[О О О 1] 2 (vo) =

Gз(Vo)

G4 (vo)

(7.21)

210 Глава 7. Представление поверхностей и работа с ними

верхиости Безье. Для этого мы подставим граничные значения параметров и и v

в уравнение (7.22). Подстапавка и= О и v =О дает:

Р(О,О)= ta~Pi,jB;,п(O)Bj,m(O)= to[~P;,jBj,m(O)]В;,п(О)=

=(~)Ро.о(~)=Ро,о·

Равенство (7.24) показывает, что задающая точка Р0,0 лежит на поверхности и соответствует значениям параметра и =О, v =О. Та же процедура позволяет про­ верить, лежат ли остальные угловые задающие точки (Pn.O• Po,m• Р11.т) на поверх­

ности.

В дополнение к этому мы можем показать, что граничные кривые поверхности

Безье также являются кривыми Безье, определяемыми соответствующим коли­

чеством задающих точек. Подставим и = О в уравнение (7.22), чтобы получить

rn

= L,P0,jBj,m(v).

j=O

Уравнение (7.25) говорит нам о том, что граничная кривая, соответствующая значению параметра и = О, является кривой Безье с задающими точками Р0,0,

Р0.1, ..., Po.m· Аналогичным образом можно показать, что оставшиеся три гранич­

ные кривые также являются кривыми Безье, а их задающие точки являются

крайними вершинами задающего многогранника. Поскольку вектор касательной на конце кривой Безье определяется соседней с концом задающей точкой, векто­

ры касательных в направлении v в точках Р0,0 и Po,m определяют точки Р0,1 и Po,m-l соответственно. Следовательно, Р0,1 и Po.m-l играют ту же роль, что и

Р,,(О,О) и Pv(0,1) для бикубического лоскута. Если с этой точки зрения подойти

к поверхности Безье степени 3 по и и v (см. рис. 7.4), мо)Кно сделать следующее

утверждение. Задающая точка Р1.0 играет ту же роль, что и Ри (0,0) для бикубиче­ ского лоскута, Р2,0 - ту же, что Pu(1,0), Р1,3 - ту же, что Pu(0,1), Р2,3 - ту же, что Pu(1,1), Ро,1 - ту же, что Pv(O,O), Р0•2 - ту же, что Р11(0,1), Р3,1 - ту же, что Р,,(1,0), Р3•2 - ту же, что Pv(1,1). Следовательно, эти восемь задающих точек вместе с че­

тырьмя угловыми задающими точками определяют граничные кривые поверхно­

сти. Оставшиеся четыре задающие точки Рц. Р2.1, Р1.2, Р2,2 определяют форму

внутренней области поверхности подобно векторам кручения бикубического

лоскута.

Мы уже отмечали, что степень поверхности Безье определяется количеством за­

дающих точек. Уравнения поверхностей высоких степеней страдают теми же не-

достатками, что и уравнения кривых высоких степеней, поэтому при молелира­ nании поверхностей обычно используются поверхности Безье степени 3 по и и r;,

точно так же как при моделировании кривых использоnались кривые Безье сте­

пени 3. При необходимости смоделировать сложную поверхность приходится создавать несколько поверхностей Безье третьей степени и соединять их друг с

лругом. Поверхности должны соединяться таким образом, чтобы обеспечивалась

непрерывность на границе, по которой осуществляется соедннение. Это достига­

ется наложением ограничений на задающие точки, расположенные слева и спра­ ва от границы. Ограничение состоит в том, что эти точки должны лежать на пря­

мой линии, проходящей через задюощую точку, лежащую на общей границе (рис. 7.5). Если это требование выполняется, первая производная оказывается непрерывной во всех точках границы [72, 138, 46].

Рис. 7.5. Обьединение лоскутов Безье

7.5.1. Вычисление поверхности Беэье

Координаты х, у и z точки поверхности Безье, соответствующей значениям пара­ метров и = u0 и v = v0 , вычисляются по формуле:

i=O j =0

Перепишем уравнение (7.26), раскрыв сумму по i:

" ",

P(u 0 ,r10 ) =L L P;,J В;,"(u 0 )В1.т(v0 ) =

i=!l )=0

(7.27)

В уравнении (7.27) сумма I7=0 P 0.1 B;.",(v 0 ) вычисляется при помощи алгоритма

де Кастильо по задающим точкам Р0.1. Алгоритм де Кастильо описан в приложе-