книги / Пространственная модель турбулентного обмена
..pdf8Булсев НМ. Ионий варили мегом неполной факторизации для решения даумгрпых разностных уравнений диффузии // Численные методы механики сплошной
среды. - 197В. - Т- 9, № I. - С. 5 -19.
9. Алексеев П.Н., Булееа //.//., Сжукалов В.А. Развитие метода неполной факторнэаним решения разностных уравнений диффузии нейтронов на треугольной сетке И Вопросы атомной науки и текинки. СерФизика и техника ядерных реакторов. - 1981. - Ныл. 5 (34). - С. 26-32.
10.Булееа НМ., СУланов М.С Явная схема неполной факторизации дли решения двумерных разностных уравнений диффузии на треугольной сетке [/ Вопросы
атомной науки и текинки. Сер. Физика н техника ядерных реакторов. - 1980. -
Вын. 4(13). - С. 96-101.
11.Булеев Н.И., Ледоаской ВМ Три варианта одной схемы неполной факторизации лля решения трехмерных задач эллиптического типа. - Преприит/ФЭИ.- Обнинск. 1984. - № 1597.
12.Булеев НМ. .Методнеполной факторизации для решения двумерных урави«1шй зллнншчехкого типа // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика н темника ядерных реакгороп. 1980. - Вып. 4(13). - С. 3 -14.
13.Бугаев НМ, Аргмьси В.К, Схемы неполной факторизации для решения двумер ным ураипениП антшгнчсско-го -пша // Вычислительные алгоритмы в задачах мате матической физики. Новосибирск. 1983. - С. 12-27.
14./Гулета НМ.. Васильев КМ. Киреева Н М. Пространственная схема прогноза доля
давления о атмосфере р кваэмгсострофнчсском приближении // Метеорология
итлрология. - 1966. - Ч* 9.
15.Булеев //.//., Петрищев В.С. Численный метод решения уравнений гидродинамики для плоского потока //Ш Н СССР. - 1966. Т. 169, К»6. - С. 1296-1299.
16. Булеев И.Н. О разностных уравнениях реактора о многогрупповом |
-приближе |
нии Ц Вопросы атомной т у к н и техники. Сер. Рсакгоростроеинр. - |
1977. - Выи. |
6(20). -С . 7-М . |
|
17. /Тулеев ИМ.. Гинкин ВМ. Алгоршм решения двумерного уравнения реактора в
пяухгрупповом диффузионном |
приближении. |
Препринт / |
ФЭИ. - ОбШШСК. |
||
197 7. - |
№ 737. |
|
д.К. |
|
|
1В.Булееа |
НМ., Полосухина КМ., |
Яышин |
Гидравлическое |
оопротнвпенне и |
|
теплоотдача в турбулентном потоке жидкости в решетке стержней //Теплофизика |
|||||
высоких температур. - 1964. - Т. 2, № 5. - |
С. 749-757. |
|
19. /Тулеев К и., Тимухин ГМ. Течение вязкой несжимаемой жидкости на входном
участке плоского канала // Журнал прикладной |
математики н теоретической |
|
физики. - 1967. -№ 3. - С. 126-130. |
|
|
20. Всаиукепз В., (Уиелоп |
ЕхЩелсс с/Лс|1а Гож р и Ш |
ша!ш ГасЮтквПоп 1л КсиИте |
тсс Иск1в //5ГАМ 1. Митег. Апа1.1978. - V. 13 .Ю 4 .-Р . 615. |
||
21. Огап Т.Е., УосЛзоп К.А., |
Шш в. ЛИсглаИгёчЦгеаюп 1па>тр1с1е ГасС0||2а(ю т /У |
|
51АМ 1. Митег. Апа1 —1983.- V. 20.И» 2. - Р. 239-257. |
||
22.БирапГ 7!, КепМ1 К. В , |
ВасХ/оеВ Й Н . Ал арргохйлаГе Гос(отв1х>п ргосойиге Ген |
|
5иМ(ц теК -^ойН сШрПс аИТаепсс (циаПогн // 5Ш 1 I. Ыищег. АпаЬ - 1968. - |
||
V. 5, № 8. - Р. 559-573. |
|
|
23.ОПр/шт Т.А. Ал мпаро1аск)п ртосе<1и[о Гог зоМпе |
и«ат сурепы // Оиа1ет1у оГ |
Арри«1 ЗЫЬпиИса. - 3962. - V. XX, № 3. - Р. 257-267.
