sHkl = smn’ К0ГДа т и п равны 1, 2 или 3 2s</fcZ= smn* К0ГДа или т>или п равны 4, 5 или 6
^sijk l~ smn.' когДа т и п равны 4, 5 или 6
Виды симметрии матриц стп и smn для изотропной, гексагональ ной, кубической и орторомбической систем приведены на рис. VI. 1.
Тензоры модулей упругости и податливостей для изотропных сред. Анизотропия может быть учтена не только в матричной, но и в тензорной записи постоянных упругости. Прежде чем рассма тривать общий случай анизотропной среды, проиллюстрируем ме тод на простейшем примере изотропного материала.
Произвольное напряженное состояние можно всегда разбить на два простых: объемное и девиаторное (сдвиговое) [7, 8]. Введем тензоры, действие которых на тензор напряжений или деформа ций приводит к выделению из них объемной и девиаторной состав ляющих. Для этого примем во внимание, что единичный тензор четвертого ранга 1цы может быть выражен через единичные тен зоры второго ранга ô,;- при помощи соотношения
hjkl = у (ôiftô// + 6,-jô/fe) = ô; (ftô/) t (VI. !5)
Нетрудно убедиться, что имеют место тождества
ltlkllklmn= rilmn> llfklakl “ ati
(V1‘ 16)
которые по определению должны выполняться, так как
тензор
hjki — единичный.
сле
Разобьем единичный тензор на составляющие Vijhi и
дующим образом:
(VI. 17)
I m — Viju + Dijki
V*/ftz = y ô z A z
(VI. 18)
Dtlkl = у [àikbn + àu&jb — y àifîktj
(VI. 19)
Эти составляющие могут рассматриваться как единичные объ емный и девиаторный тензоры. Действительно, умножение этих тен зоров на тензоры напряжений и деформаций выделяет из последних объемную и девиаторную составляющие:
vHkiaki ~ у
0*/А / = у аб//
(VI. 20)
Dilblakl — ail ~ У akk°lJ — аи
(VI. 21)
vnkieki= у
e* j A/ — у eôzz
(VI. 22)
DUkieki~ eu
гкь°и— га
(VI. 23)
З П
Легко убедиться, что тензоры У^ы и 1Уцы обладают свойством, аналогичным условию ортонормировки единичных векторов:
Приведем еще значения сверток единичного, объемного и девиаторного тензоров:
/iIkk — ài/'. Viikk = àij,
Dijkk *= О
(VI.25)
Л/fe/ = 2ô<ft;
Vi/ft/ = ÿ ô (ft,
==-|- ôift
(VI.26)
liikk — 3-,
Viikk — 3,
Dukk =
о
(VI.27)
Лл/ft = 6;
Кш* = I,
A'ftjft =
5
(VI.28)
Объемный и девиаторный тензоры позволяют представить тен зоры модулей упругости и податливостей изотропной среды в компактной форме:
cllkl= SKVHkl + 2PDtiki
(V1,29)
stjki = з
viw + 1JT °чы
^V1,30*
где Л и ц — объемный и сдвиговый модули упругости.
Проводя в выражениях
(VI. 29) и (VI. 30)
последовательно
свертку соседних и перекрестных' индексов и учитывая равенства (VI. 27) и (VI. 28), можно получить следующие выражения объем ного и сдвигового модулей упругости через тензоры модулей упру гости и податливостей:
^■— ~^сИкк'
^ == "ny ( C/ft/ft ~
3" cilkk)
(VI. 31)
~ siikk'
"jT " 5" [sikik — "з" Л/ftft)
(V1, 32)
Соотношения (VI. 31) и
(VI. 32) могут
быть использованы для
вычисления средних модулей упругости неоднородных материа лов.
Выражения (VI. 29) и (VI. 30) для тензоров модулей упруго сти и податливостей позволяют представлять закон Гука в виде соотношений между объемными и девиаторными составляющими
тензоров
напряжений
и деформаций. Подставляя,
например,
(VI. 29)
в (VI. 11) и
умножая обе части равенства
последова
тельно на единичный объемный и девиаторный тензоры, получаем два равенства:
а = 9/Се
(VI. 33)
>
а,у= 2 ц 1 „
(VI. 34)
Тензор модулей упругости анизотропных сред. Для анизотроп ных сред тензоры модулей упругости и податливостей также моrÿT быть выражены через единичные тензоры. Однако теперь уже не удается представить результаты в такой компактной форме,
как это было сделано для изотропного тела, в связи с тем что ко личество различных постоянных упругости для анизотропного тела больше двух.
