книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdfГосударственный комитет Российской Федерации по высшему образованию
Петрозаводский государственный университет
С.К. КАНАУН, В.М. ЛЕВИН
МЕТОД ЭФФЕКТИВНОГО ПОЛЯ В МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Издательство Петрозаводского университета
Петрозаводск 1993
УДК 539.3
К 19
Метод эффективного поля в механике композитных ма териалов/ С. К. Канаун, В. М. Левин; Петрозаводский гос. ун-т. Петрозаводск, 1993. 600 с.
В монографии рассматриваются статические и стационарные динамичес кие задачи теории упругости для композитной среды, состоящей из однород ной матрицы (связующего), в которой распределено случайное множество изолированных включений (частиц наполнителя). Для решения этих задач развит вариант метода эффективного (самосогласованного) поля. Метод позво ляет не только решить задачу осреднения, но и оценить высшие статистичес кие моменты упругих полей в композитах, описать нелокальные свойства ком позитной среды. Получены формулы для определения эффективных модулей упругости и коэффициентов линейного расширения композитов с различными типами армирующих включений. В длинноволновом приближении определены скорости распространения, коэффициенты затухания и характеристики диспер сии упругих волн в таких композитах. Область применимости метода исследо вана путем сравнения с точными решениями и имеющимися в литературе экс периментальными данными.
Книга предназначена для инженеров и научных работников в области ме ханики композитных материалов и сред с дефектами, аспирантов и студентов по специальности физика и механика деформируемых твердых тел. Илл. 41. Библиогр. 249 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Петрозаводского государственного университета
Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор А. А. Вакуленко
1603020000 , „„
К-----------------------1-93 © С. К. Канаун, В. М. Левин, 1993
Д26(03)-93
© Издательство Петрозаводского
ISBN 5-230-08946-6
государственного университета, 1993
О Г Л А В Л Е Н И Е
Предисловие.................................................................................... |
8 |
|
Глава I. Однородная упругая среда с источниками |
|
|
|
внешних и внутренних напряжений................... |
13 |
§ 1.1. |
Источники внешних напряжений в однородной |
|
|
упругой среде.................................................................. |
13 |
§ 1.2. |
Упругая среда с источниками внутренних напря |
|
|
жений .............................................................................. |
22 |
§1.3. Разрывы упругих полей в однородной среде с ис точниками внешних и внутренних напряжений . . 32
§1.4. Упругие поля вдали от источников напряжений . 39
Глава II. Равновесие однородной упругой среды с изо |
|
||
|
лированным включением.......................................... |
|
44 |
§ 2.1. |
Интегральные уравнения для среды с изолирован |
|
|
|
ной неоднородностью ................................................. |
|
44 |
§ 2.2. |
Условия на границе раздела двух с р е д .................... |
|
51 |
§ 2.3. |
Эллипсоидальная неоднородность........................... |
|
54 |
§ 2.4. |
Эллипсоидальная неоднородность в постоянном |
|
|
|
внешнем поле................................................................... |
|
59 |
§ 2.5. |
Поля со скалярным потенциалом.............................. |
|
67 |
§ 2.6. |
Трещина в однородной упругой ср е д е .................... |
|
74 |
§ 2.7. |
Эллиптическая трещ ина............................................. |
|
80 |
§ 2.8. |
Радиально неоднородное сферическое включение . 86 |
||
§ 2.9. |
Сферическое слоистое включение............................ |
|
97 |
§ 2.10. Цилиндрически симметричная неоднородность |
|
||
|
в упругой ср е д е ............................................................. |
|
104 |
§ 2.11. Цилиндрическое слоистое включение...................... |
|
116 |
|
Глава III. Тонкие включения в однородной упругой |
|
|
|
|
среде................................................................................ |
|
121 |
§ 3.1. |
Внешние разложения упругих полей в среде |
|
|
|
с тонким включением................................................... |
|
122 |
§ 3.2. |
Свойства потенциалов (3.1.4) и (3.1.5)..................... |
|
123 |
§ 3.3. |
Внешние предельные задачи для тонких включе |
|
|
|
ний ...................................................................... |
. . . |
128 |
4
§ 3.4. |
Внутренняя предельная задача и процедура сра |
|
|
щивания ......................................................................... |
134 |
§ 3.5. |
Сингулярные модели тонких включений................. |
137 |
§ 3.6. |
Асимптотика решений уравнений (3.3.15), (3.3.24) |
|
|
у края включения................................................... |
139 |
§3.7. Тонкие включения эллипсоидальной формы. . . 149
