книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf51
О . Материал включения будем считать однородным с тензо
ром модулей упругости С = С °+ С \ где С°- тензор модулей
упругости основной среды, а внешнее поле £°(х)~ сколь угод но гладким. При этом, в силу известных свойств решений эл липтических уравнений [105], тензоры напряжений и дефор маций будут непрерывны всюду, за исключением точек грани цы Q области V . Для определения величин разрыва компо
нент тензора деформаций е(х) при переходе через границу О
представим функцию е(х) в виде следующей суммы:
е(х) = е (х) + е]1(х ), £'(*) = - | К (х - х ')С '£(*')*&'. (2.2.1) v
В этом соотношении, которое является следствием (2.1.9),
£°(х) - непрерывная функция. Поэтому разрыв поля дефор
маций определяется поведением потенциала £1(х ). Сравнение
с (1.1.30) показывает, что потенциал £’ (*) можно интерпре тировать как поле деформаций в однородной упругой среде с
тензором модулей упругости С°под действием распределен ных в области V обобщенных силовых диполей плотности
Разрывы поля деформаций на границе области в одноро дной упругой среде, в которой задано распределение обоб
щенных силовых диполей, исследовалось в § 1.3. Пусть п(хо)-
внешняя нормаль к Q в точке хо еП . Если £+(хо)- предель
ное значение поля деформаций £(х) внутри включения при
х —> хо, а |
£~(х) предельные значения деформаций в точках |
среды при |
х —>хо, то на основании формул (1.3.10) и (2.2.1) |
имеем |
|
|
= e -(x ,)-£ +(xJ = К ‘ t o X V O O - (2.2.2) |
Здесь следует учесть, что в формуле (2.3.10) через £+(дго) обозначено предельное значение поля деформаций при стрем
лении X к Q со стороны внешней нормали, а через £~(дго) -
52
тот же предел с противоположной стороны. Тензор К*(яо) определен соотношением (1.1.35).
Из (2.2.2) следует, что предельные значения тензора де
формаций в среде £~(хо) и во включении £+(хо) на границе области связаны соотношением
е~(х0) = [1 + K ’ (wo)C 1]f+(x:0), еП , яв= я(х„). (2.2.3) Перейдем теперь к рассмотрению уравнения (2.1.19) для
тензора напряжений в среде с включением. Представим фун кцию о(х) в форме
а(дг)=<т (х) + сг1(х), сг1(x)=J S(x - х')Вхo{x')dx’, (2.2.4)
V
где внешнее поле а°(х) будем считать сколь угодно гладким.
Из соотношения (1.2.4) следует, что потенциал сг’ (х) имеет смысл тензора внутренних напряжений в однородной среде с распределенными в области V дислокационными моментами
плотности т(х) = В]о(х). Разрыв этого потенциала, как это следует из (1.3.12), определяется соотношением
[^ tX )]= & (xJ -cx+(xJ = -S m(n0)B]o-+(x0), хо еО . (2.2.5)
Здесь а~(хо)(сг+ ОО) - предельное значение поля напря
жений в среде (во включении) при х —>хо € Q , тензор S*(rt) определен в (1.2.11). Таким образом, предельные значения по ля напряжений снаружи и изнутри области Vв точках грани цы Q связаны формулой
о '(х . ) = [ / - 5 ’*(я.)ВХК ( х . ), х е П . |
(2.2.6) |
Отметим некоторые следствия полученных соотношений. |
|
Г. Введем операторы проектирования П и в на нормаль
п(хо) и касательную к Q |
плоскость в точке хо |
П - I ©> Iaf<>4, |
(2.2.7) |
53
® <фХц —®а)(Х ®Н)(Р > ^<Ф ~ ^ар ~ ПсРр'
Здесь I-единичный оператор (единичный четырехвалент ный тензор).
