книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы
.pdf4.6 |
|
ОПТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ |
301 |
при к = |
1 следует, что |
|
|
|
|
dz |
|
Обозначив 2 пхр = и^р —г, получим |
|
||
|
г о |
z 0 |
|
Gи М |
= ^ 2 / Jo^ |
Z d Z = ^ 2 / dtJl (2И = |
|
|
0 |
О |
|
|
|
= C W . (го) _ |
UoKp2jM * l (4 6 Ю) |
|
|
27TXZ |
2Q |
Нормированный спектр этой функции, определенный преобразованием Ганкеля,
РО |
|
|
|
|
|
27гf |
UoJo {2жхр) pdp |
U0npl |
2Ji(z0) |
1 (гр) |
|
о______________ |
г0 |
(4.6.11) |
|||
Gh(*) = |
Ро |
Uo^Po |
= h{po). |
||
|
2я-f Uopdp |
го |
|
||
о
Это соотношение уже приводилось в разделе 2.9.
Рассматриваемая функция с осевой симметрией приведена на рис. 4.6.2а, a ее пространственный спектр на рис. 4.6.26.
Ри с . 4.6.2. Функция с осевой симметрией (а) и ее спектр (б)
4.6.2.Преобразование оптических сигналов в линейной пространст венно-инвариантной оптической системе. Обработка зависящих от времени
электрических сигналов щ (t) в линейных четырехполюсниках во многом по добна обработке оптических сигналов, описываемых пространственными функ циями U (х ,у ), в оптических системах.
302 СИГНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ИХ ОБРАБОТКИ Гл. 4
Рассмотрим реакцию на входные воздействия линейной инвариантной оп тической системы, создающей изображения удаленных объектов. Напомним, что реакция линейной системы на произвольный входной сигнал представляет суперпозицию ее реакций на стандартные элементарные функции (гармоники, дельта-функции), на которые можно разложить сигнал.
При временной инвариантности реакция системы в момент времени t на входное воздействие в виде одиночного импульса, пришедшего в момент t\, зависит только от интервала t — t\. При пространственной инвариантности (ее еще называют изопланарностью) импульсный отклик оптической системы за висит только от разностей х - х\ и у - у\, где (*i,yi) — координаты точечного источника излучения, приведенные к плоскости изображения, а (х,у) — теку щие координаты.
Линейность оптических систем обычно не вызывает сомнений. Однако оп тические системы, создающие изображения, становятся инвариантными только после устранения таких аберраций как кома и астигматизм, когда начинает соблюдаться закон синусов Аббе.
Входным сигналом для оптической системы является распределение ярко сти в пространстве объектов B ( X, Y ) . При этом предполагается, что ось оп тической системы направлена на точку объекта с координатами X = Y = 0. Поскольку имеется однозначная связь координат точки в плоскости объектов и координат ее изображения, обусловленная линейным или угловым увеличением оптической системы (К = F'/пЬ, где F' — заднее фокусное расстояние опти ческой системы, п — показатель преломления среды в плоскости изображения, L — расстояние от оптической системы до объекта), то яркость объекта можно представить как функцию координат, приведенных к плоскости изображения. При этом необходимо также привести яркость к ее эффективному значению с учетом пропускания среды и оптики, а также разницы между относительными спектральными характеристиками излучателя и приемника.
Двумерный спектр приведенной к плоскости изображения яркости объекта В(х,у) (под В далее понимается эффективное значение яркости)
СО
GB (у ф ) — / / - < x,y)exp[-2jn(i/x + fj.y)]dxdy. |
(4.6.12) |
— ОО |
|
Как уже упоминалось, модуль функции G B {
называется простран-
ственно-частотной характеристикой излучающего объекта. Рассмотренные в разделе 4.6.1 спектры двумерных функций позволяют сразу записать выраже ния для пространственно-частотных характеристик некоторых объектов. На пример, для точечного источника с координатами {x\,yi) и силой света в на правлении на оптическую систему / [Вт/ср] пространственно-частотная харак
4.6 |
ОПТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ |
303 |
теристика (ПЧХ) не зависит от частоты:
ПЧХ = |GB (^,/*)| = I\e x p [- j2 n(vxi + MJ/i)]| = I-
Для объекта прямоугольной формы с равномерной яркостью В0 и размерами
I х т
ПЧХ = В0т 1 sine ^2тпД^ sine ^2тгМу)
Наконец, для круглого объекта с равномерной яркостью В0 и радиусом р0 согласно (4.6.10) получим
ПЧХ = Д0я-/>32|Л (го)|, ^0
где zo = 2 п яр 0 = <*>хР-
Степень размытости изображения точечного источника характеризуется функцией рассеяния h(x,y,xi,yi), представляющей освещенность в точке с координатами (х ,у ) от точечного источника, проектируемого оптической систе мой в точку (агх,уг). Так как весь размытый поток равен исходному, то условие нормировки функции рассеяния имеет вид
ОО
x,y,X!,yi)dxdy= 1.