24,51оне //./. Иегагпгс зо1и!1ол оГ (трИсП арргохгппНопз оГ 1Ш|Штспэют1 ранЫ
ДН"Гогеп1ЫсфШк>т//5]ЛЫ 1.Мшпсж. Лп*1. - 196В.- № 3. - Р. 530-558.
25, Марчук ГМ. Методы вычислительной математики. - м.: Наука, 1980.
и.Обухов А.М К вопросу о пеострофическрм ветре //И зо. АН СОСР. Сер. Геоп». итчофнзика. - 1949. - Н»4.
27.Сабинин ДЛ.Численмое решение задачи о горизонтальном систематическом дренаже
сзоной неполного насыщении Ц Динамика жидкости со свободными гдающамн - 1980. - Вып. 46. - С. 122-136.
И.Оабшии В.И Численное решение трехмерных задач фильтрации с неполным нкы - Мгха,,Н|а быстропротекающих ьроиссеад, - 1981. - Бип 51
с. 129-М1.
29.О регуляризации разностных схем // ЖВМ и й(ф. - 1967. - Т. 7,
30.Омарскии А.А. Введение ь теорию разностных схем. - Ш: Наука. 1977.
261
31. Самарский АЛ. Теория разностных схем. -М .; Наука, 1977.
32. Лтмк<ш ВЛ7. Метод А-факторизации для решения двумерных уравнений эплнпт ческо га таги \\ Вычислительные методы линейной алгебры. - Иовоп1бнрск: ВЦ СО АН СССР, 1977.-С . 123-132.
33.Алексеев П.Н., Буяеев НМ., Зарицкий СМ. и др. Сравнение эффективности мето дов неполной факторизации н переменных палрипекиА лрк реикинк одиогруиио-
вого двумерного урянкпкя реактора И Атомная >кер1ня. - 1979. - Т. 47,
вил. 2 . - С 125-127.
И . Марчук ГМ. Методы вычислительной математики. - .Новосибирск: Наука, 1973. Ы.Яненко НМ. Метод дробных шагов решения многомерных задач матемалщеекоЯ
фишки. - Новосибирск: Наука, 1967. $6.Дьяконов &Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для миогомор-
ных нестационарных задач //ЖВМ к НФ. - 1962. - Т. 2,М 4. - С. 549 $63.
37-Яоюв В., ФорсайтДх. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. - М.; ИЛ, 1963.
Зв.Яфеэик И.С, Жидкое Н.Н. Методывычислении. Т. 2. - М.: Фиэматгш, 1960.
39.Дьяконов Б.Г. Разностные методы решения краевых задач. Вып. I. Стационарны задачи. -М .: МГУ, 1971.
Ш.Булеев Н.И. О разностных уравнениях реактора в многогрупповом /^-приближе нии // Вопросы атомной пауки и техники. Сер. Реакгоросгооение. - 1977. - Вып. «(20). - С. 7-14.
4\, Артемьев В.К., Булеее НМ. О сходимости явной схемы неполной факторизации ори решении двумерных уравнений диффузии // Вопроси атомной науки н техни ки. Сер. вчганк* к техника ядериыд реакторов. - 1983. - Вын. 5(34). С. 19-24.
42./Тулеев НМ., Дедовской ВМ. Схема и<полной факторизации НФ (4,2) для решения деумермых уравнений эллиптическоготипа. - Препринт/ФЗИ. - Обнинск, 198$. - Н* 1727.
43.Лебедев В.И., Шашков Л.К.4 Ярославцева ПМ. Сравнение итерационных методов решения уравнения диффузии для гексагональных комсчиорвэпостиых соток // Тр. семинара по вычислит, методам орнкл. мвтсм. Вып. 5. - Новосибирск: ВЦ.СО АН СССР, 1979. - С. 5.
