книги / Пространственная модель турбулентного обмена

не конкретизируем к для простоты наложения осуществляем ее на и-м

Исполыун 170соогоотенпе, ф орм улу Тома, например

Аналогичное двухточечное соотношение получим на правок границе. Для

311

Как видно, использованный прием дает увеличение диагонального преобладании в соответствующей алгебраической системе.

2. А й а л н а у с т о й ч и в о с т и в о д н о м е р н о м с л у ч а е .

В одномерном случае ленью формулы для вихря на границе X = 0 могут

во многом определяет устойчивость процедуры двухнолсвого метода. После замены в (7 .31), согласно [16], значении функции тока а пригра­

Изучим сходимость двухполевого метода, рассматривая последователь­

312

Решение этих уравнении таково:

шему но модулю) собственному значению, а антисимметричный - второ­ му. Простые вычисления, выполненные с использованием связей между коэффициентами, дают формулы

Без модификации но [16] собственные знамения были раины [34)

X, = 1 + 0 ,5 ^ , X, = 1 +*ЛУ6 + 0(Л).

Таким образом, видно (а > 0), что модифицированные формулы приводят к уменьшению модули собственных эиаченним X, и Х3. В соответствии с результатами работы [36| следует ожидать и большую устойчивость моднфнцированных при счете местационарных и стационарных задач в плоской области. Отмстим, что модифицированиые формулы Тома, Вудса и Пирсо­ на имеют одинаковые значения X,. С точностью до 0(Л) совпадают у мнх н значения X].

Из (7.20), однако, следует, что процедура (7.17), (7.18) в непосредст­ венном виде еще расходится. Длястабшшэац|и1 процедуры можно восполь­ зоваться нижней релаксацией соотношений <7.13) в виде

I_________ 3(1 +д)Ь

что примерно вдвое больше, чем о>* для формулы Тома без модификации, Ухвжем на возможность дальнейшего обобщения процедуры [16), свя­

313

с л у ч а е .

Повысить точность решения нестационарных задач можно путем введе­ ния внутренних итерации (пересчетов) на каждом шаге ло времени (см., например, [3 6 |) . Эти итерации осушести ляют подъем граничных условий вихря на верхний слой. Сходимость внутренних итераций (без учета не­ линейных слагаемых) определяется из решения спектральной задачи,

Для вектора Ф, компонентами которого являютсяприграничные значе­ ния функции тока, исследуемый итерационный процесс изобразится урав­ нением

Сходимость итерационного процесса определяется спектрам матрицы пере­ хода Муэлементы которой зависит от геометрии области, сеточных парамет­ ров н используемой формулы для вихря.

Для многих схем спектр оказывается [36) вещественным с правой гра­ ницей спсустра П = 0. В таких случаях сходимость итерации определяется значением левой границы спектра Л. Определить модуль левой границы

одна итерация которого определяется уравнениями (7.23), (7.24). Отно­ сительно высокая скорость сходимости метода (7.25) обусловлена хоро­ шей удаленностью X, от Л2 ; согласно [36], при г = 00 | \ ( | > 2 | Л ] | .

Вычислении радиуса спектра итерационным методом (7.25) выполня­ лись для области квадрата с шагом квадратной сетки А - 1///. Уравнения эллиптического типа для функции тока и вихря на каждой т-й итерации решались методом ПВР. Стабилизация К ^ в четвертом знаке наступала после 8 -1 2 итераций.

В табл. 2.1 приведены значения радиуса спектра, полученные дня моди­

314

Таблица 2.1

Значении радиус* спектра для модифицированной формулы Тома лрк различных значениях сеточных параметров в, N

лы Тома ое ** 3,05). Это означает, что для стабилизации итераций при &> 5 необходимо использовать нижнюю релаксацию.

Использовать нижнюю релаксацию экономично при любых а. Так, напри­ мер, при о = 2 число итераций, уменьшающее невязку в граничном усло­ вии в заданное число раз, а три раза меньше при использовании релаксации.

Обработка результатов вычисления X при т =«*» (решение стационарной

Использование оптимального параметра нижнек релаксации позволяет получить минимальное значение радиуса спектра

Л* = /?(<*>*) * 1 - » • = Я/(Я + 2) “ I —5,1й.

По результатам [36) для формулы Тома без модификации (т = 00)

Ь » 0,91 - 0.573Я, Л* “ 1 - 3„5й.