Функция рассеяния аналогична импульсной характеристике электрического фильтра. Идеальный электрический фильтр с бесконечной полосой пропуска ния h(t) =tS (t ) воспроизводит единичный импульс без искажений. Реальный фильтр с ограниченной полосой пропускания распределяет энергию импульса в соответствии с его комплексным коэффициентом передачи.
Для изопланарных систем
= h{x - х и у - yi).
Так как в соответствии с (2.9.1) при г = 1
Е(х,у) = жВ(х,у) sin2 (и1) ,
{и1 — задний апертурный угол объектива), то распределение освещенности в плоскости изображения оптической системы — ее выходной сигнал
Е{х,у) |
B { x i , y i ) h ( x - х и у - y^dx^dyi . |
(4.6.13) |
Последнее соотношение основано на предположении о некогерентности из лучения, так как суммирование воздействий проводится как суммирование
304 СИГНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ИХ ОБРАБОТКИ Гл. 4
освещенностей. Для когерентного излучения суммироваться должны комплекс ные амплитуды вектора электромагнитного поля.
Уравнение (4.6.13) представляет собой одну из форм интеграла суперпо зиции для линейной пространственно-инвариантной оптической системы. Из этого уравнения следует, что выходной сигнал оптической системы (распреде ление освещенностей в плоскости ее изображения) представляет собой свертку входного сигнала с импульсным откликом системы.
Зависимость выходного сигнала от входного в такой системе проще все го определить в пространственно-частотной области. Для этого использует ся теорема свертки, согласно которой Фурье-образ свертки (в данном случае двумерный спектр Е(х,у)) равен произведению Фурье-образов свертываемых функций:
ОО
GE {V,H) = Trsin2(u') J J J J B(xi,yi) h(x - x 1}y - yi)x
— OO |
|
x exp[-j27r (их + fiy)]dxdy = = 7rsin2 (u ,)G !B (i'l/O Gh (v,y) , |
(4.6.14) |
где GB (I/,M) определено уравнением (4.6.12), a |
|
OO |
|
Gh (v,y) = J J h(x,y)exp[-j27r(i/x + y,y)]dxdy |
(4.6.15) |
— OO
называется передаточной функцией оптической системы или оптической пере даточной функцией. Модуль функции (?/l (t,,/i) получил название двумерной пространственно-частотной характеристики оптической системы.
Таким образом, двумерный спектр распределения освещенностей в плос кости изображения определяется произведением двумерного спектра яркости объекта на оптическую передаточную функцию оптической системы, а оптиче ская система представляет собой линейный фильтр пространственных частот с коэффициентом передачи G/Ji/,//).
Фильтром пространственных частот является не только объектив с апертур ной диафрагмой, но и другие элементы оптической системы, например растры, чувствительные площадки фотоприемника или полевая диафрагма. При нали чии в плоскости изображения диафрагмы с комплексным коэффициентом пере дачи д л (и,ц) спектральная функция освещенности в плоскости изображения за диафрагмой составляет уже
GE (V,I*) = я-sin 2(U')GB (иф)дн(^ф)С1л (и,ц).
Аналогичное выражение имеет место и при размещении в плоскости изобра жения фоточувствительной площадки.
4.6 ОПТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ 305
Распределение освещенности на выходе оптической системы определяется обратным преобразованием Фурье:
ОО |
|
Е(х,у) = 7rsin2(u') J J G's(^,/i)G/l (i/,/x)exp[j27r(i/x+ |
(4.6. 16) |
При установке полевой диафрагмы или фотоприемника подынтегральное выра жение в уравнении (4.6.16) следует дополнить Ga(v,p).
Если объектив собирает излучение от бесконечно удаленного точечного ис точника с координатами X = Y = 0, то двумерный спектр эффективной яркости GB {v,p) не зависит от пространственной частоты, а вид выходного изображе ния оптической системы определяется ее импульсным откликом.
