книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

21

к * ^ (£) = J (x) exp(-/* • x)dx, k x = kaxa .

Здесь символом / обозначен интеграл в смысле главного значения по Коши [106]

к *а0*м(к) - преобразование Фурье функции K a/M/i(x), Q, -

поверхность единичной сферы в к-пространстве. Произ­

вольный асимметричный двухвалентный тензор а^ в (1.1.32)

и (1.1.33) определяет невырожденное линейное преобразова­ ние JC-пространства. В силу (1.1.7) и (1.1.31) выражение для

тензора К^.ЛД£) имеет вид:

G^k)=L^(k), £^к)=кхс ^ к г .

(1.1.35) Таким образом, каждое из слагаемых в правой части

(1.1.32) определено неоднозначно в силу произвольности тен­ зора, однако сумма этих слагаемых не зависит от величины компонент тензора, что следует из однозначности определе­ ния обобщенной функции К(х) (1.1.31).

Возвратимся к выражению для деформаций (1.1.30). Для

достаточно гладкой функции q^ix) интеграл в (1.1.30) можно

понимать в следующем смысле (индексы для простоты опус­ каем):

е(х) = - J К(дс - x')q(x')dx = - A °q(x) - J К (х - x')q(x')dx' ,

(1.1.36)

Заметим, что поле деформаций е(х) в (1.1.30) удовлетво­

ряет условию совместности Rota^ £ '/l/J(x)=0 при любой фи­

нитной плотности q(x). Это является следствием равенства

22

apXfi^ 1Ур^Хг(*)](pf) — (1-1-37)

которое проверяется непосредственно, если воспользоваться выражением (1.1.4) для оператора Rot.

§ 1.2. Упругая среда с источниками внутренних напряжений

Напряжения в упругой среде могут существовать и при отсутствии внешней нагрузки. Такие напряжения называют внутренними. Причиной их появления могут быть неравно­ мерное температурное поле, неоднородная пластическая де­ формация, фазовый переход в ограниченной области, связан­ ный с изменением параметров кристаллической решетки, и

Т.Д.

Пусть, например, конечная область Vоднородной упругой среды испытывает пластическую деформацию, которая харак­

теризуется двухвалентным симметричным тензором m^ix).

Вследствие стеснения области V окружающей средой возни­

кает дополнительная упругая деформация £еар. Полная же де­

формация среды £ар, равная сумме упругой £еар и "неупругой"

тарсоставляющих, удовлетворяет условию совместности

и при отсутствии внешних сил удовлетворяют однородному

уравнению равновесия divo^O. Отсюда следует, что система уравнений для внутренних напряжений при заданной функ­

ции тар(х) может быть записана в виде

23

apXfjEXfj — "Пар> fJap —^^арХц^Хр .

Тензор TJafi(x) называют обычно тензором плотности дис­

локаций, а тар(х) - тензором плотности дислокационных моментов, порождающих поле внутренних напряжений[21,80].

Если Tjap(x) - финитная интегрируемая функция, то ре­ шение системы (1.2.2) можно представить в форме

где Zaplfl(x) - тензор Грина для внутренних напряжений, об­ щая структура которого исследована в [80]. Учитывая соотно­ шение r/ap(x) = R.otapXftmXM(x) и используя теорему Стокса (Приложение П3.1), можно записать:

хркр (X).

Найдем связь между функцией S(x) и функцией Грина для перемещений G(x) в однородной среде, определенной соотношением (1.1.7). Для этого рассмотрим однородную среду с источниками внешних и внутренних напряжений (массовыми силами q(x) и плотностью дислокаций т(х)). Как следует из уравнений (1.1.3) и (1.2.2), поле напряжений в такой среде является решением системы

C°apXfiVxGpp(x-x')qp(x')dx'+^ ZapXp(x - x r) rjXM(x’)dx’.

