книги / Пространственная модель турбулентного обмена
..pdfПри о = 0,5 -г 1,0 схема |
(1,8Г) абсолютно устойчива |
(см., |гапример, |
|||
[2, |
3 0 ]), т.с. итерационный |
процесс сходится. Можно |
сказать, что при |
||
о= |
1,0 схема (1.8) имеет "двукратный" запас устойчивости. |
||||
Ос уравнении |
(1.8) в |
соотнстсгини с (1.7) перейдем |
к следующему: |
||
(7льЛд ♦•СдКр1 - 0 ° ) |
а |
- 7 1кЛ ц19°)*уНей кш |
(1.9) |
||
где |
с - дока нронэиопьная матрица. |
|
|||
Эю уравнение, как нетрудно заметить, тождественно урапнени |
|||||
|
(Т« л (к 4 <7ь) {'Р1) = У(к Л* ♦ См (V»0) |
(1 -9') |
|||
(см. работы (4, 6] |
и д р .). |
|
|
|
Чтобы упростить обращение оператора, стоящего л левой части уравке*
ния (1.9) шит (1 .9'), выберем матрицы Г и С такими, чтобы |
|
|
|
|||||||||||
(П4 |
д К = ДЯК, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.10) |
|||
где Я |
л Л - |
матрицы более простые, чем А, с единичными элементами |
||||||||||||
на главной диагонали, V - произвольный вектор. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Имея в виду |
уноминапиишея запас устойчивости |
схемы |
(1.8') при |
|||||||||||
а - 1,0, можно |
надеяться, что При малой норме матрицы С по сравнению |
|||||||||||||
с нормой матрицы ГЛ итерационный процесс |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
/?$(Ф(Я) _ ф<" - 1>) = |
ГР - |
ГА Ф(№- 1 \ |
|
|
|
|
|
|
(1.11) |
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/?$«!><"> = |
ГЛЧСФ*"- 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-11') |
||||
будет сходиться. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Краме того, |
дня усиления |
устойчивости |
итерационного процесса (1.9) |
|||||||||||
в линейную функцию с^(о) |
всегда |
можно |
включить |
регулярнэатор |
||||||||||
0,* (и) типа |
с{ки^ - л 1а(Ди)/*. Итак, в |
развитие идей (2.9), (2.10) гл. 3, |
||||||||||||
(1.5) |
или (1.9), (1.10) линейную функцию |
г/д (и) представим в виде |
||||||||||||
|
= Оп(р) + Нн(ь) + (}н(р). |
|
|
|
|
|
|
|
(1.12) |
|||||
где С/*(<р) - |
некоторая |
линейная функция, |
не |
содержащая |
компонент |
|||||||||
линейной формы /4,*(ц); //м (в) служит для |
компенсации |
итерируемого |
||||||||||||
выражения и может содержать только |
компоненты |
линейной |
формы |
|||||||||||
А)[*(о); |
б]*(о) |
— регулярнзатор, который может |
|
состоять |
лишь |
из КОМ* |
||||||||
ноиенг лннеГшой формы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Как |
и в |
[4, |
6], при |
практической |
реализации |
этой идеи |
струкзура |
|||||||
матриц Я и 5 |
задастей, а матрица О получается. Указанное выше требо* |
|||||||||||||
наннс, |
наложенное |
на 2>, позволяет связать /> с Я ы |
5. |
А далее, после |
||||||||||
выбора |
матриц |
// |
и |
условие (1.10) |
позволит |
связать Я, $ |
|
и Г с А- |
||||||
Матрицы Я н 5 могут |
выбираться произвольно. От их выбора будет за |
висеть наличие сходимости и скорость сходимости итсрацлошюго про
цесса (1.9). |
|
Для; обобщения схемы |
(1.11) в правую часть уравнении (1.1 ]) мож |
но внести релаксационным |
параметр тп. Если же в итерационном процес |
се (1-11) не пользоваться никакими дополнительными параметрами, то
его лучше использовать в виде (1.11) или, с учетом |
(1.12), |
||
/ЫФ(Я) = |
+ |
+ |
(1-13) |
191
Обозначив $Ф = 2 .записываемуравнение (1.13) иилцесистемы
Л2.<я> |
= |
ПГ + (1М-Я + (2)ф<п- П ( 5ф<«) = 2<">. |
(].]4> |
Если |
сумма коэффициентов всего итерируемого выражении |
0 /к(^} + |
|
+ ^ 1с(р) |
+ |
в схеме (1.13) будет мала но сравнению с характерными |
значениями коэффициентов пикейной функции &,*(<?), то в итерационном процессе будут прежде всего хорошо подавляться низшие гармоники ошибок. Б соответствии же с интегральной структурой решения уравнения (1.2) при эллиптическом регуляриэаторс Оц(*р) в схеме {1-13) долж ны хорошо подавляться и высокие гармоники ошибок. Таким образом, в схемах типа (1.13) будет хороша подавляться весь спектр ошибок при ближений.