44.Могяй*/ 2. АСЛ-Ъто-ялгсср ЙегаЦуо гпеЦий» апЛ 1Ье1г аррНеаПоп то спИса! гсасЬн
са1си1а(1оп* 1Чик1еошка. - 1978. -V . 23,№9. - Р . 942.
45.Апостолов Т., ВозницкиП 3. Диффузионная двумерная программа НЕХАСЛ II для многогрупповых расчетов гексагональных решеток // Атомная энергия. 1975. - Т. 38. вып. б. - С. 372-Э74.
46.Лебедев В,И. Итерационный метод-с чебышегскнмн параметрами для определенна наибольшего собственного значения н «штвгтегиующей собственной функции II ЖВМН МФ. - 1977. - Т . 17. ММ. - С . 100.
47.Фрвнх-Юовснецкий АД . Моделирование траекторий нейтронов при рэогете реакто ров методом Монте-Карло. - М.: Атомнэдаг. 1978. - С. 95.
48.Уагр Я В Ма1(1х Иегейне ада1у$Ь - Еп^стлимЗ СЮТ, М.У.: РмпИсе-НаИ, 1962.
49.Гамшвхер ДО. Теориямягрщ. - М.: Наука. 1967.
50.Лебедев В.И.Г Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чсбшисвском циклическом итерационном методе //’ЖВМ и МФ. —1971. - Т. 11,
№ 2 .- С . 425-438.
51 .Гшнкым ВЛ. О численном решении двумерных н -трехмерных уравнений алпнптн- -ческого типа. - Препринт/ФЭИ, - Обнинск, 1977. -№ 767.
52.Пшкин ВЛ. О численном решенни двумерных и трехмерных уравнений эллипти ческого грла методом иеполноП факторизации: Д не.. . . канд. фиэ.-мат. наук. -
Новосибирск, 1979.
ЪЗ.ГхшКын В.П. О впнянни релвксацнн на сходим(иль схемы А-факторюации при решении двумерных разностных уравнений типа диффузии Ц Вопросы атомиоп науки к техники. Сер. Физика н тсх(шка ндерлых реакторов. - 1980.
Выв.4(13). - С . И 1-114. |
нтерацнонном алгоритме решения разностных урав |
54. Чеперущхин Б,Н Об одном |
|
нений // ЖВМ и МФ. - 1976. - |
Т. 1 6 ,* 2. - С. 519-524. |
И. Дьяконов ВТ, Итерационные методы решения разностных аналогов краевых задач для уравжмий эвлиппиескоге типа // Современные численные методы. Выи. I. -
Киев. 1970.
Зб.Вумм ЯД, ЛаЬовскоИ ВМ, Трелмерные схемы неполной факторизации. - Пре принт /ФЭ11. Обнинск, 1983. - № 1720.
57.Артачься Я~К. Достаточные условия дп* одного клака неявных схем неполной факторизации. - Препринт/ «РЭИ. - Обнинск. 1984. -№ 1579.
№.Дьяконов В,Г, О построении итерационных методов на основе кспольэооалия
оперноров, эквивалентных по спектру //ЖВМ и МФ. - 19$б. - Т . 6,№ |. 4.
59.Локуцисаский О.В. // УДИ, - 1956. - Т. XI. выи. 3. - С. 214,
60. Лебефео в.И. О задаче Дирихле и Ноймана па треугольных и шестиугольных сотки //ДАН СССР. - 1961. - Т . 138, К» I.
61. Ильин В.П. Разностные методы решения эллиптических уравнений. - Новосибирск: ИГУ, 1970.
62. Гинкин В.П. Метод лар&боличсских прогонок для решения двумерных уравнений эллиптического типа. - Прсгтриш/ФЭП. -Обнинск, 1981. - № 1153.
63.СЭДингш В.П. 06 одном алгоритме метода неполной факторизации. - // Численные методы механики сплошной среды. - 1985. - Т. 16. № 2. - С. 103-117.
84.Ильин ВЛ. Об итерационные методах неполной факторизации. - Прспринт/ПЦ0 0 АН СССР. - Новосибирск, 1982. - № 98. - С. 17.
65.Косицин* Л.К. Некоторые варианты итерационных методов неполной факториза
ции. - Препринт/ВЦ СО АН СССР. - Новосибирск, 1984. - № 563. - С. 16.