Если материал обладает орторомбической симметрией, то тен зоры модулей упругости и податливостей в кристаллографической системе координат могут быть представлены в виде следующей комбинации ô-символов и постоянных упругости [3]:
Cllkl = 2 [*An®/AArt+
filfilfik l + ®»AAn)+ 4vA (I®/) (A)nl
(VI. 35)
stlkl= 2 FAA A An+ mn fi ( fi ,fikl + ®<AAn)+ 4яА (fil) (fil) nl
(VI.-36)
Здесь, как и прежде, по индексам, заключенным в круглые
скобки, проводится симметризация:
4®« (1®/) (*®0 а = bniàjkbtn + ànfàtkàtn + à n ià jfik n + b n fîlfik n ( V I . 3 7)
Коэффициенты Ku Pi и v4 следующим образом связаны с мат
ричными постоянными упругости:
Я> == С11 + CS3+ 2С44 — (С|2 + Си + 2С(5 + 2свв)
Яг= С г + с^ + 2с55 — (С|г + С з + 2с44 + 2свв)
Яз — Сэз + С и + 2свв — (с п + Сгз +
2е44 + 2cS5)
(VI. 38)
2ц|=С1г + С|з — с2з;
2vj = С55
+ eg#— с44
2Ц = с,г + ct3 — с,3;
2v2 = с44 + ce«— cs5
2рз = Cj3 +
С2з — C12;
2v3 = с44 + Ces — Cj(
Аналогичные соотношения можно получить для податливостей. Орторомбическая система характеризуется девятью постоянными упругости. Поэтому формула (VI. 38) содержит девять соотноше
ний между коэффициентами.
Сц =
При тетрагональной
симметрии, учитывая соотношения
•==_ С\2} 013 = ^23» ^44 =
Ё55> ПОЛуЧИМ:
Al =
А2 =
Сц — (С12.+ 2Сбб)
Аз2=2 Сзз 4“ ci2 + 2с$в — 2(cj3 2си )
(VI. 39)
2[ij =
2ц2« с12\
2|лэ= 2с,з — с,2
2v, =
2V2= с9в;
2v$ =* 2с44 — см
Переходя от тетрагональной к гексагональной симметрии при
помощи соотношения
сб6 =
(сп — с12), найдем:
Я, — Я2 — 0;
Я3 — Сц -t* с33 — 2 (сц + 2с44)
2 р , =
2Ц г = С 1г;
2 д 3 = 2с1Э — с ,2
(VI. 40)
4vj = 4VÎ = Сц— С|2» 4vj = 4с44 + сi2 — Сц
При переходе от тетрагональной к кубической симметрий, ис*
пользуя соотношения С22 = С33, С12 =
С13, С55 == Сев» получим:
А>1 = Я>2 = Я3 = Сц
С12
2С44
ц, =
ц2 =
Из =
i- С,2
(VI. 41)
Vi =
v2 =
V3 =
1
-J с44
Для изотропной системы 2с44 = cn — ci2, откуда
Л|
Я.2== Яз ■—О
И, = (i2 =
(i 3 = i - c 12
(VI. 42)
v, =
v2 =
v3 =
■j (c,, — c!2)
Учитывая найденные выражения для одноиндексных постоян
ных упругости, формулу
(VI. 35)
для систем с рассмотренными ти
пами симметрии можно записать в виде:
и з о т р о п н а я с и с т е м а
ctjki ~
+ 4vi8{(k^i) 1
(VI. 43)
к у б и ч е с к а я
c°ljkl = c\]kl + ^1 S
(VI. 44)
г е к с а г о н а л ь н а я
= c\]kl + ^38i30/3*fc38/3 +
(Рз — Pi)
3813 +
àl3àj3bkl) +
т е т р а г о н а л ь н а я
+ 4 (v} — V,) Ô3 (iôy, (ftôj) з
(VI. 45)
c\ikl — c?/w + ^1
2П
(VI. 46)
Аналогичные соотношения можно составить и для тензора
Sijhl-
Перейти от кристаллографической системы координат к произ вольной декартовой системе отсчета можно при помощи направ ляющих косинусов ац:
Сцы “ aipalqakralscpqrs
(VI*
Основные уравнения теории упругости. Расчет напряженнодеформированного состояния тел различной конфигурации связан с решением волнового уравнения для динамических задач и урав нения равновесия для статических и квазистатических задач. По скольку ниже рассматриваются лишь случаи, для которых силами инерции можно пренебречь, ограничимся анализом уравнения равновесия:
а 1к, к + h — 0
(V1*48)
Выражая в этом уравнении тензор напряжений через тензор де формаций и учитывая симметрию тензора модулей упругости от
носительно перестановки индексов сцы =
= Cijik получим:
°ijkluk // ~Ь /f — О
(VI. 49)
Решение уравнения (VI. 49) при соответствующих граничных условиях определяет поле векторов смещений, что позволяет вы числить и остальные характеристики упругого поля. Для неогра ниченной среды решение этого уравнения можно представить в виде интеграла свертки
« г (г) = J Gik (г —г') fk (г') dr’
. (VI. 50)
