книги / Пространственная модель турбулентного обмена
..pdfА НМСНИО ПрИ |
|
|
|
|
|
|
. |
Ьм + <//* +слк + Ч1М |
- * « ) > I- |
||
(П*о4ы)р{к 4 |
---------------------------(1 |
||||
|
|
|
а(к |
|
|
Далгг, |
условия |
(2.19) |
легко позволяют |
строить птерациотсую схему с |
|
заранее |
поставленными |
требованиями |
на |
коэффициенты системы (2.9), |
|
(2.10). Сходимость итерационной схемы (2.9), (2.10) исследовалась экспериментально.
Как показал олыг решения задач Дирихле и Неймана, оптимальными значениями параметров для решения уравнения Пуассона являются
к = 0,5~1, |
1} = 0,9-г |
I, ы а 0 -г0,5 |
= 0 , |
(2.20) |
причем к + г) + |
со = 2,(Н |
2,1. |
|
|
Коэффициенты итерируемого выражения В {к(^>) в |
наибольшей степени |
|||
зависят от параметров к и ы: параметр я увеличивает их, а параметр<о— уменьшает. Заметим, что лрк е = 0 итерируемое выражение в уравнении (2.9) является величиной порядка 0 (А ), где /г - шаг сетки. Бели решением задачи (1.3) гл. 1 является = сопз*, то по схеме (2.9), (2.10) при е = 0 ало получается на первой игерашш.
Отмстим также, что добавление в левую и правую части разностного уравнения (1.3) гн. 1 выражения - ^ + 1 ,*)равкосилыю добавле нию в левую и правую части неходкого дифференциального уравнения
для |
коиискишного члена «Э^/Э_« |
с и < |
0, т.с. качество сеточного опера^ |
тора |
о ясной части уравнения (1.3) |
гл. |
1 или (2.3) сточки зрения итера |
ционного процесса при эгом упучнгаогсл. Этим, по-видимому, и объясня ется улучшение сходимости после введения в компенсирующую функцию Ящ (V») слагаемого с *+, (к,
Скорость сходимости последовательных приближений в итерационной
схеме |
(2.9), |
(2.10) для задач Неймана примерно в 10 раз выше, чем в |
схеме |
(3.1) |
гл. 2. |
В табл. 3.1 представлены асимптотические значения коэффициентов
Рта 7 « . « л . Рт*| |
» и комплекса |
|
(01- 1,к -1-Д/- »,*) |
________ Р /-1,* |
|
У» в « |
|
I — ^ (Рг—т . * + |
для внутренних узлов счетной сетки при различных наборах значений па раметров к, л, сэн б, если о исходном уравнении (1.3) гл. I для внутренних узлов с е т к и = в , * Т Ь{к + сгк а1к =!>,* =с{к =
В табл. 3-2 представлены для примера интегральные характеристики последовательных приближений для решения задачи Неймана
Ъг\р |
Ъ \ |
= Л (СОХЛ* + СОБПу + 2С05Я.ХССКЯу), |
------- 5----------— |
||
дх |
аУ |
(231) |
д*\р |
при |
ъ<р |
— = 0 |
х =±1, — =0. при у = ±1. |
|
Эх |
|
ду |
161
Таблица 3. /
Асишпотчсскна энгчснич коэффициентов дпн различных значений параметров схемы (2.9), (2.10
К |
|
|
0 |
0 |
|
04 |
] |
1 |
1 |
1 |
|
п |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
] |
1 |
1 |
0.9 |
|
м |
|
0,5 |
0 4 |
|
0,5 |
04 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
||
е |
|
|
0 |
0,05 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Р7 |
|
1.000 |
0.992 |
|
0.688 |
0.668 |
04ВВ |
0404 |
0472 |
||
а |
|
|
0.250 |
0,2+8 |
|
0.333 |
0,500 |
0,612 |
0,690 |
0,714 |
|
На |
|
0.333 |
0.330 |
|
0.333 |