66 . Плыл* В.П. Коеицина Л.К. Об автоматизации выбора итерационных параметров и методах неполной факторизации// Вычислительные алгоритмы в задачи матема тической финна». - Новосибирск: ПЦ СО АН СССР. 1985. - С. 9-16.
67.Л<се7я0л О., дгй\Ькшрег &, /Пн У .Р . Ол зогле кейк)го оГ 1псотр1е1с Ыос)с-та(г1х
Гас1о(цаНоп 1п1«аЦус тсОтоб! // Плен а1всЬга ага! аррЦсаПопх. - 1984. - V. 5 В - Г. 3-15.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА
Вэтой части рассматривался разностные методы решении задач гилродинамики к теплообмена. В гл. I основное шеиманне уделяется построению монотонных разностных схем и схем, сохраняющих различные интеграль ные свойства, выполняющиеся для исходных дифференциальных урав нений.
Вгл. 2 строятся эффективные алгоритмы решении уравнений НавьеСтокса, записанных в форме Гельмгольца.
Большое вннманне уделено вопросу постановки граничного условия для вихря на твердой стенке. В § 2.5 рассмотрен эффективный метод решения {схема ( 2 .4 0 ) уравнения четвертого порядка, позволяющим избежать постановки граничного условия для вихря на твердой стенке.
ГЛАВА /
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА
§ 1,1. Монотонные разностные схемы
Основным вопросом в решении задач динамики вязкой жидкости является составление колсчноразносгных уравнений, эквивалентных исходным дифференциал ьиым уравнениям.
Начнем с рассмотрения следующей одномерной задачи:
и ( х ) ^ |
- » 4 - 2 - = П х ) . П < 0 ) = В Д = 0 . |
( 1 - 1 ) |
|
йх |
а х 2 |
|
|
Здесь д(л:) - |
непрерывная функция, и - |
константа. Под Л |
может подразу |
меваться любая составляющая скорости |
(или температура). |
|
|
Используем равномерную сетку |
|
|
х( = /Л. / = 0 ,1 |
.........N. Л = ]/ЛГ. |
Если формально записать аппроксимации каждого члена из левой части
уравнении |
(1.1) в |
отдельности, |
т.е. перейти к |
разностному |
уравнении) |
|||
Д;-м |
- &1-1 |
Я/_ | |
- |
212/ + П/4 1 |
|
|
( 1.2) |
|
“ г |
2Л |
V |
|
А5 |
- Л |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
то, как |
известно, поиученнал |
раз костная схема будет пригодна лишь при |
||||||
достаточно |
малых, значениях |
шага А, а именно при \и к |А /(2и) |
< I. При |
|||||
больших |
значениях |
параметра |
|н /|А /(2 л ) схема |
будет давать |
пилообраз |
|||
ное решение. |
|
|
|
|
|
|
Получить счетно-устойчивую численную схему можно (в ущерб ее точно* С[и), аппроксимируя производную с/Л/с/х односторонней разностью (а не
центральной) |
|
|
|
|
|
|
/ |
4П_\ |
- |(Я ( - П , _ ,) | «1г|/Ь. |
селим , |
? |
О. |
3> |
V * |
с!х ) { |
1 (П , - П , + | ) | н , | / / | , |
если и , |
< |
О. |
|
Используем пнтегро-пнтерполяциопный метод получении конечнораэпостного аналога дня уравнении (1.1)*) аналогично тому, как это дела лось Л.Н. Тихоновыми Л.Л. Самарским [1] и Г.И. Марчуком [2| при ре шении диффузионных уравнений.