С помощью этих операторов поле симметричного двухва лентного тензора q(x) на Q представляется в виде разложе
ния на "касательную" QafiXMqXMи "нормальную" |
ком |
поненты. |
|
Из определения тензора К*(«) (1.1.35) следует равенство |
|
0 # ( я ^ ( я ) 5 О. |
(2.2.8) |
Отсюда и из (2.2.2) видно, что касательная составляющая тензора 6е непрерывна при переходе через границу Q облас ти V :
[® («о)ех„(К )] = ®a/jXfJ(«с)е~Хм(х0) - 0 ^ (п )еХм(хо) = 0.
(2.2.9)
Далее из определения (1.2.11), (1.1.35) тензора S*(к) сле дует равенство
(2.2.10)
Отсюда и из (2.2.5) следует непрерывность нормальной составляющей тензора напряжений на границе П
[Поа°ар(х0)] = п0ао-а/!(хо)- п 0ао +а/)(х0) = 0. (2.2.11)
2°. В соотношения (2.2.2) и (2.2.5) входят только предель
ные значения упругих полей в точке хо еС1 и вектор по,опре деляющий локальную ориентацию границы в этой точке. Можно показать [83], что условия, аналогичные (2.2.2) и (2.2.5), имеют место на любой гладкой границе разрыва моду лей упругости в неоднородной среде. При этом роль тензоров С° и С° + С1 играют предельные значения модулей упругости
среды в точке хо на границе разрыва при стремлении х к хо
со стороны нормали (С°) и с противоположной стороны
( С + С 1).
54
3°. Соотношения (2.2.3) и (2.2.6) показывают, что для определения концентрации напряжений и деформаций в сре де на границе включения нет необходимости вычислять по
тенциалы ^'(х) и ст'(х) вида (2.2.1) и (2.2.4). Соответствую
щие значения тензоров s(x) и а(х) можно найти умножени
ем предельных значений полей е+(х) и ст+(х) в точках гра
ницы на тензоры / + К* (и)С1и I-S*(n)B] соответственно.
§ 2.3. Эллипсоидальная неоднородность
Пусть включение с постоянными модулями упругости имеет форму эллипсоида, поверхность которого задается уравнением
(2.3.1)
Здесь а,,а2,а^- полуоси эллипсоида, а оси системы коор
динат х,,х2,х3 с началом в центре эллипсоида направлены по его осям симметрии.
В этом случае имеет место следующее замечательное свойство решений уравнений (2.1.23) (теорема о полиноми альной консервативности [82, 170]).
Если внешнее поле е°(х)(ор(х)) есть полином степени т
по координатам х,, х2,х3 в области V, то поле деформаций
£+(х ) (напряжений сг+ (х)) внутри эллипсоида есть также по лином степени не выше т.
Приведем доказательство этой теоремы, предложенное в [82].
Запишем уравнение (2.1.9) для однородного включения эллипсоидальной формы
* * (* ) + J K apxAx -x ')C lvp£vp(x’)dx’ = S°^(x). (2.3.2)
V
Будем считать, что правая часть этого уравнения есть по лином степени т. Поскольку при линейном преобразовании
55
у = а хх (аар = аа8ар (по а не суммировать!)) область V пе
реводится в шар единичного радиуса, а правая часть остается полиномом той же степени, то доказательство достаточно провести для случая, когда область V есть шар |х|<1.
Очевидно, что свойство полиномиальной консерватив ности выполняется, если оператор с ядром К (х) в уравнении (2.3.2) переводит полином степени т в полином той же сте пени. Более того, для доказательства этого свойства достаточ но рассмотреть действие оператора К на однородный поли
ном степени т или,что то же, произведение х(т) = хХ)Хх^...хх .
Регулярное представление оператора К (х) определено в
(1.1.36). При qafi(x) = q°afiAXi ХтХх хХг...хХт, где <7°-постоянный тензор, имеем
jK(x-x')q(x')dx'=A°q(x)+ j ¥^(x-x')q°x,{m)cbc', (2.3.3)
где А° - постоянный тензор, а интеграл справа понимается в смысле главного значения по Коши (1.1.34). Так как К (х) - однородная обобщенная функция степени (-3), то она пред ставима в виде
К (х -х ') = К°(п)/гг, п = (х -х')/ г, г = |х-х'], (2.3.4)
где К °(«) - четная функция п : К °{-п) = К° (п).