0.333 |
0,380 |
0.409 |
0.400 |
||
е |
р* Л |
|
0.333 |
0.330 |
|
0,333 |
0.333 |
0.240 |
0.183 |
0.200 |
|
1 |
|
0,333 |
0.330 |
0,500 |
1,000 |
1,$80 |
2,240 |
2,000 |
|||
*) |
1- г /Й4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табгица 3.2 |
||
|
Коэффициент сходимости А для нескольких, вариантов значения параметров |
|
|||||||||
К |
|
|
0 |
0 |
|
04 |
, |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1. |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
■ы |
|
04 |
04 |
|
04 |
0.5 |
0.2 |
0.1 |
0 |
||
< |
|
|
0 |
0,05 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
X |
= 1л (1/А ) |
|
0,895 |
0,934 |
|
0,890 |
0.Я60 |
0.780 |
0,744 |
0,780 |
|
* |
|
0,111 |
0,069 |
|
0,119 |
0.152 |
0.252 |
0,197 |
0.252 |
||
лри различных наборах параметров |
|
к , т?г о), и е . |
Использовалась сетка с |
||||||||
А х = Ау = Ц24, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X; = _ | |
+ (/ _ |/2 ) Ах. |
» = - ! + ( * - 1У2) Ау, |
1=1.........24; |
|
||||||
|
Л = } , . . . ,24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Закреплялось решение в точке 1 = 24, |
к = 24. |
|
|
|
|
||||||
|
Точным |
аналитическим |
решением задачи (2.21) является функция |
||||||||
|
<р(х, у ) |
= (I * СО$11Х) (1 +С05Л[р) + СОПЛ. |
|
|
|
|
|||||
В нулевом приближении принималось |
* Н(к №) = О- |
|
|
||||||||
|
В первой отроке |
табл. |
3.2 проставлены |
средние значения за двадцать |
|||||||
итераций величин |
вычисляемых но формуле |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2.22) |
|
Ш
т.с. величины
Во второй строке табл. 3.2 проставлены значения величины к = 1п(1/Л), называемой скоростью сходимости итерационного процесса. Всли'пша
|е ( 1 /\) = 6/2,30 |
есть количество верных десятичных знаков, получаемых |
за одну итерацию |
(37]. |
Из табл. 3,2 видно, что схема (2.9). (2.10) может дать несколько боль шую скорость сходимости, чем схема (1 .4), (1.5). Первое же приближение
получается, как праиило, лучше ко схеме (1.4), (1.5), т.е. при к |
1, |
ы = г = О. |
В, |
Согласно табл. 3.1 к 3.2 абсолютные значения элементов матрицы |
|
I |
|
—^ ’ , при различных наборах при
веденных параметров не отражают скорость сходимости итерационного процесса (2.9), (2.10). Зависимость же последнем от параметра е сильная. Таким образом, скорость сходимости в большей мере определяется близо стью линей пых функций (А + В)(к(<р) и Ац((>р) нс но норме невязки, а по модулю невязки. Скорость сходимости при е = 0 возрастает с уменьше нием характерных значений коэффициентов у гкр(к> т.е. с уменьшением норм оператора ГА (см. табл. 3.1 и 3.2). Таким образом, значения зле* ментов матрицы ГН в какой-то мере уже позволяют судить о скорости сходимости.
Значения элементов матриц ГА, В и 5 , вычисляемые но формулам (2.7), (2.8) , можно рассматривать в каждой задаче и как априорную информа цию для построения более совершенных итерационных схем общего вида (2.13) с факторизованным регулярнэующнм оператором.
