книги / Сдвижение горных пород и защита подрабатываемых сооружений
..pdfПутем введения весовых коэффициентов полученные типовые кривые могут быть лучше, чем по другим способам расчета, скорректированы в соот ветствии с измеренными параметрами сдвижения и с учетом нарушенности породного массива горными выработками, т. е. степени его подработапности. Программа вычислений может быть распространена и на другие параметры мульды сдвижения, если принять, например, что сдвижения vx пропорциональ ны наклонам vz.
8.2.7.
Эмпирический метод расчета оседаний при помощи интеграционной сетки
К группе эмпирических методов относится разработанный для горизонтального залегания угольных пластов графический метод расчета оседаний при помощи интеграционной сетки (палетки), при котором обходятся без построения раз резов мульды сдвижения и без вычислений по каким-либо формулам [196, 483], так как применяемая при этом методе интеграционная сетка выводится непосредственно по данным натурных измерений оседаний. Для этого вычерчи вают на листе прозрачной бумаги (кальки) в масштабе имеющегося плана гор ных работ круг или квадрат, соответствующий площади полной подработки, который разбивают на произвольной величины кольцевые зоны и секторы или прямоугольные поля (в случае круга — как показано на рис. 38, а в случае квадрата — как показано на рис. 99). Затем накладывают построенную таким способом сетку на план горных работ, последовательно совмещая ее центр со всеми точками земной поверхности, для которых известны полученные из наблюдений значения параметров процесса сдвижения, и для этих точек соста
вляют |
уравнение |
оседаний с коэффициентами, равными at = |
b — |
|
= c2A |
2IA2, |
., |
Jt = cioA'lo/Ai0 (Ci — конвергенция в очистной |
выработке). |
Для десяти точек земной поверхности и сетки, разбитой на десять полей (зон)
получится |
следующая |
система уравнений: |
|
|
а1е1 + |
Ь1ег+ |
+ h e it) — v zi, |
|
|
а«еj |
&2ег+ |
+ |
/2^1о — uzl\ |
(145) |
|
|
|
|
|
+ |
6,,<?2 + |
+ |
1пе 1о — uzrr |
|
Чтобы устранить в этих уравнениях неувязки, обусловленные погрешно стями измерений и неравномерным характером развития процесса сдвижения,
в них вводят поправки |
|
vn и образуют систему нормальных уравнений: |
||
[яя| 6\-}- [^Ь] 6о |
+ |
[aj1ею+[а1>г1=0; |
|
|
[ab] eL-f- [bb] е2+ |
+ |
{bj\el o + { b v z] = |
0; |
(146) |
|
|
|
|
|
[aj\e1+[bj\e2 + |
+ |
W \ e l0 + U v 2] - 0 |
, |
|
которую решают способом исключения (алгоритм Гаусса) относительно коэф фициентов влияния е и е2У ., еп (метод Мейерса и Дрента). После того как для всех зон палетки получены значения этих коэффициентов, характеризующих
Рис. 99.
\ Схема к определению коэффициентов влия-
: ния для |
различных |
зон интеграционной |
|||
сетки по |
измеренным |
оседаниям в отдель- |
|||
I ных точках наблюдательной линии (после |
|||||
вычисления |
коэффициентов для зон I U » |
||||
IV, V I I ч V III, |
X I и X I I интеграционная |
||||
сетка, центр которой |
был совмещен с точ |
||||
кой 4, перемещается |
так, чтобы ее |
центр |
|||
совместился |
с |
точкой 5); li — зоны |
кон |
||
вергенции |
|
|
|
|
|
степень влияния каждой зоны на величину оседания в данной точке, можно, совмещая центр палетки с точками контура очистной выработки, над которым, как известно, оседание составляет половину максимального, путем интерполяции получить данные, необходимые для переразбивки интеграцион ной сетки на зоны равного влияния, чтобы облегчить процесс расчета.
Описанный способ определения коэффициентов влияния сразу для всех зон палетки с помощью системы уравнений (146) целесообразнее, чем предло женный Корфманом [196] способ их определения отдельно для каждой зоны, начиная с внешних зон, так как погрешности определения коэффициентов, достигающие для внешних зон значительных величин, распространяются и на внутренние зоны [205].
8.3.