§3.8. Численное решение уравнений для тонких вклю
чений ................................................................................ |
155 |
Глава IV. Включение в виде жесткого стержня в одно |
|
родной упругой с р е д е ................................................ |
169 |
§4.1. Внешнее и внутреннее предельные решения зада чи об упругой среде с включением, имеющим
|
форму стержня................................................................ |
169 |
§ 4.2. |
Формальная схема построения главного члена |
|
|
асимптотики поля напряжений внутри жесткого |
|
|
стержня............................................................................ |
173 |
§ 4.3. Главные члены асимптотики поля напряжения |
|
|
|
внутри стержней различной ф ор м ы ......................... |
179 |
§ 4.4. |
Включение в виде криволинейного стержня . . . 194 |
|
Глава V. Множество изолированных включений |
|
|
|
в однородной упругой среде..................................... |
198 |
§5.1. |
Постановка задачи осреднения.................................... |
198 |
§ 5.2. |
Интегральные уравнения для упругих полей |
|
|
в среде с множеством изолированных неодно |
|
|
родностей ........................................................................ |
202 |
§ 5.3. |
Тензор эффективных упругих модулей композита |
205 |
§ 5.4. |
Методы эффективной среды...................................... |
208 |
§ 5.5. |
Метод эффективного поля для среды с эллипсо |
|
|
идальными включениями.............................................. |
213 |
§ 5.6. |
Регулярные решетки неоднородностей.................... |
221 |
§5.7. Тонкие включения в однородной упругой среде . 229
§5.8. Упругая среда, армированная жесткими чешуй
ками и лентами.............................................................. |
234 |
§ 5.9. Тонкие податливые включения и трещины в одно |
|
родной упругой среде................................................... |
242 |
§ 5.10. Плоская задача для среды с множеством тонких |
|
включений..................................................................... |
252 |
§5.11. Упругие свойства матричных композитов, армиро ванных короткими осесимметричными волокнами 260
|
|
5 |
§ 5.12. Упругая среда, армированная однонаправленными |
||
|
слоистыми волокнами.................................................. |
269 |
§ 5.13. Термоупругая деформация композитов со сфери |
||
|
ческими и цилиндрическими слоистыми вклю |
|
|
чениями ........................................................................... |
272 |
§ 5.14. Приближение точечных дефектов в механике |
|
|
|
матричных ком позитов.............................................. |
279 |
Глава VI. Учет многочастичных взаимодействий и вы |
||
|
числение высших статистических моментов |
|
|
упругих полей в матричных композитных |
|
|
материалах................................................................. |
287 |
§ 6.1. |
Эффективное поле в матричных композитных |
|
|
материалах........................................................................ |
287 |
§ 6.2. |
Некоторые средние однородных случайных |
|
|
полей............................................................................... |
291 |
§ 6.3. |
Общая схема построения статистических момен |
|
|
тов упругих полей в матричных композитах. |
. . . 300 |
§ 6.4. |
Оператор эффективных свойств................................. |
306 |
§ 6.5. Учет парных взаимодействий при решении зада |
||
|
чи осреднения................................................................ |
312 |
§ 6.6. |
Корреляционная функция поля напряжений |
|
|
в среде с точечными дефектами................................ |
319 |
Глава VII. Распространение акустических волн в сре |
||
|
дах с изолированными неоднородностями |
. . 330 |
§ 7.1. Функция Грина оператора Гельмгольца.................. |
331 |
|
§ 7.2. |
Дифракция длинных акустических волн на изоли |
|
|
рованном включении.................................................... |
333 |
§7.3. Эффективный волновой оператор для среды
смножеством эллипсоидальных включений . . . 347
§7.4. Распространение акустических волн в изотропной
|
среде со сферическими включениями....................... |
355 |
§ 7.5. |
Учет парных взаимодействий.................................... |
361 |
Глава VIII. Рассеяние упругих волн на изолированном |
||
|
включении в однородной среде.......................... |
370 |
§ 8.1. |
Динамический тензор Грина для однородной |
|
|
анизотропной упругой с р е д ы ................................... |
370 |
§ 8.2. |
Интегральные уравнения задачи дифракции |
|
|
упругих волн на изолированном включении |
. . . 376 |
6
§8.3. Рассеяние упругих волн на тонком включении . . 383
§8.4. Рассеяние упругих волн на коротком осесиммет
|
ричном волокне............................................................. |
400 |
§ 8.5. |