Следует отметить, что при решении задачи Неймана е использованием
схемы (2.9), (2.10) с набором параметров (2.20) итерации прибли жаются к точному решению разностных уравнений (1.3) гл. 1 немонотон
но. Сумма 2 4 I ни некоторых итерациях возрастает. Такой немо
нотонный процесс приближения итераций к точному решению, ио*лиднмому, означает, что первые цва собственных значения матрицы (А * ВУ 'В являются комплексными (см. (38]). При использования же схемы (2.2) гп. 2 или (3.1) гл ,2 для решении задачи Неймана ошибки итераций
^| уменьшаются, но значительно медленнее, чем в схеме
(2.9) , (2.10). Введение с > 0 в схему (2 .6 )- (2Я) делает итерационный процесс (2.9), (2.10) более спокойным и замедленным. Если границы области, в которой решается уравнение эллиптического тина, не параллель ны координатным линиям счетной сетки, то, как уже говорилось выше, следует делать разностные аппроксимации граничных условий трех точеч ными и рассматривать их как самостоятельные уравнения, равноправные с уравнениями (1.3) гл. I для пнутрениих узлов области. Чтобы факторизо-
№
ванны |
система уравнений (2.9), (2.10) для осей рассматриваемой области |
|||
была в |
этом случае замкнутой, необходимо |
в урао пениях |
(2.9), |
(2.10), |
эквивалентных правым граничным условиям |
(где со5(л, х) |
> 0 ) , |
принять |
|
к > 0, ц = о) = О, е > 0. |
|
|
|
|
Для разностных систем (1.3) с посамосопряженвым Оператором схема |
||||
(2.9) |
, <2.10), как правило, более эффективна, чем различные |
варианты |
||
метода переменных направлений или метод последовательной верхней
релаксации. Схема (2.9), |
(2.10) особенно эффективна, когда в большинст |
|||||
ве узлов сетки С]* |
и <1ц ~ |
<<г№, так как при этом коэффициенты |
||||
итерируемого выражения |
|
будут малыми. |
|
|
|
|
Естественно, что в случае |
** Ь(Н < алк скорости сходимости схем |
|||||
(2.2) |
гл. 2, (3.1) гл. 2 и (2.9), |
(2.10) будут значительно окипе, чем при |
||||
= Ьрг = в/*» так как |
с уменьшением коэффициентов (1/к и Ь,к схема |
|||||
(2.2) |
. (3.1) гл. 2 или |
(2.9), (2.10) приближается к беэмтсрациониой про |
||||
гонке для одномерного уравнения. Поэтому о случае с / |
п р |
о г |
о н |
|||
ку для всиомогэтельной функции 2,л о схемах (2.2), |
(3.1) |
гл. 2, |
(2.9), |
|||
(2.10) лучше всети в направлении возрастании индекса |
|
|
|
|||
§ 3.3. Особенности схем с периферийноА компенсацией
Если границы области, в которой решается уравнение эллиптического типа, не параллельны координатным линиям счетной сетки, то, как уже говорилось выше, разностные аппроксимации граничных условий, записан ных на трехточечном шаблоне, следует рассматривать как самостоятель ные уравнения. Чтобы факторизованная система уравнений (2.9), (2 ,|0 ) во всей рассматриваемой области была в этом случае замкнутом, необходи мо сделать одно из двух:
а) в уравнениях |
(2.9), (2.10), эквивалентных правым гран» |
ш уело- |
|
вдям (где сов (й, *) > 0 ), принять к > 0, ц = ш =0, е > 0; |
|
|
|
б) рассматриваемую область расширить до прямоугольной: / |
= I , . . . . Л/, |
||
к = 1 , . . . , ЛГ, записав в довод кмтельных узлах уравнений |
= 0, и исполь |
||
зовать затем схему |
(2.9), (2.10) без всяких изменений |
в |
лопучземпй |
прямоугольной областн.
Во втором варианте факторизованные уравнения, эквивалентные гранич ным условиям, будут содержать в итерируемых выражении* излишнее диагональное преобладание, что в какой-то мере будет отрицательно ска зываться на скорости сходимости.