Методы расчета оседаний, основанные на применении функций распределения 1
Методы расчета оседаний с применением функций распределения представляют собой своего рода переходную ступень от эмпирических методов к методам, основанным на теоретических моделях массива. Все методы этой группы объеди няет то, что в их основе лежат так называемые функции распределения или функции влияния, описывающие характер и степень влияния элементарных площадок, некоторых слагается площадь очистной выработки, на земную поверхность, иак, например, изображенный на рис. 100 элемент dA t очистной выработки вблизи площади полной подработки оказывает на точку Р земной поверхности меньшее влияние, чем находящийся в центре выработки элемент dA2, поскольку он лежит дальше от точки Р и линия, по которой проявляется его влияние, наклонена под меньшим углом к горизонту. \Для практического расчета в большинстве методов этой группы бесконечно малые элементы пло щади палетки объединяются в кольцевые зоны, размеры которых выбираются таким образом, чтобы степень влияния каждой зоны на лежащую в центре па-
1 В Советском Союзе разработаны методы расчета, основанные на функции распреде ления [487] (прим. отв. ред.).
Рис. 100.
Построение тела влияния над площадью пол ной подработки по величинам функции влия ния к2 или по дифференциалам оседания dvz п разбивка этого тела влияния на элементар ные объемы цилиндрическими поверхностями и вертикальными плоскостями, рассекающими его на секторы:
а— разрез; б — план; в— функция влияния А2; 1—
цилиндрические сечения; 2— диаметральные сечения; з— зоны равного влияния на точку Р\ 4— кривая
объема hzr\ 5 — функция влияния hz
летки точку земной поверхности была приблизительно одинаковой (зоны рав ного влияния).
При помощи построенной таким способом палетки можно определить ожидаемые оседания в отдельных точ ках земной поверхности путем простой оценки относительных размеров пло щадей, покрываемых на плане очистной выработки отдельными зонами палетки, выраженных в долях всей площади каждой зоны. Первый метод расчета оседаний с применением интеграцион ной сетки был разработан Кейнгорстом еще в 1925 г. [170], но основанные на этом принципе методы расчета сдви жений до сих пор являются в ФРГ наиболее распространенными.
8.3.1.
Теоретические основы метода зон равного влияния
Метод интеграционных сеток основан на представлении о граничном угле и об определяемой этим углом площади полной подработки. Эта площадь, име ющая при горизонтальном залегании пласта форму круга, мысленно разби вается на бесконечно малые элементы dA, влияние которых на оседание точки Р земной поверхности, лежащей над центром площади полной подработки, зависит от положения этих элементов относительно упомянутого центра. Опыт показывает, что степень влияния, выражающаяся дифференциальной функцией de/dA = кг, закономерно убывает с увеличением расстояния г элемента пло щади dA от центра Р' площади полной подработк^Это распределение влияний отдельных элементов площади полной подработки, характеризующееся свой ством круговой симметрии, в различных методах расчета описывается той или
иной функцией распределения кг (г), чаще всего в зависимости от величины отношения i = r/R (здесь R — радиус площади полной подработки) или от величины зонального угла с, в виде кг (i) или кг (£), где
tgZ = r/H. |
(14/7) |
Если на образующих площадь полной подработки элементарных площад ках построить вертикальные столбики, высота которых в известном масштабе выражает значения функции распределения для этих площадок, то совокуп ность этих столбиков образует колоколообразное тело, совпадающее с телом, образуемым вращением кривой функции распределения, построенной для диа метрального сечения площади полной подработки, относительно оси, нормаль ной к этой площади и проходящей через ее центр [24]. Объем этого тела будет соответствовать полному значению коэффициента влияния, равному единице (е = 1) и, следовательно,
j ^ j d A = 1 . |
(148) |
^ПОЛН
Аналогичным образом можно построить, с учетом масштабного коэффи циента vzn, «тело элементарных оседаний», состоящее из столбиков, высота которых соответствует оседаниям dvz, создаваемым в точке Р земной поверх ности влиянием элементарных площадей dA в соответствии с соотношением
dvz |
= kzvzп. |
[(149) |
На |
Объем этого тела будет соответствовать полному оседанию в точке Р, т. е.
$ |
(«> ) |
^полн
Таким образом, функция распределения kz описывает также бесконечно малые изменения dvz величины оседания вблизи точки Р земной поверхности (см. рис. 100), т. е. характеризует наклон dvjdx [см. формулы (149) и (262)], вызванный подвиганием на величину dx очистной выработки, имеющей очень малый размер в направлении оси х (dA = dx dy при dy = 1). Наконец, интегра ционная сетка представляет собой проекцию на горизонтальную плоскость областей влияния, выделенных вертикальными цилиндрическими и вертикаль ными диаметральными сечениями в зонах секторов равного объема (см. рис. 100).
Чтобы иметь возможность вычертить такую интеграционную сетку, нужно, вообще говоря, представить закономерность кольцеобразного прироста объема области влияния от центра к периферии в виде интегральной кривой, описывае мой уравнением
о
Рис. 101.
