книги / Релаксационные явления в полимерах

Приведенные формулы для частично кристаллических полимеров могут быть непосредственно использованы лишь если известны все постоянные упругости кристаллической фазы. Однако они. могут оказаться полезными и для обратной задачи вычисления постоян­ ных упругости кристаллической фазы по известным из опыта эф­ фективным модулям упругости материала с различной степенью

сдвигового модулей упругости квазиизотропного частично кристал­ лического полимера можно найти модули упругости аморфной фа­ зы, а также объемную и девиаторную свертки тензоров модулей упругости и податливостей кристаллической фазы. Для нахождения всех компонент тензоров модулей упругости или податливостей кри­ сталлической фазы недостаточно исследовать квазиизотропные ма­ териалы — необходимо иметь данные для постоянных упругости ориентационных текстур.

Приближение Хилла дает для эффективного модуля упругости значение, находящееся в середине вилки. Вместе с тем можно при­ вести примеры, когда эффективный модуль упругости находится вблизи одной из границ. Для этого достаточно сослаться на мат­ ричную смесь, включения в которой представляют собой абсолют­ но жесткие шарики. В этом случае как среднеарифметическое, так и среднегеометрическое модулей упругости будут бесконечными, то­ гда как экспериментально определенный объемный и сдвиговый мо­ дули, упругости будут конечными и для малой концентрации ша­ риков их значения должны быть близки к модулям упругости матрицы.

Приведенный пример показывает, что наряду с вилкой Хилла необходимы другие методы расчета, обеспечивающие возможность более точного определения местоположения эффективного модуля упругости внутри известней вилки. С другой стороны, представляют интерес методы, позволяющие сузить вилку Хилла. Ниже дается краткий обзор этих методов.

Вириальное разложение. О основе метода лежит представление, что решение может быть получено в виде ряда по степеням кон­ центраций одного из компонентов. Обычно в этом методе ограни­ чиваются линейным приближением. Поэтому метод приводит к хо­ рошим результатам для матричных смесей, в которых концентра­ ция включений достаточно мала..

Применим метод вириального разложения к матричной смеси, включения в которой представляют собой сферические частицы, причем как матрица, так и включения считаются изотропными.

Исходное равенство в методе вириального разложения выра­ жает связь между средними напряжениями и деформациями во

Здесь считается, что фазы композиционного материала являют­ ся изотропными и характеризуются модулями упругости Ка и ця.

Принимаяпервый раз, что сферическое включение представ­ ляет собой зерно фазы № 1, расположенной в матрице с эффектив­ ными свойствами, а второй раз, что включение соответствует фазе № 2, получим:

(<Тт> - М я ю № , H i, к \ Ц’ ) (ffrt) + M m e № . Ц * Г , Ц*) (<Г„> (V I . 8 6 )

Учитывая, что последнее уравнение матричное, легко видеть, что оно полностью определяет искомые постоянные упругости. Напри­ мер, систему двух уравнений можно получить, выбирая первый раз усредненные напряжения объемными, а второй — сдвиговыми.

Используя решение Эшелби [18] для задачи о сферическом включении в изотопной матрице, в случае W-фазного материала

найдем [14]:

JV

полностью определяют зависимости К* и р* от модулей упругости Ка и ра отдельных фаз.

Эффективные модули упругости армированных композиционных материалов, состоящих из изотропных компонентов, вычислялись этим методом Хиллом [19.]

Сравнивая формулы для эффективных модулей упругости, по­ лученные двумя рассмотренными методами, следует подчеркнуть, что, несмотря на большее изящество доетода самосогласования, вы ражения (VI. 87) и (VI. 88) инвариантны относительно изменения связности составляющих композиционный материал компонентов, т. е. при заданных концентрациях двухфазной смеси метод само­ согласования приводит к одинаковым результатам как для упругой матрицы с жесткими включениями, так и для жесткой матрицы с

Подставляя выражения (VI. 105) в (VI. 104)', находим разложе­ ние для случайного матричного оператора:

Здесь ядро G интегрального оператора M° представляет собой тен­ зорную функцию Грина, явный вид которой дается равенством (VI. 53), a L' = VC'V.

Переходя от смещений к тензору деформаций и учитывая, что согласно (VI. 102) оператор дифференцирования будет стоять со­ множителем непосредственно перед щ для каждого слагаемого ря­ да, можно записать аналогичное разложение для оператора Р, вве­ денного первым из равенств (VI. 107). Таким образом, выражение (VI. 107) вместе с (VI. 68) дает формальное решение задачи о вы­ числении эффективного тензора модулей упругости.

Аналогично можно показать, что ряд (VL107) будет определять эффективный тензор податливостей. Явное значение оператора X в этом случае будет определяться случайной составляющей опера­ тора совместности £.,-Wm = eijPehngVj4nSpqim и тензорной функцией Грина этого оператора.

Хотя метод перенормировок формально позволяет получить точное решение задачи, вычисление интегралов высокой кратности сопряжено с большими трудностями, из которых отметим две:

а) отсутствие явного вида функциональной зависимости для корреляционных функций высокого порядка при негауссовом рас­ пределении;

б) сложность вычисления интегралов высокой кратности. По­ этому расчеты обычно ограничиваются вторым приближением (корреляционное приближение) либо принимается гипотеза локаль­ ности, согласно которой неоднородное поле в пределах зерна за­ меняется однородным.