Преобразуем урапненмс (1.1) к виду
I |
а |
|
<т |
|
— V — |
• |
* |
= /(* )• |
(М ) |
|
(1х |
|
|
|
Урапиение (1.4) эквивалентно (1.1), если |
|
|||
*р - ехр { - |
/ - и Л х \ ш |
(1.5) |
УV )
причем точка |
может быть выбрана произвольно. |
|
||
Умножим |
уравнение |
(1.4) на |
и проинтегрируем, на |
интервале от |
Д О X/+ |^ . Получим |
|
|
||
|
1 |
1 / 2 |
|
|
01-1/2 |
= — |
/ |
|
‘(1*6) |
|
» |
4 - 1 » |
|
|
где С = Функцию 0, в промежуточных узлах, сетки можно аппроксимировать
по схеме |
|
|
|
|
|
|
Ф -1/2 |
= Ч»1-1/а(Л,- - |
Я/_|)//«. |
|
|
|
(1.7) |
Тогда сеточное уравнение (1.6) примет вид |
|
|
|
|||
Р /- |/з № / - П /_ ,) |
<Л/+|/з(Пг*-| - Л/) |
1 |
* и 1/2 |
|
||
------ |
г,------------------------------- 7------------------ |
“ |
) |
(1.8) |
||
|
Л |
А |
|
у Л ,- 1/2 |
|
|
Однако для функций |
—■/а и + |
можно получить и точные выраже |
нии, как это сделано в работе Г.И. Марчука [2] при получении разностного
О См. Булсев Н.И., Тнмухни Г.И. [3,4).
уравнения диффузии. А именно, интегрируя уравнение (1.4) в пределах (*1 - 1 /а. -*). “ затем в пределах (х* _ », л>), получим соотношение
|
|
|
|
|
** |
а х |
] |
|
х* |
а х |
|
* |
|
Ш х . |
|
|
(1 9 ) |
|||
П ! - Я / - 1 = Й Г - 1 |
|
/ |
--------------/ |
---------- |
|
/ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
*1-1 |
Ф |
* |
*(- I |
Р |
x^-^^г |
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя |
|
иэ (1.9) л аналогичное выражение для (2ц. |
о уравне |
|||||||||||||||||
ние (1.6), получим точное конечно разностное уравнение |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
П/+ 1 - П , |
= |
_1^ |
Г Л^ V 1 |
№ х |
- |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
I |
/ |
|
|
|
|
|
|
||||
^1-1/2 |
|
^ 4 1 /1 |
|
*1■—-1/ТI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
*/ |
ах |
* |
/р а х |
* |
I |
|
'/+1 |
йх |
х^+1/2 |
|
||||||||
|
|
|
/ |
— |
I |
|
|
|
|
|
/ |
— |
/ |
/*с/л |
||||||
ш Г -|/2 |
*1-\ |
|
Р |
л^-1/2 |
|
|
Ы/41/Т |
XI |
V |
|
к |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1.101 |
|
|
*/ |
ах |
|
|
|
|
ДИ1 |
ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ - 1 / 1 |
- |
/ |
------ . |
|
|
|
= |
/ |
------ |
|
|
|
|
|
( 1 И ) |
|||||
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
*Г |
Ч> |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение |
(1.10) |
|
является |
тачным в том смысле, что решение его в |
||||||||||||||||
узловых |
точках |
оовпаддег с решением уравнения |
(1.1) |
при условии точ |
||||||||||||||||
ной аппроксимации граничных условий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если в правых частях уравнений (1.10) |
и |
(1.8) |
принят!./ = сои51 = / , . |
|||||||||||||||||
в в выражении для у |
(1 .5) положить и = сопя |
= нг, г 0 = * /,т о разностные |
||||||||||||||||||
уравнения (1,10) н (1.8) примут одни и тот же упрощенный иил: |
|
|||||||||||||||||||
( Л / - Ц , _ ,) е х р |
1 |
и*к |
1 |
(&/♦! |
- |
И/) схр ! ^ |
— |
I |
|
|
||||||||||
Щ |
|
|
|
|
2 |
и |
I |
|
|
|
|
|
|
I 2 |
** |
I |
/ | - |
0 . 12) |
||
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
схр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