Интегральные кривые для различных методов расчета оседаний [24]:
а — сопоставление кривых; б — построение интеграционной сетки для глубины Н2 с помощью зональных радиусов, вычисленных для глубины Ht\1 — по Кейнгорсту; 2 — по Вальсу; 3 — по Бейеру; 4 — по Занну; 5 — по Эрхардту и Зауэру; в — функция распределения *
в котором пределами интегрирования предусматривается возможность измене ния зоны влияния от нуля до радиуса площади полной подработки. Математи ческое решение этой задачи для показательной функции распределения можно найти в соответствующей литературе [36, 75]. В то время как в одном из ука занных решений объем пропорциональной части области влияния определяется суммированием колец бесконечно малой толщины (2яг dr), шириной dr и высо той кг при помощи выражения (151), в другом решении объем части области влияния, разбитой на элементарные цилиндрические объемы горизонтальными сечениями, вычисляется как сумма объемов цилиндрического цоколя (nr2kz) и насаженной на него колоколообразиой части, состоящей из бесконечно тон ких горизонтальных слоев, имеющих высоту dkz и площадь основания яг2. Было предложено еще одно решение [286], в котором площадь, ограниченная осью г и кривой гкг (г), представляющей собой функцию влияния, умножен ную на расстояние г (см. график в нижней части рис. 100), соответствующая объему части области влияния, графически разбивается на пять равновеликих частей.
Следовательно, изменение величины кг дает по оси ординат конечные значения коэффициентов влияния е кольцевых участков площади очистной вы работки на центральную точку Р земной поверхности в зависимости от расстоя ния г или влияния, обусловленного концентрическим подвиганием очистных работ от точки Р' к внешнему контуру площади полной подработки (рис. 101). Равным образом можно получить из функции распределения интегральную кривую для случая, если площадь полной подработки отрабатывается поло сами слева направо (см. методы Бейер'а и Шпетмана). Если, например, разбить
ось ординат (см. рис. 100) на пять равных частей, каждая из которых соответ ствует Де = 20%, то выраженные в долях радиуса площади полной подработки зональные радиусы i = r/R могут быть получены из графика как соответству ющие значения абсцисс для интеграционной сетки, разбитой на пять зон рав ного влияния, и перевычислены для данного масштаба плана горных работ. Чтобы облегчить подсчет при практическом использовании интеграционной сетки, ее концентрические кольцевые зоны разбиваются на восемь секторов с одинаковыми центральными углами, равными 45° (см. рис. 100).
Таким образом, отработка большого зонального сектора в краевой части площади полной подработки оказывает на величину оседания земной поверх ности в точке Р такое же влияние, как отработка сравнительно небольшого сек тора во внутренней части той же площади полной подработки. По их внешнему виду такие интеграционные сетки получили в немецкой терминологии название паутинных сеток. Если имеется интеграционная сетка, построенная для некото
рой |
определенной глубины Н ь |
то зональные радиусы интеграционной сетки |
для |
любой другой глубины Н о |
легко могут быть определены графически при |
помощи чертежа (см. рис. 101), на котором концы зональных радиусов первой сетки соединяются прямыми линиями («зоиальпыми лучами») с точкой Р зем ной поверхности.
Для расчета оседаний вычерченная на кальке интеграционная сетка накла дывается на план горных работ так, чтобы ее центр совпал с проекцией на пло скость плана той точки земной поверхности, для которой производится расчет (см. рис. 38). После этого подсчитывают площади участков очистной выработки, полностью или частично покрытых зональными секторами интеграционной сетки, принимая, что на каждый из 40 секторов, на которые разбита сетка, приходится доля влияния, соответствующая Ае = 100% 40 = 2,5% полного оседания. Полученный суммированием этих площадей общий коэффициент влия ния е, умноженный на величину полного оседания, даст искомую величину оседания и2 = еигп в точке Р в соответствии с формулой (47).
При графическом определении площадей влияния и их суммировании при нимаются следующие пять допущений, характеризующих метод расчета при помощи интеграционных сеток.