§ 4.2. Неявная схема неполной факторизации с регулярного ром Перейдем теперь к конкретной покомпонентной записи системы (1.14).
Матрицы Л к 5 возьмем из схемы (1.5) л |
с. запишем |
||
- аОс2^ I,к = ТГтЛг Лк+ Ямг(^)+ |
|
^ ц |
|
Ф1к - &1кФ1.к-1 -&<кМ.к М |
.к |
= |
|
Тождество (1.10) с учетом (2.1) запишется следующим образом: |
|||
(I 4 <>№&- !,* )№ |
1 л - А*«Й.к-1 ~ &ИеФ1.к* 1 - &*У>Т+ 1.А + |
||
4 »№А-1,к Л-1л |
4 “г*5*-1 ,* *?1-1 |
■ = Ъ к А,а(у») + Д*(?) 4 |
|
+ Н(к& )+ <}{*&). |
|
|
(2.2) |
Из сопоставления левой и правой частей тождестве (2.2) с учетом струк туры линейной функции
А*к(\р) = |
Р1кЧ>1к |
|
1.К - Ъ п Я .* - 1 |
~ ^ 1 к^ .к* I |
-^]*У > Т тц к |
(2 .3) |
|
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
Вйк№) Е |
« /* (А -1 |
|
1,к- I |
+ б/_ , |
1Л+ ,). |
|
(2.4) |
Примем далее |
|
|
|
|
|
|
|
*«(*> “ |
~ агк |
1,*(* |
| ,* 4 Оф{к)I |
|
|
(2.5) |
|
где 0/ _ |1А- |
** &г- 1,к |
+ А - I,** |
* 4 в = |
I. Лилейную |
функцию |
{?,*(у) |
составим из компонент линейной формы ЪкАцс(.р)- Заслуживает внима ния прежде всего регуллриэатор в вице
С/*(р) |
= г1кЫк -РнФг.к- |
1 -^{к^Р1М I |
“ |
I ,*) * «Мс #к*>1А» |
( 2 .6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где г/а и |
- некоторые положительные коэффициенты. Тогда из тождест |
|||||
ва (2.2) с учетом (2 .3 )-(2 .6 ) |
следует: |
|
|
|
||
* л О |
- |
* « /-!.* ) " ?/**« . |
|
|
|
|
Р/к( 1 |
|
= 7ягА*. |
|
|
|
|
$1*0 |
~ гДк) = 7/*<7*. |
|
|
|
|
|
в«(1 |
“ г« ) = 7Гк&к. |
|
|
|
|
|
1 4 «1* $ |-1 ,* = 7№ Р1к ~ °°1- 1 ,к *1к 4 г« |
4 |
а1к• |
(2 .8 ) |
Из соотношения |
(2 8) с учетом (2.7) |
получаем формулу |
для |
. Если |
|||
г,-л принять нс зависящим от а{к, то |
|
|
|
|
|
|
|
71* (РГА + 0 - |
* 0 |- 1.кТ'<Чк(Ък - И - |
I.* - |
Ь - |
|,Аг)1 я |
1 ~ |
|
С2-9) |
Если ЖС принять |
т{к = Г(М^ 1к ,1 0 |
|
|
|
|
|
|
7 « 1 Р4к + ( К ^ - |. а) ' ,^ * (Л ’Дс +^А: +®ЛО.-_1,Я |
“ |
*Г- |
= |
*■ |
(2-Ю ) |
Исследуем пространственную устойчивость схемы (2.) ) - (2 .Ю ) . Ме тодом индукции легко показать, что коэффициенты /?г*. б<*. I а Удовлет воряют условию
А* + 8га + |
|
< 1 - |
|
|
|
(2 . 1 1 ) |
|||
Действительно, из соотношений (2.8) и (2.7) получаем |
|
||||||||
I “ Г,* ■ |
СГ,*(1 -К О |_ |
| .*) |
1,к - а(кЬ~ I,* |
+ |
|
||||
+ (I |
- г,*) 0?,* + «,* + Ь а) + 7г*%* + сл *Лк, |
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
- |
Г(к ) ^1 - |
0 /* |
- 5 ^ |
- € « ) |
” “ г * О - А - 1 ,к - 6 | _ |
1 ,1 с - |
I , * ) + |
|
+ |
7 ,•* -< & * + е № в ] * , |
|
|
|
|
<2 , 2 > |
|||
<?йк |
= Рг* - 0,А - |
А* “ <7* - |
4* . <?/* > 0 . |
|
|
||||
Из соотношения (2.12) следует неравенство (2.11). |
|
|
|||||||
На основании |
(2.12) |
можно записать теперь более жесткую оценку для |
|||||||
коэффициентов А*->А* и \{к: |
|
|
|
||||||
Е (к = А* |
|
+ $!* + (> ~ тГЛ-)1 (7н<?/к +.*!**?*) < |
). |
(2-13) |
|||||
С использованием (2.7) и (2.13) получаем оценку |
|
|
|||||||
|
|
|
(1 |
~ Гд)ДЦ_____________ |
|
(2.14) |
|||
|
|
(Ьль + |
|
+ ^1А + <г№)■*■*««« |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
где а№ = (I - ка*_|.*)"1в№* |
слагаемое ег* сг/к р[к в |
|
|
||||||
Согласно |
формуле (2.14) |
неявной схеме ( 2 .1 ) |
|||||||
существенно |
прежде всего на правой границе рассматриваемой о б л ает в |
нижнем н верхнем углах (где су* = Ь{к ® 0 или сГк = 4Гк = 0).