Нормированный отклик для комплексных амплитуд скорректированного по аберрациям и ограниченного только дифракцией на апертурной диафрагме объ ектива представляет собой пятно Эйри в фокальной плоскости
h (ро) = |
2^1 (*о) |
|
|
|
го |
При этом из дифракционной |
картины Фраунгофера x = r / A F ' (где г — |
|
радиус изображения на экране) |
и z0 = 2киро = 7г(£)/А) {p/F') = тгж, где D — |
|
диаметр апертурной диафрагмы. |
|
|
Радиус первого темного пятна в кружке Эйри |
||
|
г = 1,22 — . |
|
|
’ |
D |
При некогерентном излучении от точечного объекта складываются осве щенности и, очевидно,
(4.6.17)
Оптическая передаточная функция обладает осевой симметрией, а ее нор мированное значение
при |
X |
|
|
к ^ |
|
||
GAW = |
р |
(4.6.18) |
|
X |
|||
при |
|
||
к > |
|
||
|
р |
|
|
где x/p = D/XF' Дифракционная функция рассеяния |
(4.6.17) и ее спектр- |
||
оптическая передаточная функция (4.6.18) приведены на рис. 4.6.3. На про странственных частотах, больших х / 2 р = D/2XF', оптическая передаточная функция уже меньше 1/2.
Оптические системы подобно радиотехническим часто называют линейными фильтрами нижних пространственных частот.
306 |
СИГНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ИХ ОБРАБОТКИ |
Гл. 4 |
Таким образом, приведенное рассмотрение показало общность и отличия в преобразовании сигналов электрическими четырехполюсниками и оптическими
Р и с . 4.6.3. Дифракционная функция рассеяния (а) и ее спектр (б)
системами. Общим является использование частотных, переходных и импульс ных характеристик. Одно из основных отличий — одномерность анализа для временной координаты и двумерность — для пространственных. Есть различия и в условиях физической реализуемости. Как уже отмечалось, реакция во вре мени не может возникнуть раньше момента воздействия t0, то есть при t < t0- Для пространственных координат нет такой «дискриминации» направлений: точки при х < ж0 и х > х0 равноправны.
Реальные оптические системы инвариантны, как правило, в пределах огра ниченных областей (изопланарных участков), симметрично расположенных от носительно оптической оси системы. Инвариантность электрических систем во времени обычно не ограничивается.
Оптические системы при построении изображения осуществляют двумер ную свертку входного сигнала с импульсным откликом системы или двойное двумерное преобразование Фурье: прямое Фурье-преобразование излучения от объекта и обратное преобразование произведения спектров функции рассеяния оптической системы и ее выходного сигнала.
Фурье-образ входного оптического сигнала в оптической системе может быть реализован в виде физически существующих распределений комплексных амплитуд излучения или распределения освещенностей в определенной области системы. В электрических цепях Фурье-образы не соответствуют реальным физическим сигналам.
Очевидно, что необходимость использования Фурье-разложений для анали за и синтеза оптических систем обусловлена физической сущностью преобра зований, осуществляемых оптическими системами.
Г Л А В А 5
ШУМЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ
В этой главе приведены основные сведения о случайных процессах и законах их распределения. Выведены соотношения для спектральной плотности мощ ности и автокорреляционной функции случайного процесса. Рассмотрены при меры случайных процессов, подчиняющихся биномиальному, пуассоновскому и нормальному законам распределения.
Обсуждаются основные виды шумов, встречающихся в изделиях твердо тельной фотоэлектроники, прохождение шумов через электронные линейные цепи с постоянными параметрами и оптимальная фильтрация сигналов из их смеси с шумами.
В заключение рассчитаны минимальные обнаруживаемые мощности опти ческих сигналов, обусловленные флуктуациями как самого сигнала, так и фо нового излучения.
5.1. Сведения о случайных колебаниях [12, 15]
Точные значения случайной величины, в отличие от детерминированного или регулярного колебания, предсказаны быть не могут. В реальных системах пе редачи информации заранее не известно, какой сигнал будет передаваться. Тем более не известны помехи и шумы. Ниже будет показано, что шумы в опто электронных компонентах возникают как правило в результате случайного на микроскопическом уровне поведения носителей заряда. Обычно эти носители образуют огромный коллектив квантовых микрочастиц, в котором отследить движение каждой из них невозможно в принципе.
Для исследования таких систем и сигналов необходимо применять имею щие вероятностный характер статистические закономерности, выявляемые при многократном повторении испытаний в неизменных условиях. При этом самое большее, что можно знать о поведении случайной функции, — это вероятность, с которой она может принять тот или иной вид из множества возможных.
Многие важные статистические задачи успешно решаются, если предста вить случайный процесс набором неслучайных параметров, отражающих его существенные свойства. Используются такие параметры как среднее значение случайной функции, среднее значение ее квадрата, дисперсия (среднее значе ние квадрата отклонения функции от ее среднего значения) и функция авто корреляции, выражающая статистическую связь между значениями колебания, взятыми в два момента времени.