Сравнение показывает, что модифицированный вариант сокращает число внешних циклов при решении стационарной задачи примерно "в 1,5 раза.

Определение радиуса спектра для облает» квадрата выполнялось и для модифицированной формулы Пирсона. Анализ полученных результатов

случае модифицированных формул Тома и Пирсона. В плоском случае модифицированная формула Тома оказалась лучше.

Выполненный анализ поквэывает перспективность модифицированных формул для вихря. При незначительном усложнении алгоритма вблизи границ области достигается увеличение скорости сходимости двухлолевого метода.

4.Д о п о л н е н и е

В заключение необходимо добавить, что длительная дискуссия в науч­ ной литературе но поводу "укрощ щ ш Г схемы (Я , Ф) для плоской за-

Э15

щаисп функция ли координатам .т к у, то можно утверждать, что в окрест­

л итерационном процессе будет малой и консервативной функцией. По­ этому для пгерацлоЕишго процесса имеет смысл функцию ^ к выразить

не через й*П|д» а через Ля 12|* - 24^ *. В схеме (7.17), (7.18), например, это можно сделать, записав уравнение (7.18) в точке I = I в виде

Таким образом, релаксация уравнения (7.18) дли 4* также полезна для улучшения сходимости схемы (7.17), (7.18). Б работе [30] релаксация в уравнение для Ф вводилась во всех точках рассматриваемой двумерной области.

При решении двумерных разностных уравнений для Л и Ф весьма удоб пым является метод неполной факторизации [17,27] или [41].

§2.8. Уравнения дли турбулентных течений

спотоками завихренностей

Уравнения Рейнольдса получили широкое применение в исследовании осрсдненпых турбулентных течений. С использованием их были получены и уравнения для вторичных моментов, цсииые для исследования сложной внутреш1сй структуры турбулентных течений.

Однако уравнения Рейнольдса имеют и существенные недостатки.

1. При аппроксимации турбулентных напряжений возникают трудности, когда оводится анизотропия в механизм турбулентного переноса импульса п тепла. Тензор турбулентных напряжений в ортогональной системе коорди­ нат, постромтый на основе кинетической модели переноса импульса, не удоплетпоряет условиям инвариантности. Сумма диагональных элементов тензора при е1 1 Ф е « Ф е не является инвариантом.

Такой результат является следствием того, что в моделях переноса импульса аппроксимация для пульсаций скорости и} в окрестности каж­ дой рассматриваемой точки не контролируется уравнением неразрывности.

2. При исключении давления из уравнешш Рейнольдса, г.е. яри составле­ нии уравнений для составляющих вихря, получаются громоздкие по струк­ туре и трудно реализуемые уравнения. При этом аппроксимации турбулент­ ных напряжений приходится дифференцировать, чего делать нельзя.

Поэтому представляет интерес и поиск других подходов к расчету турбулентных течений.

Рассмотрим другой возможный способ получения уравнений для осрсдпсиного турбулентного течения жидкости, а именно с иепольэопаиием мо­ дели перекоса, в которой переносимой субстанцией являются не импульсы, а составляющие вихря скорости.

Рассмотрим такой подход применительно к течениям несжимаемой жидкости.

317

Неходкие уравнения пгдродонамкки вязком жидкости возьмем в форме Лемба:

Вели массовая сила Р имеет потенциал, т.-е. Р = ~цп)й Ф, то, обозначив

Р2

уравнения гидромеханики перепишем в виде

Получим теперь уравнения для осредпснного поля скорости в турбулент­ ном потоке. Представим составляющие скорости и вихря в виде

31В

В соответствии с теорией, изложенной выше, можно записать

Турбулентные члены в уравнениях (8.8), (8.9) с учетом (8-11) запишутся следующим образом:

Дпн определения турбулентной энергии ? г , входящей в уравнения (8.8), (8.9), будем использовать уравнение баланса пульсациониой энергии (2.17) гл. 3 первой ч а с т

Схема расчета установившегося течения в прямолинейном канале строит*

ся как независимый дшимнчеекпй параметр. Это позволяет получить за­ висимость сродней безразмерной скорости и в кашле как функцию без­ размерного параметра Ф.

При расчете стационарных неустаиовившийся течении или нестационар­ ных течений поле давления можно исключить, путем перекрестного днф* ференцироваииж (8.7) - (8.9).

В целом такой подход при решении задач с* пространственном обтекания

оусловиях развитой турбулентности может служить хорошей основой

для построения точных н быстродействующих алгоритмов для ЭВМ.