Согласно корреляционному приближению для двухфазных изо­ тропных композиционных материалов будем иметь [31]:

Учет всех многочастичных взаимодействий в сингулярном при­ ближении путем суммирования рядов по относительным флюктуа­ циям модулей упругости и использование функции Грина уравне­ ния равновесия дает для верхнего значения эффективных модулей упругости [32]:

Если же провести разложение по относительным флюктуациям тензоров податливостей и воспользоваться явным видом функции Грина уравнения несовместности, то в этом же приближении на­ ходим:

[33]. Оно представляет собой единственный случай, когда удается найти точное значение эффективного модуля упругости при произ­ вольном пространственном распределении фаз.

Сравнивая различные приближенные методы, отметим возмож­ ные области их применения. Вириальный метод дает хорошие ре­ зультаты при малой концентрации примесей в матрице, метод са­ мосогласованна — при конечной концентрации, если матричность среды не является определяющим фактором, вариационный метод может быть рекомендован во всех случаях, когда вилка, найденная с его помощью, (оказываегся не слишком широкой, метод перенор­ мировок в сингулярном приближении — при близких концентрациях компонентов, если, как и для метода самосогласования, матрич­ ность среды несущественна.

К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н Ы Е Ф У Н К Ц И И У П Р У Г О Г О п о л я

Деформирование неоднородных материалов приводит к появле­ нию как регулярной, так и случайной составляющей упругого поля.

поля зависит как от топологии распределения компонентов в не­ однородной среде, так и от координатной зависимости регулярной составляющей поля напряжений или деформаций. Ниже будут рас­ сматриваться лишь однородные макродеформации, когда выполне­ ноусловие (оп) = const или эквивалентное ему требование (en) — const. Такой подход соответствует стационарным задачам статистической радиотехники.

Исследование случайного упругого поля представляет интерес в связи с решением задач о локальных перенапряжениях материа­ лов с нерегулярной структурой. Перенапряжения могут приводить к интенсификации релаксационных процессов, поскольку время

релаксации зависит от уровня напряжения в данной точке поли­ мера. В хрупких материалах локальные перенапряжения могут приводить к возникновению микротрещин, а в пластичных в мес­ тах с повышенными сдвиговыми напряжениями могут развиваться пластические микродеформации, приводящие к локальному повы­ шению плотности дислокаций и охрупчиванию материала. Отсюда ясно, что разработка методов расчета статистических характери­ стик упругого поля нерегулярных структур имеет важное значение для физики и механики микронеоднородных твердых тел.

Полную информацию о случайном упругом поле можно полу­ чить из многомерной функции распределения, характеристического функционала или всей совокупности корреляционных функций выс­ ших порядков [34—36]. Однако во многих задачах достаточно огра­ ничиться анализом корреляционных функций второго порядка. Под­ черкнем, что такое описание будет более полным, чем при помощи среднего значения и дисперсии, поскольку дисперсия представляет собой значение бинарной корреляционной функции в нуле.

Ниже рассмотрены следующие корреляционные функции:

которые описывают бинарные корреляции векторов смещений щ и углов поворота а *, тензоров второго ранга деформаций е,;- и напря­ жении оц, а также тензоров четвертого ранга модулей упругости Сны и податливостей

В соответствии с определением, бинарные корреляционные фун­ кции представляют собой тензоры ранга 2N, где N — ранг тензора (вектора), для которого определяется данная корреляционная функция. Поскольку корреляции находятся для двух точек г и г0, то, вообще говоря, корреляционная функция второго порядка должна зависеть от двух переменных: г и Го или г — Го и г + г 0. Од­ нако в случае статистической однородности из условия инвариант­ ности относительно преобразования переноса следует независимость корреляционных функций от г + г0. При этом имеет место услозие эргодичности, когда пространственное среднее совпадение со сред­ ним по ансамблю эквивалентных систем.

Из определения корреляционных функций следует, что для ре­ гулярных структур, когда имеет место периодичность в простран­ ственном распределении компонентов, корреляционная функция также должна быть периодической. Напротив, для неупорядоченных структур, когда может иметь место лишь ближний порядок, корре­

Все три отмеченные функции могут быть использованы для опи­ сания неоднородных сред с резкими границами раздела между фа­ зами. В то же время выражение (VI. 127) можно применять для описания систем с плавным изменением свойств.

Функции (VI. 124) — (VI. 127) могут быть использованы и для описания текстурированных композиционных материалов, анизо­ тропия которых обусловлена формой включений. В этом случае необходимо провести замену [42]

смотрены более сложные среды, получающиеся наложением одно­ направленных волокнистых текстур [38]. Примером материалов со сложной текстурой могут быть тканевые стеклопластики.

Перейдем теперь к анализу тензорной зависимости корреля­ ционной функции второго' порядка модулей упругости. Из равен­

ства (VI. 124) видно, что она определяется сомножителем Apfrls. Рассмотрим механическую смесь двух изотропных компонентов. Подставим в тождество

Корреляционная функция вектора смещения нетекстурированных материалов. Корреляционные функции упругого поля целиком определяются регулярной компонентой напряжений или деформа­ ций и корреляционными функциями модулей упругости. В отличие от равенства (VI. 123), в котором принята физически обоснованная