- т ; Я |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Иэ анализа |
коэффициентов |
этого уравнении следует, что схема |
(1.12) |
|||||||||||||||||
монотонна. Сходимость |
схемы (1.12) |
была |
исследована |
А.М. |
Ильи |
|||||||||||||||
ным [5]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имея в виду уравнения (1.12), будем |
говорить, что еегь третий воз |
|||||||||||||||||||
можный вариант аппроксимации уравнения (1 .1); |
он получен иным путем |
|||||||||||||||||||
Алленом |
(6]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формула |
(1.12) |
||
Можно |
ожидать, |
что |
в |
практических |
приложениях |
будет обладать преимуществами по сравнению с формулами (1.2) и (1.3), поскольку она получена иэ точного конечно разностного уравнения, а нс путем формального расписывания в конечных разностях отдельных
составляющих дифференциального оператора, |
|
|||
Сеточный |
аналог |
уравнения |
(1,1) при применении любого иэ рассмот |
|
ренных способов его аппроксимации можно представить в виде |
|
|||
П /4| - |
Дт_] |
Л /_ | |
- 2П /_ '| + П/41 |
(1.13) |
Щ |
|
- ку |
Л |
|
2А |
|
|
Л1 |
|
266
причем коэффициент к для сеточных операторов (1.2), (1.3) н (1.12)< соответственно равен
к* |
I |
♦ |
1'0М |
|
|
|
|
|
|
2н |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
I |
«г,й |
| |
|
| |
I |
« ,Ч |
О .Н ) |
с х р Ь |
|
Т 1 |
|
; е,рг^~п |
|
||||
~ |
Г |
1 |
и</1 |
| |
|
Г |
1 |
и</| |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
««л 1 |
|
< х р | _ _ г е х р | _ - _ |
|
||||||||
Таким образом, |
различие между |
аппроксимациями сводится к |
различию |
||||||
в значении коэффициента к. |
|
|
|
|
|
|
|||
Аде. 1.1. Зависимость коэффициентоп |
|
|
|
|
|||||
от осличили |Ксм/#| |
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим теперь, что псиичниы 1/ и /, входящие в уравнение ( 1.1) , посто
янны внутри каждого интервала |
< х < лсГи - В этих условиях раз |
ностное уравнение (1.12), а значит, и уравнение (1.13) при к = Л |, явля |
ются точными. На этом основании можно считать, что из трех значений коэффициента к, входящего в уравнение (1.13), наиболее правильным япляется Аэ . Заметим, что, согласно (1.10), Аэ не зависит от вица правой
части |
/(.т). |
|
|
|
|
|
|
|
|
к 3 от |
|
Графики |
зависимости |
коэффициентов |
А,, |
А» |
и |
комплекса |
|||||
|Ке«Ж | предсталлсим |
на рис. 1.1. Из сопоставления коэффициентов А| и |
||||||||||
кг с |
коэффициентом |
к л |
а 1сцует. что разностная |
схема (1.3) |
содержит |
||||||
нзлвилиою |
'"вязкость”, а |
схема (1.2) страцает дефицитом "вязкости11. |
|||||||||
Согласно рис. 1.1, при |
| нЛ | ^ > |
3 в схеме |
(1.2) в большей мере недостает |
||||||||
"вязкости'*, чем она вхощп с избытком в схему |
(1.3). |
|
|
||||||||
В табл. |
1.1 |
приведены |
для |
сравнения |
результаты |
решения задачи*) |
|||||
|
|
I |
|
$1п ях. |
О < х < |
1, |
|
|
|
|
|
--------------------- — = |
|
|
|
|
|||||||
<1х |
Кс |
</.х7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« (0 ) = Я(1) = О |
|
|
|
|
|
|
|
*1,15* |
с использованием различных разностных схем при различных числах Не.
