книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы

Функцию, которая принимает указанные значения, называют единичным скачком и обозначают 1 (t - t0). Следовательно, интеграл от дельта-функции есть единичный скачок. В свою очередь дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка 1(г - £0):

Дельта-функция (условно) и единичный скачок, смещенные по оси времени на to, показаны на рис. 4.2.\в и рис. 4.2.\г соответственно. Спектральная функ­ ция единичного скачка (функции включения, функции Хевисайда) вычислена в следующем разделе.

4.3. Спектры различных колебаний

В этом разделе приведены спектральные функции (спектры) ряда типовых ко­ лебаний, часто встречающиеся при приеме и обработке оптических и электри­ ческих сигналов.

—OO

=En [exp (j<po) 6(u - w0) + exp (~j(p0) S (w + w0)]. (4.3.1)

Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная функция на дискретных частотах w0 и -w 0.

Используя соотношение (4.3.1) удается, например, выразить спектральную функцию (спектр) периодического сигнала (в виде суммы дельта-функций) или спектральную функцию смеси импульсного сигнала и монохроматического ко­ лебания.

4.3.2. Спектр постоянного напряжения. Спектральная функция для по­ стоянного напряжения Е получается из (4.3.1) при w0 = 0 и <^0 = 0:

4.3.3. Спектр одиночного прямоугольного импульса. Одиночный прямо­ угольный импульс определяется следующими выражениями:

должна быть дополнена слагаемым -штк/ 2 — штриховая линия на рис. 4.3.16. Спектральная плотность энергии прямоугольного импульса в соответствии

с (4.1.33)

4.3.6. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса. Гауссов им­ пульс определяется функцией s(t) = E e x p (—t2/2a2) при —оо < t < оо. Посто­ янная а имеет смысл половины длительности импульса, измеренной на уровне ехр(-1/2) = 0,606 от амплитуды импульса. Спектр гауссова импульса равен

G(u>) = Ed2aV2 J exp(—x2)dx = Ed2aV2^/n =

— ОО

= E a V ^ e x р = 5 е *Р ( “ ^ ) ’ (13.8)

где В = аЕ\/2ж и 6 = 1/а.

Оказывается, что гауссов импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями (рис. 4.3.3). При этом спектральная полоса, определяемая на уровне

Р и с . 4.3.3. Колоколообразный (гауссов) импульс (а) и его спектральная функция ^

ехр(-1/2) от максимального значения, равна 26 = 2/а = 4/т и.

Спектр косинус-квадратного импульса приведен на рис. 4.3.5. Прибли­ зительно 90% энергии импульса сосредоточено в полосе частот от нуля до f i ~ u>i/27r = 0,95/Т

4.3.8. Спектр треугольного импульса. Треугольный импульс с высотой Е и длительностью Г, симметричный относительно t, представляется как

где 1(f), l ( t ± j ) — единичные функции. Треугольный импульс может быть представлен и в виде интеграла

ОО

s(f) = J Si (x)Sj (х + t) dx,

где si(x) — прямоугольный импульс с высотой у Щ н основанием Т/Ч По­

скольку для симметричных функций этот интеграл не отличается от их Сверт­ ки, то на основании (4.1.27) имеем

4.4 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОЦЕССОВ 279

режения сигнал s(t + г) показан на рис. 4.4.16, а произведение s(f) s(t + г) — на рис. 4.4.1в. Наконец график В3(т) изображен на рис. 4.4.1г.

При относительном сдвиге сигналов на величину, превышающую их дли­ тельность, корреляционная функция обращается в нуль. В общем случае Bs (т) также убывает с увеличением г, но не обязательно монотонно.

С помощью соотношения (4.1.29) автокорреляционная функция может быть

где G (w) — спектральная функция s(f), G (w)exp(-yo;r) — спектральная функ­ ция s(t + r).

На основании известных свойств преобразования Фурье из (4.4.3) следует

Таким образом, корреляционная функция является обратным Фурье-пре- образованием (4.4.3) спектральной плотности энергии колебаний. Прямое Фурье-преобразование корреляционной функции (4.4.4) позволяет получить спектральную плотность энергии сигнала.

Корреляционная функция, как и спектральная плотность энергии, не за­ висит от фазовых характеристик спектра сигнала (хотя форма сигнала s(t) существенно зависит от фазового спектра). Интервал корреляции уменьшается при расширении спектра сигнала и наоборот.

Вкачестве примера найдем автокорреляционную функцию сигнала s(t) =

=Аехр(—at) 1(f). В соответствии с (4.4.1)

ОО

B3(r)= J i42exp(-af) 1 (f)exp[-a(f + г)] 1 (f + г) dt.

— ОО

ния £ = Bs (0) = А2/2а и нормированная автокорреляционная функция В $(г) = = ехр(—а|т|).

Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, соотно­ шение (4.4.1) для определения корреляционной функции неприемлемо. В этом случае исходят из следующего определения

Таким образом, корреляционная функция приобретает размерность мощно­ сти. Очевидно, что усреднение может быть проведено и по периоду сигнала (обозначим его здесь Ti ):

С учетом (4.1.7)

21

ВЯмг (T) = j r j ^5Z«„exp (jnQt^j ^ J^ a„ex p j (nQt + r) j dt =