ядро которого представляет собой тензорную функцию Грина. Введенная таким образом функция Грина G,h(r) имеет следую щий смысл: она дает компоненту щ вектора смещения и в точке г при условии, что в начале координат приложена единичная то чечная сила, действующая по направлению оси Xh. В соответ ствии со сказанным, функция Грина определяется следующим дифференциальным уравнением:
om f i km. I, (r) + ô(r)ôim = 0
(VI. 51)
Если тело ограничено поверхностью 5 и имеет объем V, то
распределение смещений может быть описано
при помощи той
же тензорной функции Грина, однако теперь
наряду с
объем
ным интегралом появляется и поверхностный интеграл [4]:
и« (г) = | Gmk (г — г') fk (/) dr' +
v
+ J К (О cm iGkm_1{ г - г ’) + в 1т(г - / )
al} (К)] dS'
(VI. 52)
Приведем явный вид функции Грина уравнения равновесия:
О л М — g
(VI. 53)
* - T Ï 2 T l ~ K~ b
<v,-54>
Здесь первое выражение определяет функцию Грина в коор динатном представлении, а второе представляет трансформанту Фурье, которая связана с оригиналом соотношениями:
g,к(*) =
/ Gfk (г) e~lkrd r
(VI. 55)
О » M =
8ЙГ J Bik (ft)
dk
(VI. 56)
Отметим еще дифференциальное уравнение, известное как ус ловие совместности:
(VI. 57)
315
Физический смысл этого условия состоит в требовании, чтобы деформирование не сопровождалось образованием пустот и мик ротрещин. Если же в материале имеется нарушение связности, например, есть дислокации, то уравнение (VI. 57) принимает вид:
eikmejlnÉkl, тп + Tli / = 0
(VI58)
где TJÏ,-(г) — тензор несовместности, связанный с тензором плотности
дислокаций aij(r)
соотношением:
Л;/ = етп Uai)n, т
(VI. 59)
Для уравнения
(VI. 58) также можно построить функцию Гри
на. Однако если функция Грина уравнения равновесия представ ляла собой тензор второго ранга, то уравнение несовместности требует введения в качестве функции Грина тензора четвертого ранга. В работах [5, 6] соответствующее уравнение и его решение приведены в явном виде.
МОДУЛИ УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД
Для микронеоднородных материалов характерна простран ственная флюктуация физических свойств. Модули упругости та ких материалов будут изменяться при переходе от точки к точке. Причиной этого может быть как образование надмолекулярных
структур, так и гетерогенность, связанная
с армированием.
Если
в пределах данного структурного элемента
(зерна) упругие
свой
ства постоянны, то можно ввести пространственный масштаб кор реляций, равный по порядку величины среднему размеру эле мента структурной неоднородности. В противоположном случае, когда свойства плавно меняются при переходе от одного участка к другому и отсутствуют резкие границы между элементами структурных единиц, также можно ввести пространственный мас штаб корреляций, аналогично тому, как это делается для простран ственных и временных флюктуаций плотности воздуха, которые приводят к рэлеевскому рассеянию.
В обоих рассмотренных случаях для объема, линейные размеры которого в любом направлении существенно больше пространст венного масштаба корреляций, можно ввести средние значения данной величины. Применительно к закону Гука будем рассматри вать средние напряжения и деформации. Проблема вычисления модулей упругости неоднородных сред состоит в нахождении коэф фициента пропорциональности между средними напряжениями и
деформациями. Обозначим усреднение угловыми
скобками,
тогда:
( a i l ) ~ ci}kl(ekl)
(V I. 60)
Тензор
модулей упругости, определенный
соотношением
(VI. 60),
получил
название
эффективного. Как
будет
показано
ниже, он
не равен
среднему
тензору модулей упругости
(сцм) и
для большинства структур может быть вычислен лишь прибли женно.
Прежде чем переходить к вычислению эффективного тензора модулей упругости, приведем классификацию материалов по ви дам неоднородностей.