( 1.2.6)

24

выми частями формул (1.2.5) и воспользовавшись теоремами Гаусса и Стокса, получим

= ~С°арХ^ХJ GMp(X~ *')V;OVp(x')<fr' - (1.2.7)

- J Я ^ х - х ^ Ш ^ С у ^ с г ^ х ’) * ’ =

= -J V,G>-*')+^(х -х'Хс-)^

Сравнивая выражения в левой и правой частях этого тож­ дества, найдем

= Л * Л * ) . (1-2-8)

где Iappv - Sa){pSty^ - единичный четырехвалентный тензор. Отсюда для функции S^Xp{x) получим выражение

где тензор K a/U/J(x) определен в (1.1.31).

Так же как и К а^ ( х ) , функция SafiXp(x) является обоб­ щенной однородной функцией степени (-3), а ее действие на

любую гладкую финитную функцию тХр(х) определяется ра­ венством, аналогичным (1.1.32):

JSmM(x)mXfl(x)dx^DafiXMmX/J(O) + detajSa0XM(ax)mXM(ax)dx,

(1.2.10)

4*г J s ^ i a - ^ d a , s '^ ik ) = c°afiptK.;tSvc SvXM- с арХр. Q|

( 1.2.11)

Здесь S*apXp{k) - преобразование Фурье функции SafiXfl(x),

остальные обозначения те же, что и в (1.1.32).

25

Заметим, что поле стар(х) вида (1.2.4) автоматически удов­

летворяет однородному уравнению равновесия УрСра= 0) для

любой финитной интегрируемой функции тар(х). Это являет­ ся следствием равенства

которое проверяется непосредственно при использовании вы­ ражения (1.1.4) для оператора Rot.

Рассмотрим поля внутренних напряжений, соответствую­ щие некоторым конкретным распределениям дислокационных моментов в однородной упругой среде.

1°. Поле дислокационных моментов постоянной плот­

ности. Если в (1.1.4) niap{x)-m°ap - постоянный тензор, то

интеграл, которым выражается тензор <Jap(x), формально рас­

ходится в нуле и на бесконечности. Для того, чтобы найти значение этого интеграла, рассмотрим следующую модельную задачу.

Пусть причиной возникновения внутренних напряжений является температурная деформация. Если при равной нулю температуре Т температурная деформация отсутствует, то при

7V=0 соответствующую плотность map{x) можно представить в

виде

где а]ф - тензор коэффициентов линейного расширения сре­

ды. При однородном температурном поле (Т(х)-Т= const)

тензор шар также не зависит от координат. Очевидно, что на­

пряженное состояние среды будет при этом зависеть от усло­ вий стеснения ее на бесконечности. Действительно, если стеснение отсутствует, т.е. среда имеет возможность свободно расширяться (сжиматься), изменение температуры среды не приведет к появлению в ней внутренних напряжений. Отсюда

Если же условие на бесконечности такою, что при любых изменениях температуры Т (7=const) полная деформация

среды отсутствует (еар + т°ар = 0), то напряжения в сре­

де определяются из соотношения

&ар —Сарлц8х11= ~СарХцтХ —~СарХцаХрТ. (1.2.15) Отсюда и из (1.2.4) следует, что в условиях полного стес­

нения деформаций среды имеет место равенство

черкнем, что однозначной естественной регуляризации этого интеграла на постоянных не существует и его значение зави­ сит от физического смысла, который этот интеграл имеет в конкретной задаче.

Следствием регуляризации (1.2.14) и (1.2.16), а также со­ отношения (1.2.9), связывающего обобщенные функции S(x)

и К (х), является определение действия интегрального опера­

Отметим, что этот интеграл можно интерпретировать как деформацию среды под действием обобщенных силовых мо­

ментов постоянной плотности q°ap—- 5ар .

Неоднозначность регуляризации интегралов, соответст­ вующих действию операторов с ядрами S(x) и К (х) на пос­ тоянные, становится особенно отчетливой, если в (1.2.4) пе­

27

рейти к преобразованию Фурье подынтегральных функций, используя свойства свертки

^S(x - x')m°dx' = ^S*{к)т°8{k)txp(-ik •x)dk = S*(Q)m°.