Использование компенсирующего выражения структуры (2.5) привод! 1г л этой схеме к потере шаблонности алгоритма но сравнению со схемами (2.2), (3.1) гл. 2 - выведению множителя о/ л случае рассмотрения прямо угольной области или отдельного набора параметров к, >|, ь», е л граничных точках в случае области произвольной непрямоугольной формы. Дня сохранения шаблонности схемы во всех счетных узлах сетки нерсискгив-
ным, |
па*внднмому, будет составление |
компенсирующего |
выражения |
Я и ( у О |
из кусков лилейной формы Л м О р ) |
и с х о д н о го разностного уравис- |
|
имя (1,3) гл. 1. |
|
|
|
Замела диагональном компенсации на |
периферийную в |
схеме (3.1) |
|
гл. 2, каэаддеь бы, должна приводить к лучшему результату, чем схема (2.9), (2.10), поскольку сумма коэффициентов в Я/д(<р) в схеме (3.1)
1М
гл. 2 примерно в три раза меньше, чем и схеме (2.2) тл. 2. Однако этого ке происходи г. Опытное решение уравнения Пуассона но схеме (3.1) гл. 2 с итерируемым выражением
7лг°пс(р) + ^ * ^ * (чО = |
|
|
|
||
3 |
Р/к0г-1 ,А -|(Л -1 |
,* -2 + ^ 1 * |
-Н ^Г -1 ,а - |
-**>Г.**1 + |
|
+ |
1,*) ■» «7*5/-!.* + 1<Рт- I.* ♦ з + 0^ / а - |
1.* “ |
“ |
||
-Ъ & 'к -1 - |
!.*)• |
|
|
|
|
где I |
+ 0 / = к т - д + Б |
+ 9/<*р + е, при оптимальном наборе параметров к = I, |
|||
Л = 3,2, { = 1, со = 0,1, е = 0 показано, что такая схема не |
обладает пре |
||||
имуществом перед схемой (2.9), |
(2.10) в смысле |
скорости |
сходимости. |
||
Дело |
здесь, но-видимому, в том, |
что в рекуррентной формуле для г л |
|||
схемы (2.9), (2.10) весьма удачно взаимно уничтожаются подобные члены
с ошибками предыдущего приближения поля функции |
|
|
|
|
Итерационную схему с периферии ион компенсацией |
можно |
построить |
||
и явную, т е . с использованием треугольных матриц Л и 5 |
из схемы (2.2) |
|||
гл. 2 и итерируемого выражения вида |
|
|
|
|
ЪкЯнЬ?)* &0;Нп1№) = В{кЬ1-1гк('Р/-1,к + 0№* |
|
- |
|
|
“ 7»УТ+|,Я - |
ГЫ^/,А*1) ^б/цСОГ/л,+^*)^д. |
|
|
(3.2) |
Схема (2.2) |
гл. 2 с использованием (2.9), (2.10) |
в |
задаче |
Дирихле |
обеспечивает достаточно хорошую скорость сходимости, но в задачах со свободными граничными условиями (условиями второго и третьего рода) она неэффективна.
Идею схем неполной факторизации (2.2). (3.1) гл. 2 и (2.9), (2.10) можно распространить на решение разностного уравнения тина (1.5) гл. I с произвольными матрицами Р/,0/, Л/. Л именно, решение уравнения (1.5) гл. I нужно искать в вице
2 й - |
Л/,2,_, 4 Г>(Я, *&Ф/_ , +ЛФ/ + * ;Ф ^ .). |
(3.3) |
|
/Л«У |
- |
I |
(3.4) |
Для определения же элементов матриц Г^, М,, М(, Я ,, |
Р(, Н§ будут ис |
||
пользоваться условия тождественности системы (3.3), (3.4) исходному уравнению (1.3) гл. 1 и некоторые дополнительные условия, которые мы
накладываем на выражение ФгФ/ - 1 *ЛгФн | произвольно.
Далее можно обобщить метод неполной факторизации на решение уравнений типа (1.3) гл. 1 с большим числом столбцов неизвестной функ ции у?,*.