Известно [106], что необходимым и достаточным условием существования интеграла в смысле главного значения являет ся равенство
о, |
|
(2.3.5) |
|
|
|
Рассмотрим интеграл в правой части (2.3.3). Подставив |
||
выражение х' = х +r п под знак интеграла, получим |
||
г |
т |
(2.3.6) |
] К (х - |
x')x,(m)dx' = £ x{m-k)J(k)(X), |
|
V |
k=0 |
56
Jw (x) = |K°(«)w(V -3<&', x eV . |
(2.3.7) |
Заметим, что J(o) = 0 в силу свойства (2.3.5), а остальные интегралы (2.3.7) существуют в обычном смысле.
Положим dx' = r2drt£lx и проинтегрируем по элементар ному конусу с началом в точке х е V. Тогда
f k\x) = ±\K°(n)nmpk{x,ri)<Klx, xeV , к = l,2,...,m,
(2.3.8)
где p(x,ri)- расстояние от точки х в направлении п до по верхности единичной сферы
р(х,п) = -(х-п) + т]\-(х |
х) + (х п)2. |
(2.3.9) |
Для рк имеем |
|
|
р‘ = £ ( - 1 ) ' С ; ( * » |
) ' [ 1 - ( * ^ |
(2.3.10) |
/=0 |
|
|
где С[ - биномиальные коэффициенты. Поскольку К°(п) - четная функция п, вклад в J{k)(х) дадут лишь те члены раз
ложения, произведение которых на г£к) четно. Легко видеть, что они содержат корень в четной степени. Непосредственно
проверяется, что эти члены имеют вид Z А(к_21)(п)х(к~21\ где
Лк-21)(п) - тензорные коэффициенты. Следовательно, J(k)(х) -
полином по X степени к с тензорными значениями
./<‘ > ( * ) = £ B S V <,' a>, |
(2.3.11) |
/ |
|
С » = * J К » п “ >4 „_ г,)(и)‘« , |
(2.3.12) |
о. |
|
Наконец, подставляя (2.3.11) в (2.3.6), получим, что второе |
|
слагаемое в (2.3.3) есть полином степени |
171, значениями ко |
57
торого являются тензоры (т + 4)-й валентности. Этим завер шается доказательство теоремы о полиномиальной консерва тивности эллипсоидальной области.
Заметим, что в силу определения обобщенной функции (1.2.2) тем же свойством полиномиальной консервативности обладает и оператор S во втором из уравнений (2.1.23)
(2.3.13)
v
для однородной эллипсоидальной области V .
Из доказанной теоремы следует, что для эллипсоидаль ной области полиномы являются собственными функциями операторов К и 5. Аналогичным свойством обладает любой оператор, символ которого (преобразование Фурье ядра) яв ляется однородной функцией нулевой степени. Это утвержде ние может быть доказано тем же путем, что и теорема о по линомиальной консервативности.