Поэтому значение функции S*(к) при к= 0 однозначно не определено и зависит от направления, по которому вектор к стремится в точку к = 0. Следствием соотношений (1.2.14) и (1.2.16) является равенство

Функция К* (к) также однородная нулевой степени по к и для нее на основании (1.2.17) имеем

„f 0 , при полном стеснении среды

к (°) = {[(С )’ >, при отсутствии стеснения (1-2-21)

2°. Однородное распределение дислокационных момен­ тов в полупространстве. Рассмотрим теперь внутренние нап­ ряжения в однородной упругой среде с плотностью дислока­ ционных моментов вида

28

Для вычисления интеграла (1.2.4) с такой плотностью вновь воспользуемся свойством свертки и перейдем к пре­ образованию Фурье подынтегральных функций. Опуская тен­ зорные индексы, можно записать^)

о(х) = [5'(дс- х')/и(х')йЬс' = (2 я )3 [s*(k)m°Hm(k)exp(-ik-x)dk,

(1.2.23)

Я *(к,,к2,к3) = (2л)26(кх)д{к2)[7rS(k3) + ik;']. (1.2.24)

Вычисляя интеграл в правой части (1.2.23), получим

J-SX*- x')m(x')dx' =y[£*(o) + S*(«)sign(-w-x)]m°.

(1.2.25) Здесь учтено, что S*(0,0,k3) = S*(n), где п - внешняя

нормаль к области х3 > 0, занятой дислокационными момен­

тами. Как это уже отмечалось выше, значение тензора S*(0) зависит от условий на бесконечности (см. (1.2.20). В то же время из (1.2.23) и (1.2.25) следует, что скачок тензора на­ пряжений о(х) при переходе через границу области, содер­ жащей дислокационные моменты, от этих условий не зависит и определяется соотношением

где <т+ - предельное значение о(х) при стремлении точки X к

плоскости х3 = 0 со стороны нормали п , а сг" - с противо­ положной стороны. Из соотношений (1.1.35) и (1.2.11) следует равенство

ПаК/)ЛМ(” ) = naClp^nP(L°(П)У*3П£ш р ~ »аС°фlfJ = 0,

Поэтому нормальная компонента тензора напряжений

аар(х)Пр остается непрерывной при переходе через границу

V В дальнейшем безындексная запись формул будет исполь­ зоваться без особых оговорок в тех случаях, когда это не может привести к разночтениям.

29

области х3 > 0, в которой распределены дислокационные мо­ менты.

(1.2.28)

Полная деформация среды с распределениями дислока­ ционных моментов вида (1.2.22) и учетом (1.2.23), (1.2.25) и (1.2.9) представляется в форме

е(х) = (С° У1ф ) + т(х) = JК (х - х')С°т°Н(-п ■x’)dx’ =

Отсюда следует, что скачок тензора деформаций е(х) при переходе через границу области (х3 > 0) определяется соотно­

3°. Дислокация Сомильяны. Пусть в среде имеется об­ ласть, один из характерных размеров которой существенно меньше двух других. Обозначим через С1 срединную поверх­ ность этой области, а через h(x) - ее поперечный размер вдоль нормали п(х) к Q . Вырежем эту область из среды и

подвергнем пластической деформации £р(х), которая являет­ ся постоянной вдоль нормали к поверхности Q , а на самой поверхности определяется соотношением

(1.2.31)

Здесь Ь(х) - заданное на П векторное поле. Зафиксиро­ вав пластическую деформацию, упруго сдеформируем область

Vh внешними силами так, чтобы она приняла прежнюю фор­ му, и вставим ее обратно в среду. Произведем склеивание по

дранице области Vh, а затем уберем внешние силы. В резуль­ тате в среде возникнут внутренние напряжения. Найдем пре­ дельное распределение этих напряжений при h —> 0. Соот­