Совершенствование схем неполной факторизации можно продолжить в различных направлениях. Некоторое развитие, например, получи па схема неполной факторизации (3.1) гл. 2 в работе (33). Здесь использована Лг-шягооая схема (3.1) гл. 2 с набором к значений ларамстра в. Исследо вание проводилось иа решении двумерных уравнении реактора в диффузнойном приближении. Результат оказался весьма примечательным. Асимп тотическая скорость сходимости итераций но схеме (3.1) т. 2 с нслоиь-
165
зоваиисм набора значений параметра в несколько раз иьнис, чем при по стоянном оптимальном значении параметра 0, и выше, чем но схеме (2.9), (2.10) с постоянным оптимальным набором параметров, к, д,<^, е.
|
Объясняется |
это следующим образом. На первоП итерации ко схеме |
Ш > гл. 2 при |
0 = I практически ликвидируется самая низкая гармоника |
|
в оид|бкс нулевого приближения (создается фон), при других значениях |
||
в |
> 0 ликвидируются более высокие гармоники к при 0 = О ликвидирует |
|
ся |
очаг ошибок с поперечным размером порядка шага сетки. Схема же |
|
(3.1) гл. 2 при одном значении параметра 0 подавляет ризиичныс гар моники ошибок неодинаково.
§ 3.4. Схемы неполной факторизации
как разновидность обобщенного метода установления
Посмотрим теперь на изложенные схемы неполной факториззции с
точки зрения развиваемых методов "расщепления”. |
|
|
||||
Если |
и уравнении |
(1.5) гл. 1 векторы Ф* _ , . Ф/ , Ф , 41 |
рассматривать |
|||
как элементы, то уравнение (1.3) гл. 1 можно записать и шщс |
|
|||||
ЛФ я |
Р, |
|
|
|
(4.1) |
|
где А - блочнотрехдиаготльная матрица порядка г = ММ. |
|
|
||||
* |
- (<ч...... ч>,). |
р - </........Л). |
|
|
||
Вес |
ириисдепиыс здесь схемы цепочной факторизации |
в |
соотнстстин |
|||
с (2.1) осуществилм>т итерационный прочесе |
|
|
||||
04+ Д )Ф (и) |
= Г -т Д Ф ^ '-1* |
|
(4.2) |
|||
или |
|
|
|
|
|
|
(А‘ + Л ,)(А ’ + Л 2)Ф(я> = П / гЧ Я Ф Сл- |) |, |
|
(4.2'| |
||||
где Я + Я | и Е ■+Я2 - |
матрицы более Простой структуры, чем А, с единич |
|||||
ными зле мечтами на главная диагонали. Г - диагональная матрица. |
||||||
Итерационный процесс, осуществляемый но схеме (4.2) в пиле [22) . |
||||||
(3.1) |
гл. |
2 нпл |
(2.9), |
(2.10), можно записать также следующим образом: |
||
|
|
|
|
= Г Р - ГЛФс,,- ’ >. |
|
(4.3) |
Согласно |
(4.3) |
схемы |
неполной факторизации можно рассматривать как |
|||
разновидность обобщенного метода установления (см., |
например. 125, |
|||||
39. 35]) |
|
|
|
|
|
|
(Я + 0 Л , М Ь ’4 О/1г )(Ф<л>- Ф<п - | >) = т С Г - Л Ф * " - " ) . |
|
(4.4) |
||||
Согласно (4.3) и в отличие от классического метода переменных направ лений и его раэлнчлых модификаций (4.4) в методе неполной факториза ции исходное уравнение (1.3) гл. 1 подвергается специальной нормировке с помошыо диагональной матрицы Г. после чего факторизованная матрица,
близкая к А, составляется из простых матриц {Е + /М |
и (А“+ /?2) г единич |
ными элементами на главной диагонали. |
|
Результаты экспериментальных исследований схем |
(3.1) гл. 2 и (2.9). |
(2.10) на реакторных задачах, приведенные в работах |
(33, 4 0 |, покат ш. |
что скорость сходимости схем неполной факторизации менее чувствитель на к числу обусловленности матрицы А исходного разностного /равнения (1.3) гл. I, чем скорость сходимости различных вариаций метода пере менных Направлений.