Принцип граничных углов и эквивалентности. На данную точку Р земной поверхности действуют только те элементы площади очистной выработки, которые находятся внутри контура, ограниченного конической поверхностью с вершиной в точке Р и образующими, составляющими с горизонтом граничный угол у. Вырезанная из угольного пласта этой конической поверхностью пло щадь влияния (площадь полной подработки) представляет собой круг, радиус
которого |
на глубине |
Н равен |
R |
Н ctgy. |
(152) |
Все площади полной подработки, заключенные внутри конуса, ограничен ного граничным углом, оказывают на точку Р земной поверхности, являющуюся вершиной этого конуса, одинаковое влияние независимо от глубины, на кото рой они находятся (рис. 102). Равным образом все участки угольного пласта, расположенные тта различной глубине внутри узкого пучка лучей, исходящих
Рис. 102. |
|
|
ir2 ~2см |
Р |
Изменение граничных углов и |
оседаний |
|
||
в зависимости |
от |
вынимаемой |
мощности |
|
пласта: |
|
|
|
|
2R — площадь |
полной |
подработн |
влияющая |
|
на точку Р |
|
|
|
|
из точки Р с углом раскрытия ср, являются равноценными по их влиянию па оседание точки Р, несмотря на то, что их площади различны (принцип экви валентности). Принцип граничного угла является предельным случаем прин ципа эквивалентности при ф = 2 (90° — у).
Принцип линейности. Как оседание, так и все остальные параметры мульды сдвижения, пропорциональны вынимаемой мощности пласта и коэффициенту оседания, зависящей в основном от способа закладки выработанного простран ства х. Таким образом, оседания земной поверхности связаны с конвергенцией в очистной выработке линейной зависимостью — вдвое большая конвергенция вызовет соответственно вдвое большее оседание земной поверхности (см. рис. 102). При выемке всей площади полной подработки центральная точка Р земной поверхности опустится на наибольшую величину, равную полному оседанию:
г;2П^ а М . |
(153) |
Принцип суперпозиции. При выемке небольшого участка угольного пласта А неп отношение величины влияния этой выемки на земную поверхность к величине влияния, оказываемого выемкой площади полной подработки, может быть выражено через коэффициент влияния 1, который определяется как сумма элементарных влияний de, обусловленных выемкой отдельных элементов площади йЛ, т. е.
vz= aM ^ -j^ d A = vzne, |
(154) |
^неп
что может быть выполнено при помощи интеграционной сетки. Таким образом, общая величина воздействия очистной выработки на земную поверхность равна сумме воздействий, оказываемых на земную поверхность отдельными
ееэлементами.
1Коэффициент оседания а представляет собой отношение полного оседания к выни маемой мощности, под которой понимается измеренная по нормали к напластованию суммар ная мощность всех слоев угля, породных прослойков и вмещающих пород, вынимаемая при отработке очистной выработки, в состоянии, соответствующем периоду вскрытия место рождения, т. е. без учета тех деформаций породной толщи (конвергенции), которые произо
шли в процессе разработки пласта.
Рис. 103.
Схема, поясняющая принцип су перпозиции:
1 — элементарные мульды оседания;
2 — функция влияния; 3 — элементар ные выработки; 4 — мульда оседания
Общее оседание vz в точке Р равно сумме элементарных оседаний dvZi создаваемых в этой точке влиянием выемки отдельных элементов площади очи стной выработки, каждый из которых вызывает на поверхности земли образо вание элементарной мульды с профилем, представляющим собой зеркальное изображение кривой функции влияния.
При этом следует отметить, что каждый элемент проекции площади очист ной выработки на горизонтальную плоскость, находящийся в пределах кониче ской области влияния, образующие которой наклонены к горизонту под углом, равным граничному углу, а вершина лежит в данном элементе, вызывает оди наковое по величине опускание пород горного массива, убывающее по мере удаления от центра к периферии, которое проявляется в образовании на зем ной поверхности элементарной мульды оседания (рис. 103). В действительности элементы площади очистной выработки, расположенные в ее краевой зоне, влияют на оседание земной поверхности в меньшей степени, чем элементы средней части ее площади, вследствие чего элементарные мульды оседания над краевой зоной выработки получаются более пологими. Эти элементарные мульды, которые можно считать одинаковыми по форме и плотно прилега ющими одна к другой, будут вызывать в точке Р земной поверхности различ ные (в зависимости от положения этих мульд) бесконечно малые оседания dvz[, которые, суммируясь, вызовут некоторое общее оседание и2 конечной величины. Если пренебречь влиянием конвергенции соседних элементов и общей величи ной выемочного участка (как известно, с увеличением площади очистной выра ботки давлевие закладки в ее середине возрастает), то возможно в первом при ближении применить простой ход вычислений. При этом с точки зрения вели чины влияния безразлично, вынимается ли данный элемент площади выра ботки независимо или же как часть некоторой большей по величине площади.