Ввиду рекуррентности формулы для г<» желаемые значения коэффи
циентов |
7(к И €н МОЖНО |
составлять ИЗ коэффициентов0Г-1,*| 8/ |
- 1 ,*| |
|
^ Если в рсгуляриэаторс |
вида (2 .6) принять тл |
= ч« д , где 0 |
<*?< |
|
< 1 ,то оценка (2.14) переиншеген следующим образом: |
|
|
||
ап. < |
--------------------------- --------------. |
(2.15) |
*(А* * А* +<?1* + Ч1к) + (Ч * * « ) *1А
Чтобы слагаемое е^й/ь в большей мере действовало на нижней и верхней границах» разумно принять = е$ | - ш к, так как коэффициент | Г_ 1|А «* нижней и верхней гран идах имеет большие значения, чем внутри области.
Оптимальными значениями параметров к, 6, 1?, еЛ в схеме (2.1)—(2.6)
при т = 1?«|* являются к » ), 6 е 0, т? = 0^-з-0,7, 0 < е1к |
- • |
193
Систему (2.1) с учетом (2.6) можно записать и иначе, а имен
_ *«**(.»*! = ^»*с^+1 .*г ^ 2|, '*
Так как в итерируемом выражении 0 /д(р) * Иц,{^) сумма коэффициентов равна нулю» то на низких гармониках ошибок это выражение мало, к по тому первое уравнение системы (2,16) имеет смысл итерировать несколь ко раз, не переходи к решении» неявного уравнения дня
Обратим теперь внимание на тот факт, что н линейной функции зд (р ) . входящей в регулярнэатор @№(^ ), всегда содержится диагональное преоб
ладание. А излишнее диагональное преобладание в регупяри заторе |
|
(?г*(р)в принципе приводит к замедлению итерационного |
процесса. |
Поэтому имеет смысл рассмотреть другой вариант регуляризатора |
в |
схеме (2 .1). |
|
Примем |
|
0/*(р) = г 1к №к(йМг —<Р1.к- 1) * |
|
- &1,к* I )1 * |
|
||||||||
+ Ц|к$Гк(|А* + Ф И 1.к) + €Г*в /кРНг» |
|
|
|
(2 .17> |
|||||||
где |
|
|
< |
Тц < I . Тогда коэффициенты о д , 0Л , б,*, |
будут вы- |
||||||
числиться по формулам |
|
|
|
|
|
|
|||||
ог/дД! - к о , _ 1)к) |
= у,*о,л. |
|
|
|
|
|
|||||
Рт* 0 |
~^Лг) = УГкЬк* |
|
|
|
|
|
|
||||
Л л (1 |
-Т /* ) *= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЬкИ ~ь>нс) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Коэффициент |
|
|
вычисляется из соотношения |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
= 7ГкР1к |
-0 < * 1 к О 1 -1 .к |
+ Ъ М+ Шк |
+ Ынйд |
|
|||
которое может быть лрсобразовано к лиду |
|
|
|
|
|||||||
Уп I Р1к + г<к |
Ьн + й(к |
*ы{к |
С1к |
|
|
|
|
||||
1 |
- г № |
I - Ш к |
|
|
|
|
|||||
'\р |
|
|
|
|
|
|
|||||
+ {1 |
|
|
|
|
|
|
= |
I. |
|
(2 .1?) |
|
Для коэффициентов #1к ,ЬГк, |
, От** о этом случае получаем неравенства |
||||||||||
Е/> |
= |
+ |
|
+ |
|
+«/*<*»* < |
I. |
|
|
( 2 .20) |
|
ап| |
< |
------------------------------------ |
|
|
|
|
----------- |
%с<к--------------------* |
|
— |
( 2-2 1 ) |
|
|
( 1 - |
* 7 к ) |
4 * 7 * |
+ ( I |
- |
+ |
*ТЛг * /к |
|
||
В выражении (2.17) удобно принять |
|
|
|
|
|||||||
тг* |
= |
соли |
= |
>1, |
<о,А = |
сонет = ц>. |
|
|
|
|
Коэффициент а(Х вводить в ?1к здесь неудобно, так как при этом полу чается нелинейное уравнение для у д . При г д = г?, «о/А = *о оптимальны ми значениями параметров в схеме (2.1), (2.17) явлнютск: и = I, 0 = 0,
т
т) =%0,7, о) = (0,2 |
0 ,4 )|? ,0 |
< ------ . Коэффициент сходимости итс- |
|
|
МУ |
рационной схемы |
(2.1), (2.17) |
на сетке М Х У =30 X 30 в задаче Дирихле |
дон уравнения Пуассона равен примерно 0,5, а п задаче Неймана - пример но 0,8.