Включение в форме непрерывного кругового |
|
|
цилиндра ...................................................................... |
409 |
§ 8.6. |
Полное сечение рассеяния включений различной |
|
|
формы............................................................................... |
419 |
Глава IX. Эффективный волновой оператор для среды |
|
|
|
со случайным множеством изолированных |
|
|
неоднородностей......................................................... |
444 |
§ 9.1. |
Рассеяние упругих волн на случайном множестве |
|
|
эллипсоидальных вклю чений................................... |
444 |
§ 9.2. |
Функция Грина эффективного волнового опера |
|
|
тора .................................................................................. |
452 |
§9.3. Скорости распространения и коэффициенты зату хания упругих волн в матричных композитных
|
материалах..................................................................... |
458 |
§ 9.4. |
Среды со случайным множеством тонких вклю |
|
|
чений ............................................................................... |
462 |
§ 9.5. |
Распространение упругих волн в среде с жесткими |
|
|
короткими волокнами.................................................. |
491 |
Глава X. Распространение упругих волн в композитах, |
|
|
|
армированных однонаправленными цилиндри |
|
|
ческими волокнами..................................................... |
501 |
§10.1. Эффективный волновой оператор для композита, армированного однонаправленными волокнами . 501
§10.2. Распространение упругих волн перпендикулярно
|
направлению армирования.......................................... |
514 |
§ 10.3. Распространение упругих волн вдоль волокон . |
. 519 |
|
Заключение.................................................................................... |
525 |
|
Приложение 1. Специальные тензорные базисы . . . . |
529 |
|
П1.1. |
Базисы четырехвалентных те н зо р о в ...................... |
529 |
П1.2. |
Изотропный шестивалентный т е н з о р ................... |
537 |
П1.3. |
Матричные представления элементов Е, Р , в и |
|
|
R - б а з и с о в ......................................................................... |
539 |
|
|
7 |
Приложение 2. Обобщенные функции, порожденные |
|
|
|
функцией Грина статической теории упру |
|
|
гости ......................... |
543 |
П2.1. |
Функции Грина статической теории упругости в |
|
|
к -представлении........................................................... |
543 |
П2.2. |
Функции Грина в X-представлении........................ |
545 |
П2.3. |
Плоский случай.............................................................. |
554 |
П2.4. |
Специальное представление оператора К ............... |
555 |
Приложение 3. Предельные значения некоторых по |
|
|
|
тенциалов, сосредоточенных на поверхностях. |
559 |
П3.1. |
Интегральные теоремы Гаусса и Стокса................. |
559 |
П3.2. |
Производные потенциала двойного слоя стати |
|
|
ческой теории упругости.............................................. |
561 |
ПЗ.З. |
Потенциал с плотностью, являющейся тензором |
|
|
поверхности Q ............................................................... |
567 |
Приложение 4. Матрицы и векторы перехода через |
|
|
|
границы слоев в задачах о сферическом и |
|
|
цилиндрическом слоистых включениях . . . . |
570 |
П4.1. Упругая и термоупругая задачи для сферического |
|
|
|
слоистого включения..................................................... |
570 |
П4.2. |
Упругая и термоупругая задачи для цилиндричес |
|
|
кого слоистого включения........................................... |
572 |
Комментарии и литературные ссылки....................................... |
574 |
|
Литература....................................................................................... |
584 |
|
ПР Е Д И С Л О В И Е
Впоследние десятилетия теория микронеоднородных и композитных сред стала одним из актуальных направлений механики и физики твердого деформируемого тела. Интерес к исследованию физико-механических свойств композитных материалов связан с постоянно возрастающей сферой их применения. В настоящее время композиты успешно конку рируют с такими традиционными однородными конструкци онными материалами, как металлы и их сплавы, керамика, гомополимеры, превосходя их по целому ряду физико-меха нических характеристик. Особенно перспективной является возможность управления структурой композитов и создание на этой основе материалов с заранее заданными свойствами, оптимальными к условиям эксплуатации. Для решения проб лемы направленного синтеза необходимы всесторонние ис следования влияния микроструктуры на весь спектр физико механических свойств композитных материалов.
Данная монография посвящена исследованию упругой и термоупругой деформации одного из важных классов компо зитных материалов - так называемых матричных композитов.