В работе (4 11 проведены теоретические исследовал ил сходнмосги явной схемы (2.?) гл. 2 применительно к уравнению (1.3) гл. I с самосопряжен ным оператором А. Используемые в формулах (4.2), (4.3) матрицы Г, Е + и К + Я*, входящие в схему (2.2) гл. 2. определялнсысэ соотно шения
(6 Ч Л ,)(Д Ч Л 2) = Г(А +КР + Ю- 3) , |
(4.5) |
где к? диагои 1ьнаи часть матрицы А с малым положительным пара метром к.
Параметр 4,*, щий и формулу ллн Гд. принимался равным единице.
Схема (2.2) гл. 2 записывалась в вице
*!к |
№**-«.* ПкС'\к -\ та * г1к'М |
«г |
-8,* |
Доказана сходимость итерационного процесса (4.6) и построен оптималь ный Д:-шаговый итерационный процесс (с ускорением но Чебышеву).
ГЛАВА 4
СХЕМЫ НЕПОЛНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ С РЕГУЛЯГИЗАТОРОМ
9 4.1. Предпосылки появления схем с регулярнззтором
Для быстрого достижения стационарного или заранее намеченного состояния какой-либо системы используются искусственные механиз мы (в технике - нагреватели, поглотители, смесители, в экономике - подоходный налог и тд .). То же самое можно сделать и в итерационном алгоритме получения решения эллиптического уравнения (1.3) гл. 1 создавать модсльнскуссгвеиного быстрого временного процесса
---------Л<к№) * Ак |
У.х.У. О- |
(1.1) |
о/
Далее, вое процессы в природе, вообще гоиоря, нестационарны. Но в природе существуют механизмы, действия которых сводятся к установ лению стационарных состояний физических систем (это диффузия, лучис тый теплообмен, конвекция и др.). Будем называть их регуллрнзаторами.
Суть и результаты действии регулярпзаторов различны. Лучистый тепло обмен между рассматриваемой областью и окружающей средой, описывае мый формулой ддц теплового потока 4/д = а ц (Т* - 7^-), привязывает поле функции Т1к в этой области к полю ГД = сопзК = Г*. Поглощенно
1*7
нейтронов в рассматриваемой среде привязывает поле функции |
являю |
щейся плотностью распределения нейтронов, к полю у ' = 0. Диффузия |
|
Э / |
— I |
ЭГ |
тепла — [X |
размазывает, а конвекция тепла сри{------ перекосит |
|
Ьх , \ |
дх,У |
Ьх( |
тепловую энергию в рамках рассматриваемой области без сс потери. Кон тактные механизмы взаимодействия двух сред, описываемые граничными условиями третьего рода, "привязывают” плотность рассматриваемой суб станции х иа поверхности одной области к плотности этой субстанции на поверхности другой.
л _ |
ду |
Таким образом, слагаемые тпла аг(р* - о д ) |
или и — |
Эх |
Э.г |
умело вносимые в исходное нестационарное уравнение дополнительно,
будут благоприятно влиять на разностную схему решения задачи п смысле ее устойчивости. А повышение устойчивости схемы позволит использовать больший шаг по врсм от в моделируемом искусственном временном про цессе, т.с. быстрее получить стационарное состояние рассматриваемой системы.