Гетерогенная среда, состоящая из произвольного числа фаз, называется, многофазной. Если в многофазном материале одна из фаз образует матрицу (односвязная область), тогда как другие располагаются в виде включений произвольной формы (много связные области), то такая структура называется матричной. Важным частным случаем многофазных материалов являются частично кристаллические полимеры и многофазные поликри сталлы. Последние иногда называют также поликристаллической смесью [9]. В зависимости от анизотропии упругих свойств гово рят о наличии или отсутствии текстуры. В большинстве случаев причиной текстуры является преимущественная ориентировка вы тянутых зерен или волокон вдоль какого-либо одного или несколь ких направлений. Такая текстура имеет место и при изотропных свойствах составляющих ее компонентов. Однако текстура может быть связана и с преимущественной ориентировкой кристалло графических осей кристаллитов вдоль какого-либо направления. В последнем случае принято говорить об ориентационной текстуре в отличие от текстуры формы, связанной с ориентацией волокон. Наконец, возможен и смешанный случай, когда оба фактора иг рают существенную роль. В дальнейшем, однако, последний слу чай рассматриваться не будет.
Приведенная классификация дает представление о многообра зии неоднородных материалов, откуда следует, что эффективные модули упругости должны определяться не только модулями упругости компонентов и их взаимной концентрацией, но и пара метрами структуры — формой областей и ориентировкой кристал лографических осей компонентов. При этом удается вычислить точно эффективные модули упругости лишь для некоторых про стейших структур: слоистой среды, смеси двух изотропных компо нентов с совпадающими модулями сдвига и матричной смеси, сферические включения в которой имеют достаточно малую кон центрацию. Вычисление эффективных модулей упругости произ вольных структур наталкивается на большие трудности не только вычислительного, но и принципиального характера. Действитель но, из условия жесткого сцепления между зернами следует, что деформирование одного зерна должно неизбежно сопровождаться деформированием соседей, причем взаимное влияние соседних зерен может быть существенным. Отсюда видно, что в общем случае вычисление эффективных модулей упругости сводится к из вестной проблеме многих тел.
Для представления о трудностях, стоящих на пути решения таких задач, сошлемся на случай идеального газа. Несмотря на то, что потенциал взаимодействия отдельных молекул известен,
статистическая теория неидеальных газов дает лишь приближен* ные формулы’ для макроскопических параметров. Ввиду того что расстояния между молекулами гораздо больше их размеров, можно успешно применять теорию вириального разложения, когда реше ние ищется в виде разложения по параметру, эквивалентному кон центрации (например, отношение объема, занятого молекулами, к свободному или полному объему газа). Однако если взаимодей ствие между элементами в принятой расчетной модели среды не слабое, то метод вириального разложения оказывается непригод ным. Из-за упругого взаимодействия между зернами неоднород ных сред задача сводится к проблеме многих тел с сильным взаи модействием. С аналогичной проблемой пришлось столкнуться в квантовой электродинамике, где для ее решения были разрабо таны различные методы. В дальнейшем эти методы стали широко использоваться в теории турбулентности и механике микронеоднородных сред.
Будем для определенности рассматривать двухфазный мате риал. Обозначая величины, относящиеся к данному компоненту, индексом а и считая, что для каждого из компонентов справед лив закон Гука
„а _ -а ра.
I s® (J®
(VI. 61)
°тпгя
найдем, что он справедлив и для всего композиционного мате риала
От — cmnRn>
— sninan
(VI. 62)
причем коэффициенты стп и smn являются кусочно-гладкими функ циями своих аргументов. Здесь используется матричная форма записи. Величины от и Ет образуют векторы в шестимерном про странстве, а стп и smn— матрицы.
Разбивая величины, входящие в равенства (VI.62), на регу лярные и случайные составляющие и проводя усреднение обеих частей равенств, найдем:
<"«> = (Стп) <«*> +
(с'т пО
(VI63)
( г т) = (*тп) (° п ) +
< W О
(VI64)
где штрихами обозначены случайные составляющие.
Эффективные матрицы модулей упругости и податливостей в соответствии с определением (VI. 60) будут связывать регулярные значения напряжений и деформаций:
(у 1-6g)
(em )= smn(an)
(VL 66)
Можно ожидать, что случайная составляющая упругого поля будет тем больше, чем больше его регулярная составляющая.