Несколько более естественным по структуре, чем (2 .1 7 ),будет выраже
ние дин регуляр|штора пила |
|
|
<?/* (у) = |
Ттдг [^1* (*(к - |
- I ) + <4*(Ф№ ~ <9{.к♦ I )] + |
+ |
<0 » - й н ,* ) '* |
(2.22) |
При этом формула пня уд и неравенство они аде будут несколько удобнее, чем (2.19) к (2.21) соответственна. После исключении нэ (2.22) коэффи циента в Ъ1к, (11к, с,* с помощью (2.18) получим то же, что и (2.17).
Выражения аля ( ^ ( ^ ) (2.17) и (2.22) тождественны при
Пк |
4* |
в <*>«• |
|
I *Ик |
I + *г* |
||
|
Выпишем основные формулы шш варианта схемы с предложенным регулн*
риэлтором. |
Вместо |
Г1к |
и лд |
будем |
использовать |
прежние |
обозначения |
||||
г к ы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменим исходное уравнение (2.3-) эквивалентном системой |
|
||||||||||
21к - |
0С(к1/.. I.* |
■ |
У п ,Л к + О(кЬР) +Н(к{*р) + |
|
|
||||||
Я к |
- |
Р/кМ .к |
I |
- |
*П г^,1сЧ - |
6 * Л * |
1,л = *га* |
|
(2 .2 3 ) |
||
I - |
1 .Л1, |
к |
= |
1,г. |
|
|
|
|
|
||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0/*№) = |
л|а( Р |- 1.* Л - I ,* - | |
* ®/- I ,к*Р(- I ,к* О- |
|
(2.24) |
|||||||
Примем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М*лЬр) = |
|
|
|
I,Лг1Р#- I,*. |
°1к = А* + 8 1А- |
|
(2.25) |
||||
Регулнриэлтор возьмем п виде |
|
|
|
|
|||||||
0/к (^) = ту'Л [&»(?» |
- Ус.к- 1 ) + 4 * |
“ Л.А ♦ 1)] |
* |
|
|||||||
+ ы 7«*«г№м -$1+1,к) + е<*1кФ1к- |
|
|
(2.26) |
||||||||
Тогда дня коэффнниентои получим следующие равенства: |
|
||||||||||
|
|
- Р | - 1 . * г ) |
" |
7л*а«г. |
= ( ] “ |
т )Т /а ^ * . |
|
(2-27) |
|||
Р/ь |
= <1 + т)у№&,л, |
& = (1 +ы)7|-*<'м« |
|
|
|||||||
У/* |
= |
[Ррс 4 т ( Ы |
+4 к ) + 101ч* 4 ( ] 4 ^ - м Г ,Й1*(с - |
(2-28) |
Методом индукции нетрудно показать, что коэффициенты системы |
(2.23) |
||
удовлетнорнют условиям |
|
||
Л * +ь*1с +Ьк 4 7 « < К * 4 *1ка 1Х < ^ |
(2.29) |
||
« и |
< в « 1(1 |
+т)(йдг + « « ) + ( * -са)С и + <пк + е о |* Г ‘ , |
(2.30) |
где ад |
= (I - |
О ]-!.»)4 *!*. |
|
Таблица 4.2
Зависимость скорое!и сходимости итерационного процесса (3.12| - (3.17) от тначенмА параметров г,ы <е.= 0, т X г я 23 X 23, а - I)
Г |
1 |
Сц1 |
|
|
|
|
“ 19 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ОДО |
|
530 |
3,4 |
|
0,016 |
|
|
2 |
|
0.32 |
|
530 |
0,41 • |
10 а |
0.90- |
10 |
* |
2,5 |
|
0,25 |
|
530 |
0,76 • 10 *р |
0.56- |
10 •* |
||
3/2 |
|
0.21 |
|
530 |
0.12 - 10 э |
0.41 |
10 |
9 |
|
3,0 |
|
0,30 |
|
$30 |
0 Д 0 - 10 9 |
0,20 |
10 |
е |
|
Зависимостьскоростисходимости ото; от х г = 35 X 35 |
|
|
|
||||||
а |
т |
с* |
А, |
X, |
|
Ь»1 |
|
“10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
1 |
2,5 |
0.25 |
4,0 |
0.94 |
1220 |
0.25 |
0.3010 |
||
4 |
2.5 |
0.25 |
1.43 |
0.68 |
1220 |
0,012 |
0.11 |
10 |
|
К |
2,5 |
0.25 |
0.91 |
0.6Э |
1220 |
0.010 |
0,19 |
10* |
|
64 |
2,5 |
ОД5 |
0,80 |
0,66 |
1220 |
0.83 • 10 1 |
0.13 |
10-* |
Выбором параметров т, ы, е всегда можно добиться того, что правая часть неравенства (2.30) будет меньше I, т.с. достойное условие про странственной счетной устойчивости будет выпалилтьсн. Оптимальными значениями нараметроо г, и , е дни плохо обусловленных задач являют ся: 7 = 2 ^ 3 , ы = 0,25-г 0,3, * = 0.