Принцип круговой симметрии. Если нанести на чертеже элементарные мульды с бесконечно малыми оседаниями dvzi, создаваемыми в точке Р отдель ными элементами очистной выработки, и отложить эти величины в виде ординат над соответствующими элементами выработки, то огибающая этих ординат будет графиком функции влияния элементов очистной выработки на централь ную точку Р земной поверхности (см. рис. 103). При горизонтальном залегании пласта величины влияния отдельных элементов очистной выработки на точку Р, выражаемые этой функцией влияния, расположатся относительно точки Р
а — вывод профилей динамических мульд оседания из профиля, отвечающего конечной стадии процесса с помощью временного коэффициента z; б — график развития во времени оседания в точке Р (точка I соответ
ствует |
моменту |
подработки — точки Р, а точка I II — моменту окончания непосредственного воздей |
ствия |
подработки |
на точку Р) |
так, что будут подчиняться закопу круговой симметрии. Из этого следует, что оседание над контуром площади полной подработки должно равняться поло вине полного оседания, так как на данную точку земной поверхности воздей ствуют только 50% элементов всей площади очистной выработки.
Принцип транзитивности. Промежуточные величины оседаний, имеющие место до того, как процесс сдвижения закончится (их называют динамическими значениями оседаний у2дНН), могут быть получены из величины оседания, отвечающей конечной стадии процесса, по формуле
Vzд и .. = zvaК о„ = аМez, |
(155) |
где z — временной коэффициент, т. е. коэффициент, учитывающий закономер ности развития процессов сдвижения во времени.
Таким образом, форма профиля мульды оседания на промежуточных эта пах ее развития качественно подчиняется гем же закономерностям, что и ее конечная форма, постепенно изменяясь с течением времени так, как показано на рис. 104. Входящие в формулу (155) значения величин а, М и z получаются из Данных натурных наблюдений и, следовательно, задача состоит в том, чтобы при помощи интеграционной сетки определить коэффициент влияния е.
Для упрощения вычислений принцип суперпозиции обычно распростра няют и на случаи, когда разрабатываются несколько угольных пластов, т. е. выполняют расчет сдвижений для каждого пласта независимо, не учитывая увеличение степени подработанности горного массива, обусловленное разработ кой других пластов свиты. Следовательно, общее оседание земной поверхности в данной точке определяют, суммируя полученные независимо величины оседа ний, вызванных выемкой отдельных пластов. При этом, поскольку нет точных экспериментальных данных о конвергенции и горном давлении, принимают, что окончательный результат расчета не будет зависеть от порядка отработки пластов, хотя коммутативный закон, строго говоря, нельзя считать вполне справедливым для оценки суммарного влияния выработок, расположенных
одна над другой [225], потому что в случае отработанного верхнего пласта конвергенция в нижележащей очистной выработке имеет большую величину> чем при первой подработке нетронутого породного массива (см. подраздел 6-3).
Кроме того, при расчете оседаний, как правило, исходят их предполо>ке" ния, что породный массив является однородным телом, без геологически* на рушений и складчатости, и что земная поверхность представляет собой гори зонтальную плоскость, а также принимают, что объем мульды оседания на зем ной поверхности приблизительно равен объему конвергенции в очистной вы работке.
8.3.2.
Наиболее употребительные функции распределения* применяемые при расчете оседаний
Втабл. 10 сопоставлены зональные радиусы интеграционных сеток, принятые
внекоторых методах расчета оседаний, разработанных для горизонтального
залегания пласта. Граничный угол равен 55°.
Для четырех методов расчета оседаний — Вальса [9], Бейера [24], Заяна [367] и Эрхардта — Зауэра [75] — ниже приведены принятые в них выражения функций распределения кг (г) или кг (£) от элементарной выработки, а также выражения Kz, описывающие закономерность возрастания конечного воздейст вия подработки на точку земной поверхности при выемке пласта в пределах площади полной подработки путем последовательной отработки концентриче ских полос в направлении от центра к периферии:
для Метода |
Вальса (193^ г.): |
||
kz = cos2 £, |
|
(150) |
|
K z = 0,25 (sin2£ + 2t); |
|||
|
|||
для метода Бейера (1944 |
г.): |
||
kz = k ( i - i 2)\ |
(157) |
||
Kz --=2nkR2 |
— n + l |
||
|
|||
для метода Занна (1949 г. ):
к2= 2,256
(158)
К г = 2я 2,256 (i - l,33i* + l,6t5 - l,523i7+ l,185i»...); j
для метода Эрхардта — Зауэра (19G1 г.):
кг = 0,1392 е-о*»'\ 1
А’г = 2л (1 — e~°’5r2). }
Примененные в различных методах расчета сдвижений функции распреде ления или выводятся аналитически из данных натурных наблюдений, или же базируются на каких-либо предпосылках теоретического характера. Так,