308 |
ШУМЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ |
Гл. 5 |
5.1.1. Закон распределения и параметры случайных функций. На рис. 5.1.1 изображена полученная в эксперименте с использованием мно жества идентичных источников шума совокупность (ансамбль) реализаций Xk(t) случайного процесса X(t). Значения, которые принимают реализации Xk{t) в момент времени t = ti, образуют совокупность случайных величин
®1 (^1) ) ®2 (^1) • • •
Важнейшей характеристикой случайной величины является присущий ей одномерный закон распределения вероятностей. Вероятность того, что в момент времени ti величина Xk{t) попадает в какой-либо заданный интервал (а,Ь)
определяется интегральным выражением |
|
|
|
о |
|
|
Ptl (а ^ х ^ 6) = J p ( x ,ti) d x . |
(5.1.1) |
Указанная |
интегральная вероятность вычисляется |
из эксперименталь- |
ных данных |
с помощью соотношения Ptl (а ^ х ^ Ь) = |
Пт n/N, где N — |
|
|
N-+ОО |
общее число полученных реализаций Xk(t), п — сколько раз в этих реализациях вели чина xk (t) оказалась в заданном интервале. Отношение n /N в теории вероятностей на зывается частотой наступления события.
Функция p{x,ti) представляет собой дифференциальный закон распределения для случайной величины х (t) в момент t = t\ и статистически полно характеризует случай ную величину в этом сечении (то есть в фик сированный момент времени t = ti). Функ ция p{x,t\) называется одномерной плот ностью вероятности. При любом характере
p(x,t\) должно выполняться равенство
^тах
J Р(*£>) dx = 1, |
(5.1.2) |
^ mi
где %min И Я'тах — границы возможных значений Xf.{ti). Соотношение (5.1.2) очевидно: в опыте обязательно встретится одно из значений х в диапазоне [zmimZmax]- «Обязательно» — это и означает вероятность равную единице.
Если х может принимать лишь одно из конечного числа дискретных Значе ний х{, то (5.1.2) следует заменить на
Е « = 1- |
(5 .1 .3 ) |
5.1 |
СВЕДЕНИЯ О СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ |
309 |
где Pi — вероятность, соответствующая величине ж,-. |
|
|
Задание |
одномерной плотности вероятности p(x,ti) |
позволяет произвести |
статистическое усреднение самой величины х и любой ее функции /(ж) в каком-либо сечении процесса по множеству (ансамблю) функций времени, под чиняющихся общей статистической закономерности.
Наиболее значительные параметры случайного процесса в данном его сече нии t\:
среднее значение (математическое ожидание, первый момент)
ОО |
|
(ж(М> = / xp(x,ti)dx; |
(5.1.4) |
— ОО |
|
средний квадрат (второй момент, интенсивность или средняя мощность ко лебаний)
ОО |
|
|
|
(ж2(<i)) = J |
x 2p(x,ti)dx; |
(5.1.5) |
|
— ОО |
|
|
|
средний квадрат флуктуации (дисперсия, вариация) |
|
||
Dx (ti) = o l( h ) = {(i(ti) - (x ft,)»2) |
= |
|
|
= (x 2 ((,) - 2x (t,) <x (1,)) + |
(i (!,)>2) = |
<x2(l,)> - (x (!,))2; |
(5.1.6) |
где ax(t\) — среднеквадратичное отклонение |
|
|
|
o x (*i) = y / D x (*i) = v/(z2(*i)> - |
(z(*i))2 |
|
|
Разность x(t) - (ж(£)) называют центрированной случайной величиной, а также шумом или флуктуацией. Законы распределения случайной величины и центрированной случайной величины отличаются лишь смещением по оси жна величину (ж). Таким образом, дисперсия — это среднее значение квадрата центрированной случайной величины или интенсивность шума. Она характери зует мощность отклонений случайной величины от ее среднего значения. Если случайной величиной являются напряжение или ток, то ст2(^) характеризу ет тепловую мощность, выделяемую на нагрузке в 1 Ом. Среднеквадратичное отклонение crx (ti) называют также среднеквадратичным значением шума.
Одномерная плотность вероятности недостаточна для полной характеристи ки случайного процесса ж (t), так как дает представление о нем только в от дельные фиксированные моменты времени и не отражает внутренней структуры случайного процесса или характера (быстроты) его протекания. Более полной характеристикой является двумерная плотность вероятностей p{xi,ti; X2,t2), представляющая собой вероятность более сложного события, состоящего в том, что в момент времени ti величина ж принимает значение близкое к х\ (между