Дня задач» Неймана (без закрепления функции %р о какой-либо точке)
всхеме (2.23) необходимо положить е > 0.
Втабл. 4.1 и 4.2 представлены результаты решения уравнения Пуассона
в квадратной области - I < х, < I , —I < дга < I со смешанными граничны
ми условиями. На правой стороне квадрата задавалось условие -Э^/Эл = |
|
= Ату’, ив остальных частях границы |
- условие д^/Ом =0. Введение условия |
третьего рода на правой границе |
сводилось к созданию диагонального |
преобладания ц в сеточных уравнениях около правой границы, равного см/г, где а - характерное значение периферийных коэффициентом разпост* ных уравнении диффузии, г - число счетных узлов но вертикали, а - переменный коэффициент. При а = 1 получим задачу, и смысле обуслов ленности эквивалентную задаче Неймана с закреплением функции в одной
точке, а при а = г - |
задачу с условием Дирихле на праиой границе. Решалась |
|
однородная задача на сетке с л* X г = 23 X 23 н иг X г |
= 35 X 35. Начальное |
|
приближение было взято в виде |
|
|
/ ( * ) = 0 + со» * * !)(! + сю л**). |
|
|
В табл. 4.1 и 4.2 показано затухание суммы модулей последователь!! |
||
приближений. Использованы следующие обозначения: |
|
|
Ци = 2 ||/>”л 1, |
X = 2 п/ 2 л _ 1 - |
(2.31) |
|] табл. 4.2 показана зависимость скорости сходимости итерационного процесса (2.23) - ( 2 .2&) от шша граничных условий. Использовались опти
мальные значения свободных параметров т со (при е = 0) н менялась неннчима диагонального преобладании в сеточных уравнениях на правой Гранине. Из этой таблицы видно, что с усилением жесткости граничного условии скорость сходимости итерационного процесса (2.23)-(2 .28) су щественно изменяется лишь па начальной стадии. Асимптотическая ско рость сходимости при е = 0 практически слабо зависит от вида граничных условий. 0 задаче с а = 1 при оптимальном наборе параметров т и со сред
ний коэффициент сходимости X, определяемый |
по |
(2.31)» на послед |
них (2.7) итерациях состппинет 0,58 на сетке с ш |
X г |
= 23 X 23 и 0,60 - |
на сетке с гл Хг= 35 X 35. |
|
|
Итерационные схемы (1.11), (3.3) и (3.12) позволяют эффективно решать двумерные уравнения эллиптического типа в областях произволь ной формы, включая и многосвяэкые. Как показывает опыт, наличие в линейной функции си (у?) компенсации #/*(^) и регуляриэатора {?[*($>) обсспсчииаст хорошее подавление как низких, так и высоких гармоник ошибок приближения.