Эу) |
1 |
С такой точки зрении производная — |
&1 { * / - V * ) , принисын |
|
мал в. итерационных системах к левой части разностного уравнения (1.3) гл. 1 и эквивалентная источнику а(«р° - у>г) я правой части этого уравне нии, является простейшим рстуляризагором. Это слагаемое придаст тсрационному процессу устойчивость, прижимая последующее приближение к предыдущему, но при очень больших м очень малых значениях коэффи
циента |
а неблагоприятно сказывается на скорости сходимости. |
|
Выражение - о (</>]?*■ - |
помешенное в правой части уравнения (1.3) |
|
гл. 1, |
будет приводить к |
отталкиванию приближения <р\к от приближе |
ния «р°лг, тие. будет раскачивать итерационный процесс. По этой причине итерационный процесс [4] при 0, близких к единице, становится расходя щимся, а сходимость итерационного процесса [б| с возрастанием значении параметра 9 от 0,8 до I ухудшается.
Более эффективным регулярпзатором, чем Эуз/Эг, является вираже- |
||
эр |
_ |
а |
нис тина — Д — |
= |
— *л~ Др, приписываемое к левой части разностного |
уравнения (1.3) |
гл. |
1. Так как в выражении к (и,* - н ,+ 1^ ) , где о д = |
~*1к ~ |
.сумма коэффициентов при переменной V равна нулю,то регу- |
|||
лярмзатор —Дду>/Э/ "сцепляет” функции чр1 |
в-соседних |
узлах, не привязы |
||
вая поле функции |
в окрестности точки |
<*!, у*) к |
нолю функции |
|
Примером природного процесса, описываемого уравнением тш1в
(1.1)
дГ
является изменение давлении ка среднем уровне втмосфсры (см., напри мер, (261). Плоская конвекция, описываемая правой частью уравнении (1-2), вызывает одновременно изменение давления \р и вихря скоро*
1Й8
стн |
А р ним, |
что то |
|
же самое, изменение линейкой функции В(«р) = |
||||
= ^ |
- |
гм2Дф. Решение дли Ъ\?1Ы уравнения (1.2) на бесконечно протяжен- |
||||||
ион плоскости имеет вид |
|
|
||||||
^ |
|
(■*<>» >'о) |
= — - |
/ |
/ /(.'сг;',^ ) 1 :о ( Р ) Р ^ Л |
|
(1.3) |
|
дГ |
|
|
2 т |
о |
о |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
= — |
>/(* -ЛоУ* +( У- Уп ) 1. |
|
|
||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
ЛГ&(д) |
- |
функции Макдональда нулевого порядка |
(рис. 4.1). При /» > I |
|||||
^о(р) |
|
/ я |
|
|
1 |
„ |
Эр |
|
|
2р |
е р. при .р «3 1 К0(р) **0,11б - Ни— . Слагаемое т*А |
— |
|||||
|
|
|
|
|
р |
|
Э/ |
|
в уравнении (1.2) нвпяется демпферомКак составляющая плоской длнер-
ГСШШН |
ого есть приближенная |
д |
011 |
аппроксимация выражения — |
— |
||
0 |
»и |
|
^ |
-------------- , где н и н - горизонтальные компоненты скорости ветра. Это |
|||
Эу |
дг |
|
|
слагаемое размазывает действие |
источников (или возмущений), |
находя* |
|
щихся в правок части уравнения (1.2), на большую область. |
~ *Р1к» |
||
Таким образом, выражение типа €1/1* - ш *(Д о)ць где и,-* = |
|||
е < т1, может быть весьма удачным регулярнзаторо.м в итерационных
схемах решения эллшнических задач. |
|
|
Теория построения |
устойчивых |
разностных схем с использованием |
ре гул яриэлторов (для |
решения как |
стационарных, так и нестационарных |
задач) получила^ развитие и работах |
Е.Г. Дьяконове [36], 1Т.Н. Яценко |
|
[35], А.А. Самарского |
[29| и др. В работах эп<х авторов для регуляризации |
|
« №
Ас. 4.1. График функции Макдональда АГ,(р)
разностных схем используются факторизованные операторы, экви валентные по спектру оператору А исходного разностного уравнении (1.3) гл. 1. Регуляризаюр в каждом конкретном случае выбирается таким образом, чтобы упростить задачу обращении оператора на верхнем слое и сохранить требуемый порядок аппроксимации. Выбор регулярнзотора Я в каждой конкретной задаче неоднозначен.