Шаг к был иэлт равным 0,091 |
(10 счетных узлов). |
|
|
|
|||
V табл. |
1.1 приняты |
обозначения: П - |
точное решение задачи |
(1.1 |
$); |
||
Д = Л* |
П . где П Л - |
приближенное (сеточное) решение;, ** ", " б " ," |
" - |
||||
*»йе |
числа Рсйиатдса, Кс |
= и11». где и |
- характерная скорость. I |
- длина |
|||
- Коэффициент РЯЭКОСГМ. |
|
|
Г |
Г |
-V |
, |
267
Таблица
|
|
|
|
|
Номер с Четного узла |
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
Э |
4 |
5 |
6 |
7 |
а |
|
9 |
10 |
л - Ю ‘ |
2 3 » |
4759 |
6В95 |
8586 |
9657 |
9979 |
9481 |
8154 |
6049 |
3278 |
||
К с - ] |
а |
.64 |
-137 |
-211 |
-276 |
-326 |
-352 |
- .4 9 |
-314 |
|
-243 |
-138 |
й • 10* б |
21 |
«0 |
56 |
68 |
75 |
75 |
69 |
58 |
|
42 |
22 |
|
|
с |
19 |
37 |
52 |
63 |
68 |
68 |
63 |
52 |
|
37 |
19 |
Л - ю* |
т |
951 |
1684 |
2512 |
3361 |
4149 |
4776 |
5104 |
|
48Я6 |
3599 |
|
КСа 10 |
а |
76 |
123 |
135 |
106 |
30 |
-100 |
-2Я9 |
-532 |
|
-779 |
-Я23 |
Д 1 0 1 б |
7 |
16 |
2? |
40 |
57 |
77 |
104 |
143 |
192 |
210 |
||
|
В |
19 |
37 |
51 |
62 |
67 |
67 |
61 |
51) |
|
36 |
18 |
л |
• 10* |
137 |
559 |
1173 |
1950 |
2826 3731 4592 533Я 5909 |
6259 |
|||||
е = 100 |
а |
12$ |
23$ |
322 |
380 |
402 |
388 |
338 |
25! |
|
90 |
■590 |
Д ■10ц б |
-117 |
76 |
-209 |
260 |
-444 |
689 |
-1053 |
1700 |
2582 4132 |
|||
|
в |
99 |
159 |
262 |
312 |
335 |
330 |
296 |
237 |
|
158 |
64 |
варианты, |
соответствующие использованию аппроксимаций |
(1-3), |
Л .2) |
|||||||||
и (1 .1 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы видно, что схема (1.12) |
во всех случаях привела к |
более |
||||||||||
точному решению, |
чем |
(1.2) |
или |
(1.3). Использование схемы |
(1.2) при |
Не = 300 (КеА1= 9) привело к неустойчивости счета. Эго связано с тем,
что при использовании аппроксимации (1.2) при I Ке ик | > |
2 не выполня |
||
ются обычные достаточные условия устойчивости прогонок |
|
||
ву > 0 , |
0, |
рй > <11 + 4 , |
Г1.16) |
где 0/, с/, ру - |
коэффициенты сеточного уравнении. |
|
|
П р к м е ч а н н е . |
Существенно, что для точного сеточного уравнении |
(ЗЛО), а вместе с ним и для уравнения (1.12) условия (1.16) выполняют ся всегда.
Из таблицы видно также, что для вариантов ”ам и "б11 при числах Рей нольдса Ю н 100 наблюдается резкое увеличение погрешности ь области, прилегающей к правой границе, что связано с плохой “отработкой” соот ветствующими сеточными уравнениями общего решения уравнения (1.15).
Недостатки разностных схем (1.2) и (1,3), отмеченные в настоящем параграфе, естественно распространяются и на случай двумерных разност ных уравнений, построенных с использованием аппроксимаций типа (1.2)
К |
недостаткам схемы (3.12) следует отнести большие эаграты на вы |
|
числение экспонент, входящих в коэффициент |
||
*э |
= « - 5 ----- = |
а с 1Ь в , |
|
еа - ё |
“ |
2 4 8
гае л = Л;Л/2»\ В работе (4] эта трудность о входил асьиу гем аппроксима |
|
ции коэффициента Аз простои формулой |
|
* 3 = А + |й |, где А = |
1 |
--------------------- - (1.171 |
|
|
I + 1<* I + 1 а I4 |
Значении коэффициента к$ при различных значениях аргумента и его |
|
аппроксимация но форм уле |
(1.17) представлены в табл. 1.2. |
С учетом соотношений (1.17> разностное уравнение (1.12) можно
переписать в нннс |
|
|
|
|
|
|
|
((2 А{ |