Особенностью микроструктуры таких материалов является наличие связной однородной компоненты (матрицы), в ко торой равномерно распределено множество частиц наполни теля (включений). Известны композиты с полимерной, ме таллической, керамической и другими видами матриц. В ка честве армирующего наполнителя используют частицы квар ца, песка, полые стеклянные шарики, каучуковые глобусы, тонкие металлические чешуйки и ленты, рубленые стеклян ные волокна, прочие карбидные усы и др. Уже традиционны ми являются армирующие элементы в виде длинных однона правленных стеклянных и углеродных волокон.
Микроструктура реальных композитных материалов, как правило, является стохастической, причем случайными могут быть как форма, размеры и свойства включений, так и их распределение в объеме матрицы. Поля напряжений и де формаций, возникающие в таких композитных материалах
9
при различных внешних воздействиях, также случайны. Од ной из важных задач механики композитов является постро ение средних значений (математических ожиданий) этих по лей при детерминированных внешних воздействиях (задача осреднения). Решение этой задачи позволяет определить эф фективные свойства композитного материала и при расчетах на прочность конструкций из композита заменить последний эквивалентной однородной средой с известным (детермини рованным) законом деформирования. Информация о более тонких статистических характеристиках случайных полей на пряжений и деформаций (корреляционных функциях и т.п.) необходима для описания структурно-чувствительных про цессов, протекающих при деформировании композитных ма териалов, например, процессов разрушения и пластического течения.
Авторами развивается метод, который в принципе позволя ет определить статистические моменты любого порядка упру гих и термоупругих полей в матричных композитных материа лах с различными типами армирующих включений при разли чных законах распределения их в объеме матрицы. Основные трудности решения этой задачи связаны с описанием взаимо действия большого числа случайно расположенных включе ний. Для описания многочастичных взаимодействий исполь зован вариант метода эффективного локального поля, дейст вующего на каждое включение в композите. В отличие от тра диционных самосогласованных схем решения задачи осредне ния это поле считается случайным, а для вычисления его ста тистических моментов разработана специальная техника. Важ ным этапом реализации метода является решение задачи для одиночного включения - типичного элемента наполнителя, помещенного в однородную среду (одночастичная задача). При этом успех реализации метода зависит от совершенства алгоритмов решения одночастичных задач.
Указанные обстоятельства определили план построения монографии. Ее первая часть (главы I-IV) посвящена реше нию трехмерных задач теории упругости и термоупругости для однородной среды с одиночным включением. Набор этих за дач определяется основными типами армирующих элементов, используемых в качестве наполнителя для матричных компо зитных материалов. Вторая часть монографии (главы V-X) посвящена разработке нового варианта метода эффективного
10
поля и построению на его основе математических ожццаний и корреляционных функций упругих и термоупругих полей в матричных композитных материалах.
Кратко остановимся на содержании отдельных глав моно1рафии.
Первая глава является вспомогательной, в ней рассматри вается однородная упругая среда с источниками внешних и внутренних напряжений. Здесь исследуются интегральные представления упругих полей через плотности указанных источников.
Вторая глава посвящена решению интегральных уравне ний для тензоров напряжений и деформаций в упругой среде с изолированной неоднородностью. Подробно обсуждаются случаи эллипсоидальной неоднородности, эллиптической трещины, сферического и цилиндрического радиально неод нородных включений.
В третьей главе рассмотрена однородная среда с включе нием, один из характерных размеров которого много меньше двух других. Кроме того, предполагается, что модули упругос ти среды и включения различаются существенно. Такие типы тонких включений представляют наибольший интерес для приложений. При описании упругих полей в окрестности тонких включений в ряде случаев целесообразно ограничи ваться главными членами асимптотического разложения этих полей по малым параметрам задачи: отношению характерных линейных размеров включения и отношению модулей упру гости среды и включения. Задача построения указанных чле нов сведена к решению псевдодифференциальных уравнений на срединной поверхности включения. Исследованы свойства решений этого уравнения, указан класс включений, для кото рых можно найти точные решения, предложен метод числен ного решения в случае тонких включений произвольной фор мы.
Асимптотический метод применен также для решения за дачи о равновесии упругой среды, армированной жестким криволинейным стержнем (глава IV).
Пятая глава посвящена в основном решению задачи ос реднения. С помощью метода эффективного поля найдены осредненные упругие и термоупругие характеристики матрич ных композитов, армированных различными типами напол нителей: эллипсоццальнымим включениями, сферическими