Резервом для дальнейшего увеличения скорости сходимости итерацион ных схем типа (3.3) пни (3.12) является использование в них различных наборов параметров 7, ю, е. Из табл. 4.1, например, следует, что начинать итерационный процесс (3.12) лучше при малых значениях параметра и (из = 0,16 +0,20), а заканчивать при больших (ь> = 0,30). Одним из пер
спективных направлений |
слсцуст |
признать |
нсслсдопанис |
итерационных |
|||||
схем с |
рогуляризагорэм |
на Базе |
операторов Г - ,Л5\ более |
близких к |
|||||
исходному оператору А, чем в схемах (3.3) или |
(2.231 |
(ем., например, |
|||||||
схему (55) мз работы 151), |
|
|
|
|
|
|
|||
Заметим теперь, что пространственная счетная |
неустойчивость |
может |
|||||||
возникнутьи при решении одномерного уравнения |
|
|
|
|
|||||
|
1 +Р№ - с г I |
= /т |
|
|
|
|
|
(2-12) |
|
по схеме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2т = |
СОД- I +Тт//. |
|
|
|
|
|
|
(2-33) |
|
= |
Бг^ГМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где ТТА“ (Рг - ^1-1)"'. |
- т п ъ , |
Действительно, если й} > с „ |
|||||||
то коэффиииенты а§ могут оказаться большими |
единицы. Эта |
счетная |
|||||||
неустойчивость легко ликвидируется при решении |
уравнения |
(2.32) ме |
|||||||
тодом |
негодной факторизации, а именно путем |
введения |
в |
уравне |
|||||
ние (2.32) регуляриэатораО типа (2.17): |
|
|
|
|
|
||||
О М |
= |
- V /. |) + ^отрРг- |
|
|
|
|
|
(2 34) |
|
Неравенство типа (2.21) п этом случае будет иметь вид |
|
|
|
||||||
а г < |
------------- р --------------- , |
1 = 1 ......... N. |
|
|
|
(2.35) |
|||
|
(I - ш г) |
+ ад* о д |
|
|
|
|
|
|
|
□оэоращансь снова к системе (2.16), отмстим, |
что |
рекуррентная |
|||||||
структура формул |
для у,*, а Гк, «л . $*, |
типа |
(2.17")-<2.19) легко |
\17
позволяет на базе этой системы строить итерационные схемы, удовлет воряющие заранее поставленным требованиям на коэффициенты Рис* $№» &*• Итерационные схемы, основанные на системе (2.1), позволя
ют шаблонно и эффективно решать двумерные уравнения эллиптиче ского типа в областях произвольной формы, включая и мкогоевнзные.
Схемы |
(2.1), (2.6) и (2.1), |
(2.17) можно |>ассмагринагъ как схему (2 .1) |
|
при 0 = |
I с добавлением в уравноше дин Г д |
регулярнэатора, состав |
|
ленного |
из компонент линейкой формы АдвО- |
Согласно проведенным |
|
экспериментам итерационная |
схема (2 .1 ), (2.17) имеет несколько боль |
шую скорость сходимости. Особенно это заметно, когда в исходном урав нении (2 . 1) ^ * , г/,* > Д |* ,сд .
| 4.3. Явная схема с регу лярнзатором
Схему неполной факторизации с регулярнэатором можно построить и явную, т.е. с использованием в системе (1.14) треугольных матриц Л и 5 . Запишем, в частности, явную схему в виде
*]* = |
- |
р/д,2 г<к_ , |
- УIX^ |
+ Нгк(ф) + (!<к(р)> |
Як |
1г*^+М - |
бГЛгУ».Ы-1 |
= 2;*. |
|
На основании тождества (1.10), имеющего в покомпонентной записи аид
( I |
♦ « I* ^1— I ,* |
4 А * ® / , * - 1 ) Л * |
- |
*4 к ЙГ- I .«г - Л * Ю.Аг - 1 “ ?МгР/* 1 .* - |
- |
&М^С,Лс«-1 + |
1,4+ 1 |
+ А*$Г,к-1 0 |Ч| л - 1 = |
|
а |
У}к^1к{Ф\ + |
4 |
4- |
(3.2) |
получаем
(3.3)
Примем
НмО?)'- + % * ) - - |(* йг, * - 1 + * « * ).
где к + 9= 1.