4 2 | о , | ) Я / - ( / 1 , + |а ,| + ог,)П,_, |
- |
(А * |
* 1<*11 -а /)Я /+|1 = Л |
|||
Л* |
|
|
|
|
|
|
(1.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Легальное |
исследование |
свойств |
функции |
А3(г ) |
= лгс1Ьх показывает, |
||
•по Аз(дг) можно с большой степенью точности приблизить сверху: |
|||||||
Ы * ) < М ,( * ) = М |
+--------------- |
--------------- |
1----------------------- |
|
|
—----------- • |
|
|
|
1 4 |Д* | |
+ - \Х 1* 4 |
- |
\Х I* 4 . . . |
4 ------------И " |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
(и + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
(1.19) |
В практических расчетах, чтобы избавиться от вычисления экспонент, функцию к}(х) можно заменить ни
А/а(г) - |
I* I |
* ----------- |
—* -------- |
|
|
|
|
|
(1.20) |
|
|
|
|
1 4 | х | 4 - |
| * | * |
|
|
|
|
|
|
Ш х ) ■ |
1*1 |
+ ---------------- |
^ ------------- |
1----------- |
|
|
|
|
||
|
|
|
1 + | л | |
+ - |
1*1*+ |
- |
|дг|* |
|
|
|
Отметим, |
что функция |
Л/2(х) более |
точно |
приближает |
&з(л() но |
|||||
сравнению с формулой (1.17). |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1,2 |
|
1о 1 |
|
0.25 |
0.5 |
|
0.75 |
|
1.0 |
1,5 |
2 |
$ |
А* |
|
1.02 |
1,08 |
|
1,18 |
|
1.31 |
1.66 |
1.07 |
|
А ♦ |а |
| |
1.01 |
1.07 |
|
1,18 |
|
1.33 |
1,71 |
2,14 |
|
1*1 |
|
2,5 |
3,0 |
|
3.5 |
|
4,0 |
4.5 |
5.0 |
|
А 4 | о |
1 |
2.53 |
3,02 |
|
3,51 |
|
4,00 |
4.50 |
5,00 |
|
2.60 |
3,08 |
|
3.56 |
|
4.05 |
4,54 |
5.03 |
2 6 ?
Рассмотрим теперь дифференциальное одномерное уравнение с перс*
менным |
коэффициентом вязкости |
(например, для |
случая |
турбулентных |
|||||
течений); |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Й1 |
ЛП |
/ ( г ) , |
П = |
0 |
при х |
= 0 к х |
- I. (1.21) |
|
ц (д г)---------------- у --------“ |
|||||||||
|
Нх |
Дх |
их |
|
|
|
|
|
|
Это уравнение можно переписать в виде |
|
|
|
|
|||||
|
< т |
|
а ' я |
|
|
, |
а , |
|
|
<" -*■ э |
- » |
~ ^ Г |
= /(* > ' |
г«с |
“ |
■ |
|
(1-22) |
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
й |
с1П |
|
|
|
|
|
|
|
------------------- |
|
|
|
|
|
|
(1.22') |
||
|
Ас |
</* |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ехр |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее будем полагать, чю |
в окрестности каждой точки А’^, т.е. на интер |
||||||||
вале х( _ 1уа < * |
|
|/ 2 . величины о - V*, V и / постоянны. Тогда уравне |
ние (1.22) по аналогии « предыдущим можно заменить разностным урав нением, аналогичным (1.13);
^ 4 1 |
- Д / - 1 |
= /|, |
|
("/ - «V) |
|
0 -23) |
|
2Й |
|
|
|
где |
|
|
|
с ^ + е * |
л - р |
А |
|
О = |
” й |
2 ' |
|
|
|
Дл я коэффициента 2> используем приближение
О- Л + 1Д1.
после чего уравнение (1.23) перепишется окончательно в виде
|( 2 В ,+ 2 |й 1 ) П ( - ( ^ + 1 А 1 « Л ) П /_ , - № + 1 й 1 - Л ) П , „ ] - у ,
(124)
Схема (1.24) также является монотонной.
К ак и при решении уравнений диффузии с переменным коэффициентом обмена, в данном случае будем использовать значения коэффициента вязкости V в промежуточных точках, т.е. Будем полагать, что
V/ = “ |
(^Н1/1 -*•/—1/а), |
V, = ^ |
{ Ч и п |
О*25) |
Нетрудно |
убедиться, что при |
и -*■ 0 |
и малом |
значении шага А уравне |
ние (1 .23) принимает вид |
|
|
|
|
^ |
- К /+ )^ ( Л /+1 - Я |) ] = |
(1.26) |
270