Устойчивость и хорошую сходимость итерационной схемы (2.9), |
(2.10) |
|||
гл. 3 можно объяснить тем, что в итерируемом выражении 0,* + |
|
|||
содержится эллиптический регуляризаюр |
|
|
||
(?1*М = |
[(к + Ч * |
* *Н0/_ | .Я + «/_ I ,Ою* - |
|
|
-ЧА-1 .кй.*-! - (Л- I ,к |
I, * ) ( * ? ( - \,к + |
+ (|*)] |
(1,4) |
|
1 »
н сумма коэффициентов всего линейного итерируемого выражении в
уравнении для |
мала или равна нулю. Схему (2-9), (2.10) гл. 3 можно |
|||
рассматривать как схему (2.2) |
гл. 2 при 0 = I с добавлением в уравнение |
|||
для 2 » регуляриэатора |
. Схему |
(2.9), |
(2.10) гл. 3 при к = ] можно |
|
переписать и так: |
|
|
|
|
■ » ’ = « « Л ™ ,.,*> *',* |
. . * < « |
- . |
||
'* А - 1,а^Г - 1 .Л |
I “ ^5 -1, |
+ |
К1* + |
1,Л + *Г-1,*Э х |
- ^ / - . . , < " - 7 |
|
|
- |
|
|
|
|
|
0-5) |
№ |
|
|
I,Ь + 2(к |
|
В первых квадратных скобках уравнении для г {к системы (1.3) итери
руемые функции |
и ^ Т - |
1 ,А + 1 КОМПСИСПруюТСЯ фуПКЦНСЙ |
Ф*_1 В*, ■ вторые |
квадратные скобки |
содержат регулнриаатор. Так как |
лрн е = 0 сумма коэффициентов эллиптического регуляризатора равна нулю, то он практически не привязывает /не приближение полк функции V»/* к предыдущему приближению. Поэтому первое приближение по схе
ме |
(1 3 ) уже получается достаточно близким к точному решению. 0 случае |
у>/* |
= сопя!. оно получается сразу на первой итерации. Вернемся теперь к |
уравнению (1.3) гл. 1 с положительно полуопрсдсленным сеточным опс-
ратором А. Перепишем его в виде
7/*Л|*(1Р) ■ У м //я, А > О. |
(1.6) |
где 71к - некоторые произвольные положительные коэффициенты. Построение итерационной схемы решения уравнении (1.6) сведем к
моделирован ню некоторого искусственного нестационарного процесса. Для создания искусственного внутреннего процесса добавим к левой
Ь
частя уравнения (1 .6) производную — (ер)/*, где с > 0 - некоторый
стационарный эллиптический оиераторл к проинтегрируем полученное уравнение по единичному интервалу времени. Результат запишем в виде
С/*(ц>1-^ в)+07«Лд(^') + (1 -о)у/Нг*(^0) = У (к А к * |
0 - 7 ) |
||
где 0 < о < I. Согласно |
(1.7) простейшей итерационной схемой для |
урав |
|
нения (] .6) является |
|
|
|
- г$к) в - у 1кАцс(V»0) * 7/* Пк■ |
( 1•*) |
||
Болес устойчивая форма: |
|
|
|
*г(у>/* - У н ) + ау<к А м & 1 - у>°) = |
- 7 г * Л /* |( ^ 0) + Т/Лг Л * • |
0 -8 ') |
|
При о > 0 ,5 уравнение |
(1.7) записано с нарушением причинно-ел едстоен- |
||
ной связи, так что часть слагаемого |
—^ ° Ь а именно, линейная |
||
функция (о - 0 ,5 )тл А №(ч>1 - V0) |
в уравнении (1-8) является искусст |
||
венным регупнризатором. |
|
|
|
I »