Для регуляр»затора б /й<^) возьмем простейшую структуру
(?/*№) * |
|
|
_ |
4 |
*А*)чЛЛг- |
||
Тогда из тождества (3.2) с учетом (2 .2 1 ) и (3.5) |
следует |
||||||
(1 |
- |
кбг_ 1 ,|)а,* = ?№ «»» |
(1 - |
кЬ,*-|)Л % |
* УпЬц. |
||
(I |
~ т д ) б « |
= 71*^*. |
(1 -*/*)$/* |
~ Ъкс(к> |
|
||
1 + « / * & - ! . * |
+ |
= |
У1кР1А - 6{а1к&<-\,к *Р{кЬ,к- |) * |
||||
* |
тГк |
+ '**(? № + Л * ) - |
|
|
|
|
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Иэ соотношения (3.7) с учетом (3.6) выведем формулу ДО* 7а - Е00” пРи' пят ы й =V(а^к * 0гь). то получим
Г<к Г Р л + О - |
1 Г * Л/а (Г№ + V - |
1 ,* - Ь - I . * ) * |
+ 0 - к ^ * _ , ) ' ' ♦ п - Щ к - 1 - Яи - | ) И К |
<3,в> |
Проведем |
теперь исследование пространственной устойчивости схемы |
||||||
( 3.1) - (3 .8 ) . |
С |
помошью соотношений (3.6), (3.7) и соотношении р^к - |
|||||
+ |
|
4 |
4 |
+ <11к> где <?1Я > 0, методом индукцииполучаем: |
|||
= |
Ьк |
4 &(к (I |
- Т<к) |
1 (ту*4/* 4 Г1*(.а<к 4 Р/к)1 < •- |
(3.9) |
||
Для суммы коэффициентов а1к и 0Д: получаем оценку |
|
||||||
. |
„ |
^ |
О “ |
г(к) («7* 4 &<*) |
(3.10) |
||
ог,* к |
Д* |
< |
-------------------------------------------- |
||||
|
|
|
С|Ч + |
+ |
4 'к (а1К ♦ &Мг) |
|
|
где я/к ^ ( 1 |
- к б / . , ^ ) " 1 <*/*, |
= 0 |
-**< * -■ )■ % * - |
т1к = |
|||
Пробное |
использование па |
задаче |
Дирихле схемы (3.1) при |
= Ч(ог/*+ 0Гк) , Г)* - 0 доказало, что оптимальными значениями параметров к, 0,»? в этой схеме являются к = 0, в = I,»? = 0,5.
Таким образом, схема (3.1) при указашгмх олтималыгых эпачетях к н 6 представляет собой в шестом виде схему (33] при в - 1 с добавлением в уравнении для ; 1к регулярмэатора &/к (у?). Коэффициент сходимости схе мы' (3.1) в задаче Дирихле для уравнения Пуассона на сетке М X N = 30 X X 30 равен примерно 0,6 ?0,7. С использованием регулярлэатора С,* ( ^ ) ,
составленного из выражений б/*(<р/* - |
а ы ) к (щьСрг* - |
Фги,к)> т.е. |
типа (2 .17),получить явную схему, более эффективную, чем |
(3.1 ) - ( 3 .5 ) , |
|
не удается. |
|
|
$ 4.4. Схема неполной факторизации
с прогонкой в диагональном направлении
на ортогональной сетке
Резервом для дальнейшего увеличения скорости сходимости итерацион
ных схем типа (2.1) н (3.1) является использование в них различных набо ров параметров к, в, т е. Однако в первую очередь необходимо построить и испытать итерационные схемы с регуляриэатором нв базе операторов более близких к исходному оператору А, чем в схемах (2 . 1)
и(3.1).
Запишем, в частности, неявную схему неполной факторизации с ис
пользованием операторов Л/л (г) и 5п(ч>) из системы (2.17) обзорной статьи (12 ):
* (к |
“ |
1, К4 |
1,11-1 |
4 Ъ к * * - 1 ,к + 1 |
* »1*А4к |
|
4 |
|
+ НГк(<р)+ (2ы{ч>) |
|
(4.1) |
||
Ш |
~ |
|
|
+1 * (|кЙ+1.Лг + |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
Шк = в(* А -М . |
*** = а №®Г-1 ,*. |
(4.2) |
||||
^»(^> |
= /|1кйг~1 ,к - 11Й -], к- 1 |
4 ^к 5 Т-1 ,*А1 ^Г-1 Л -а - |
||||
Принимая |
|
|
|
|
|
|
Я « гОр) |
“ - (й 1 *Л -1 ,(к -1 |
4 *’'Л к ^ _ М + |) ^ Г “ | >* . |
(4 -3 ) |
|||
<2(к№) = Г/кУ/ЛЬ/к^/к |
- |
4 ам(Мк - ^,А+з)1 4 |
||||
4 |
51кУ1кС1к(.'Р1к - |
<Дмэк) 4 *1ксг1к'Р1к> |
|
|||
|
|
|
|
|
|
т |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°г*(1 |
- |
®Г- 1 ,к) = 7««ГА. |
$1* = О + * « )ЪкС1к, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0ГЛ с |
О + '7*)7г*&ГА + ^ аР]- 1.А&Г-1 . к - I» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
-- (1 + г1*)Тйс<*« + ®№81-м4г-1,*+|| |
|
|
|
|
|
|
|
(4 . 5 ) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Т |
л [ р ^ |
+ |
П к ( Ь , к |
* |
Л л |
) |
4 а ( к е ь |
+ |
(1 - |
о { . |
, Л ) -1 <г,к {еГк |