Полученное свойство операторов К и S позволяет указать алгоритм построения решения уравнений (2.3.2) и (2.3.13) при произвольной полиномиальной правой части. Рассмотрим уравнение для деформации и найдем результат действия опе
ратора К на однородный полином х(т\ В силу теоремы о полиномиальной консервативности
имеем
(2.3.14)
где AJ- постоянные тензоры валентности m + j+ 4. В под робной записи это соотношение имеет вид:
(2.3.15)
v
т
58
Для определения тензорных коэффициентов AJ продиф
ференцируем обе части (2.3.14) j раз по х и положим х = 0. В результате получим
^ = (-iy J [V °> K (x )]x (m)<fr, V(})=VXVv ..V v |
(2.3.16) |
|||||
|
v |
|
|
|
|
|
При j <tn интеграл в этом соотношении сходится абсо |
||||||
лютно. Из четности функции К (х) следуют равенства |
||||||
4 |
^ ,= 0 |
при |
/ = 1,2,...,р, |
если |
т = 2р, |
(2.3.17) |
Д2/’+1 = 0 |
при |
/ = 0,1,...,р, |
если |
т = 2р +\. |
||
При |
j = тп инте|рал (2.3.16) |
можно рассматривать как |
||||
действие |
обобщенной |
функции |
[V(m)K (x)]x(m) |
на функцию |
||
V(x). Поскольку |
преобразование |
Фурье от [V(m)K (x)]x(m) - |
||||
однородная функция нулевой степени, значение интеграла (2.3.16) при j = т имеет вид (см. Приложение П2.2)
А : = £ ] к : ( а - '* ) Л 1 . |
(2.3.18) |
о, |
|
Здесь О, - поверхность единичной сферы в к -простран |
|
стве |
|
к*м(£)= ( - 1)иV(m)[*(,w)K*(*)], |
(2.3.19) |
а функция К* (к) определена соотношением |
(1.1.35). Компо |
ненты тензора а в базисе главных осей эллипсоида хих2,хъ имеют вид (не суммировать по а ! )
асф=<*адар- |
(2.3.20) |
Пусть теперь внешнее поле £°(х) определяется соотно шением
т
e(,x) = Yjd°jxu\ |
(2.3.21) |
i=О |
|
59
где d° - тензоры валентности 2 + j. Тогда решение уравнения
(2.3.2) имеет ввд
e{x) = YddixU). |
(2.3.22) |
J-0
Подставим теперь (2.3.21) и (2.3.22) в (2.3.2). Учитывая свойства оператора К (2.3.14), получим
Z 4 *0)+Z l A ' C V .(О |
d°jxU)' (2-3-23) |
|
j=О |
J =о £=о |
J /=0 |
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в левой и правой частях этого равенства, получим систему
уравнений для определения тензоров dr Решение этой систе мы представляется в виде следующих рекуррентных формул:
J . = [ / . + 4 Г С Г < с , л ,= [ / , + а; с ]" d - - ^ A ‘C'd,
l= J* 1
y = m -l,m -2 ,...,0 . |
(2.3.24) |
Здесь Ij - единичный тензор валентности j + 4,
= Л 2Г ' = 0 , |
(2.3.25) |
§2.4. Эллипсоидальная неоднородность
впостоянном внешнем поле
Рассмотрим более подробно случай постоянных внешних
полей. Пусть сначала е =const в области, занятой неоднород
ностью. Тогда поле деформаций £* внутри эллипсоидального включения также постоянно и имеет вид
е+=Асе , А£ = (1 + А(а)С'У\ |
(2.4.1.) |
60
где / - единичный четырехвалентный тензор, а тензор А(а) определен соотношением (2.3.18):
А(а) = А := — f К \cC'k)d£l. |
( 2.4.2) |
4 п 3
о, Пусть в среде с эллипсоидальным включением действует
постоянное внешнее напряжение. Тензор напряжения сг+ внутри включения, который является решением уравнения
(2.3.13) при cr°=const, определяется при этом выражениями
ст+ = A V , Ла = {1 - D(ci)BxУ], |
(2.4.3) |
D(q) = — f S*(a-'k)dQ = С°А(а)С° - С°.
Если среда изотропна, то постоянные тензоры А(а) и
D(a) имеют симметрию эллипсоида и определяются девятью существенными компонентами. В системе координат, совпа дающей с главными осями эллипсоида, имеем [82, 83]
Ли = ^ = -[W „+ (1 -4 K.M ], Л,ш = - ^ ( 4 , - ■ /,) ,
8 п ц а |
|
8 |
|
Ат ~ Q [*А +«/j2 +(1 |
2 ко)(У ,+У 2)]> |
(2.4.4) |
|
8пца |
|
|
|
А ш = 4^ае0 |
|
|
(2.4.5) |
8п |
|
|
|
А 122“ 4//0Ж0 j ^ ^ [ , / 21 |
^ |
)(*А + *Л)] |
|
A 212= 4/^3^ |
[./21 + *^12 |
” 2 V0)(yi + У2)] |
~ |