В рамках линейной теории
ет = РщпЫ
(VI. 67)
а 'т = Q m n {°п)
В общем случае Ртп и Qmn не могут быть постоянными, по скольку случайная составляющая должна изменяться при пере ходе от зерна к зерну. Они не могут быть и функциями, значения которых определялись бы, например, номером компонента, ибо в этом случае однородная макродеформация приводила бы к од нородному упругому полю и в пределах зерна, т. е. не учитывался бы эффект изгибов и искривлений зерен. Поэтому можно ожи дать, что величины Ртп и Qmn должны представлять собой инте гральные операторы, учитывающие нелокальность деформации, т. е. тот очевидный факт, что деформация в данной точке зерна определяется не только средней деформацией материала и свой ствами данного зерна, но и деформациями в непосредственной окрестности рассматриваемой точки.
Подставим теперь соотношения (VI. 67) в (VI. 63) и (VI. 64):
стп (ртпУ"I” (cmqPqn)
(V I. 68)
smn ~ (,smn) "Ь (.smqQqri)
(V I. 69)
Отсюда видно, что задача вычисления эффективных постоян ных упругости сводится к вычислению случайных интегральных матричных операторов, связывающих регулярные и случайные со ставляющие полей напряжений и деформаций.
Поскольку матрицы Ртп и Qmn в общем случае представляют,
собой
интегральные операторы, то и эффективные матрицы с*тп
и s*mn
также не будут постоянными. Учет этого обстоятельства по
зволяет развить теорию, в которой средние напряжения представ ляются в виде разложения в ряд по различным степеням производ ных от тензора деформаций. Соответствующая теория получила название моментной. Однако для случая, когда неоднородность усредненного упругого поля на расстояниях порядка масштаба корреляций пренебрежимо мала, вторые слагаемые в выражениях (VI. 68) и (VI. 69) будут постоянными, а матрицы с*тп и s"mn —
числовыми.
Вычисление средних модулей упругости. Если в соотношениях (VI. 68) и (VI. 69) пренебречь вторыми слагаемыми, то задача вы числения эффективных модулей упругости сводится к нахождению средних модулей упругости и податливостей.
Из сопоставления равенств (VI. 68) и (VI. 63) видно, что, при няв эффективный тензор упругих модулей равным среднему, мы тем самым приходим к однородности поля деформаций. В то же время поле напряжений может обладать случайной составляющей. Такое приближение было впервые предложено Фойгтом в задаче
о вычислении модулей упругости поликристаллов 110]. Сопоставляя равенства (VI. 69) и (VI. 64), находим, что в этом случае из равен ства между эффективной и средней податливостями следует усло вие однородности поля напряжений. Деформация при этом может
.обладать, вообще говоря, случайной составляющей. Этот подход был использован Ройссом [11] для той же задачи вычисления упру гих модулей поликристаллов.
Оба подхода являются приближенными, однако, как показал Хилл [12] в 1952 г., средние модули упругости и податливости оп ределяют вилку, внутри которой находится точное значение эффек тивного модуля упругости. Исходя из этого, Хилл предложил в ка честве приближенного значения эффективного модуля упругости брать среднее арифметическое или среднее геометрическое из край них значений. Модулями упругости, по Хиллу, принято называть средние арифметические из модулей упругости, найденных усред нением по Фойгту и Ройссу.
Ку =
(КУ,
Кк = ( ± У '
Кн - ± ( К у + Кл)
(VI. 70)
,1И=
(И);
**-(• £ ■ ) '
ия = ^-(Ик + йЛ)
(VI.71)
причем, согласно отмеченному выше, средние по Фойгту и Ройссу определяют границы для точного значения эффективного модуля упругости:
Кя < 1 С ^ К у
(VI. 72)
(VI. 73)
Для W-фазцой механической смеси изотропных компонентов, обозначив их объемные концентрации через va, получим:
* и = 2
°Л » :
< V = 2
" Л
(VI. 74)
К*' = 2
«aKâ1;
V-R1= 2
W
(VI.75)
Для частично кристаллических полимеров со степенью кристал-
личности V вместо (VI. 74)
и (VI. 75) находим:
Kv ^jvc^ikk + {l-v)Ka
(VI. 76)
PV ~ ~ Ï Q v (*ШЙ - J с“ш ) +
0 - « ) I».
(VI. 77)
К]? * =
vs*lkk +
( 1 “ v) Ка *
(VI. 78)
и * 1— J ® («ПН* “ T
s?/ftfe) +
( i - V) рГ 1
(VI. 79)
Здесь индексами «к» и «а» обозначены величины, относящиеся
соответственно к кристаллической и аморфной фазе.
При выходе формул (VI. 76) — (VI. 79)
использовались средние
по ориентациям модули упругости кристаллов-согласно соотноше ниям (VI. 31) и (VI. 32).