- 5г_ , , к)| |
= |
1, |
|||||||||||
ГДР |
0 | * |
- |
|
|
А |
- ! |
* |
& |
/ , * - ! ) * |
б Л |
( р ^ к + , |
+ |
5 , ( Л + 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
О п ти м альн ы м и |
значениям и парам етров |
г { к , |
х ^ , |
л |
схем е |
( 4 Л ) |
я в |
||||||||||||||||||
ля ю тся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г{х = 2-?-3, |
5{к |
** |
0,2 , |
е л |
= |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 . 6 ) |
|||||||
Итерационны й |
проц есс |
|
(4 . 1 ) |
- |
более |
б ы стри н , |
чем |
( 2 . 1 ) . ЕСром е того, |
|||||||||||||||||
х ар ак т е р затухан и я о ш и б к и здесь б о ле е г л й д к ш и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
О б об щ ен и ем |
и |
синтезом схем |
(3 . 1 ) и |
(4 . 1 ) |
я илист ся |
сх ем а |
неполном |
||||||||||||||||||
ф актори зац и и с п ро гон к о й |
в ди агон альн ом н аправлени и |
на ортогон альн ой |
|||||||||||||||||||||||
сетке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Явная |
схем а |
неп олн ой |
ф актори зац и и |
|
(3 . 1 ) |
и м еет и тери руем ое |
иы ра. |
||||||||||||||||||
жение вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Я « (У > ) |
= |
|
|
I ,кйг_ 1, А4 I |
+ |
к к Ъ |
, к - |
1 Й + 1 . к +1 • |
|
|
|
|
(4 . 7 ) |
||||||||||||
Т ак и м о б р а з о м , |
итерируем ое |
вы раж ение |
им еет |
п о р я д о к |
а 3 . И з |
ст р ук |
|||||||||||||||||||
туры п ервою - уравнения |
системы (3 . 1 ) |
в и д н о, |
что если п о |
|
в сп о м ога |
||||||||||||||||||||
тельную |
ф у н к ц и ю |
|
г ! к |
|
вклю чить |
члены |
|
( - о /к«5г_ , ьу?г _ |
+ , ) |
и |
|||||||||||||||
( _ Р п к $ Г .А - 14^+1 , е - 1 )| * ° |
иЭ |
и тери руем ого |
выражения ^ ^ к ( $ ) |
члены с |
|||||||||||||||||||||
У ( - 1 ,»+ | |
и Ф п -1 .к -1 . вы падаю т, а появляю тся как и е-то |
о рути е слагаем ы е, |
|||||||||||||||||||||||
п ричем |
с |
м еньш им и коэф ф и ц и ен там и . Р еализация этой |
идеи дает схем у с |
||||||||||||||||||||||
д и агон альн ой л рогом к о н : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
*/* = <Чк*1-1,к + Д/Аг/,А-1 |
+ |
У1кГ(к |
+ А * (^ _1) + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
+ ^ « |
( ^ - , ) + 0 |
а( / - ' ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
||||||||
т |
|
|
$№ &1,к |
- |
|
|
1 |
- |
ЫкЧ?1- 1.А+1 |
- |
1' л Л |
| 1* - 1 |
“ 27к' |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 . 9 ) |
|
И ск лю ч ая |
г 1 к , |
|
|
|
г { , к ~ , н э |
урав н ен и я (4 . 8 ) |
с п ом ощ ью |
(4 . 9 ), п о л у |
|||||||||||||||||
чим у равн ен и е: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ЙГА - |
|
|
|
- |
®ТкЛ.*+1 |
- |
Л к Л -Ц г +1 - * '« Л 4 |,А _ |- |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ог/л(чЛ‘—X„А |
“ |
|
|
|
|
— ^1- 1 ,* ^ /- 1.А+1 |
—Д^г-I ,А^/-а,А+»- |
|
|
|
||||||||||||||
- |
|
|
|
|
|
“ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.Ю) |
|
|
|
|
|
“ |
^* -|9У + 1,*-1 - 5 г,А-1ЛА -М ,к -§ М -1 гк |
|
|
|
|
||||||||||||||||
~ |
* > ,А - 1 ^ 4 1 , А - з ) - |
&1к(Ч>) “ |
Н [ к (V») |
- |
2<*(Ч>) |
“ |
7 / *Л * - |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
О н о д о л ж н о быть эк в и в ален тн о и сх о д н о м у уравнению (1 . 3 ) |
гл . 1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
С о п ос т ав ля я |
к оэф ф ициенты |
при |
|
соответствую щ их |
значениях |
|
в |
||||||||||||||||||
(4 ,1 0 ) |
и |
в |
(1 . 3 ) |
пт. |
I , |
п о луч и м вы раж ен и е |
д л я |
Л ;*(</>) |
к ф о р м у лы |
д л я |
|||||||||||||||
к оэф ф и ц и ен т ов ф а к т о р и зов а н н ой систем ы |
( 4 . 8 ) , |
( 4 . 9 ) . |
|
|
|
|
|
|
280