книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы

Периодическому сигналу соответствует периодическая корреляционная

Для оценки связи между двумя различными (в общем случае комплексны­ ми) сигналами sj (£) и s2 (f) используется взаимно-корреляционная функция, равная

Функция BglS2 (г) не изменяется, если вместо упреждения сигнала s2 (0 произвести задержку сигнала si(t). Очевидно, что В3(т) является частным случаем BSlS3(r), когда si(t) = S2 (t). Однако в отличие от В8(т), взаимно­ корреляционная функция не обязательно является четной относительно г и не обязательно достигает максимума при т= 0.

282 СИГНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ИХ ОБРАБОТКИ Гл. 4

4.5. Линейные четырехполюсники с постоянными параметрами при воздействии регулярных сигналов [12, 15]

Электрическая цепь, в которой выделены два узла (клеммы) для под­ ключения источника сигнала и еще два — для подключения ее потребителей, называется четырехполюсником. При рассмотрении такой цепи как четы­ рехполюсника обычно не интересуются изменениями напряжений и токов в элементах цепи: четырехполюсник полностью характеризуется соотношениями между напряжениями и токами на его входе и выходе. При этом реакция четырехполюсника зависит от выходного импеданса источника сигнала и от подключенных к выходным клеммам четырехполюсника потребителей.

В этом разделе рассматривается прохождение регулярных сигналов через четырехполюсники, предназначенные для линейного преобразования электри­ ческих сигналов (усиления, фильтрации и так далее).

Преобразование называют линейным, если соответствующий ему оператор

то есть реакция пропорциональна величине воздействия, а реакция на сумму внешних воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельно­ сти. Последнее свойство называют принципом суперпозиции или наложения.

Отметим, что производные любого порядка и интегралы любой кратности, применяемые к функции, также являются линейными преобразованиями этой функции. Ведь в предыдущем разделе было показано, что взятие производ­ ной равносильно умножению спектральной функции на С = ju , а интегриро­ вание — на С = 1/jw.

Электрические цепи, включающие линейные элементы с постоянными во времени параметрами, описываются линейными дифференциальными уравне­ ниями с постоянными коэффициентами. В таких цепях не происходит преоб­ разование спектра сигналов (в спектре выходного сигнала и2(£) не появляются частоты, отсутствующие в спектре входного сигнала щ (t) — при прохожде­ нии через цепь меняются лишь амплитуды и фазы гармоник, содержащихся в щ (*))•

Нелинейные и параметрические электрические цепи (в последних парамет­ ры элементов изменяются со временем) требуют отдельного рассмотрения. Од­ нако существует значительное число нелинейных систем, допускающих лине­ аризацию. Так, одной из основных задач фоточувствительных приборов явля­ ется регистрация предельно слабых сигналов. Очевидно, что в этих случаях приемная система линеаризуется.

Далее рассматриваются только электрические цепи с сосредоточенными па­ раметрами, волновыми процессами в которых можно пренебречь. Имеющиеся в

4.5 ЛИНЕЙНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 283

цепях устройства с распределенными параметрами учитываются в простейшем виде звена запаздывания.

Применение нашли следующие методы математического исследования ли­ нейных электрических цепей, основанные на использовании принципа супер­ позиции:

классический метод решения дифференциальных уравнений (используется для простейших цепей, описываемых уравнениями не выше второго порядка);

частотный (преобразование Фурье) и операционный (преобразование Ла­ пласа) методы, основанные на спектральном представлении сигнала. Здесь ре­ шение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф­ фициентами для оригиналов функций заменяется решением соответствующей системы алгебраических уравнений для их изображений;

метод интеграла наложения Дюамеля, основанный на представлении сигна­ ла в виде суммы импульсов (или скачков).

Далее рассмотрены методы интеграла наложения и частотный метод.

4.5.1.Импульсная характеристика четырехполюсника. В соответствии

с(4.2.3) функция щ (t) на входе четырехполюсника может быть представлена

ввиде

конечную последовательность смещенных во времени дельта-импульсов, умно­ женных на значение этого колебания в моменты, соответствующие смещениям.

Но так как к линейной системе применим принцип суперпозиции (на­ ложения), то, определив реакцию четырехполюсника на воздействие дельта­ импульса, можно определить его реакцию на любое воздействие щ (t). Поэто­ му будем характеризовать четырехполюсник его выходной реакцией h(t) на воздействие в виде дельта-импульса <5(t)

Функцию h (t) называют импульсной характеристикой или импульсным от­ кликом четырехполюсника. Так как параметры четырехполюсника не меняются

со временем, то форма h (t) не зависит от того, в какой момент воздействовал импульс: если ui(t) = S(t —r) — импульс запаздывает, то U2 (t) = h(t - т).

При этом импульсный отклик четырехполюсника до момента воздействия им­ пульса, очевидно, равен нулю (следствие не может опережать вызвавшую его

Соотношение (4.5.2) называется условием физической осуществимости че­ тырехполюсника.

Так как входное воздействие щ (t) представляет собой сумму (точнее инте­ грал) дельта-импульсов, а реакция четырехполюсника на каждый из них равна

284 СИГНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ИХ ОБРАБОТКИ Гл. 4

В этом и состоит суть рассматриваемого метода — интеграла наложения. За­ метим, что правый интеграл в соотношении (4.5.3) легко получается, если сделать подстановку ( - г = т ' и в полученном выражении отбросить штрих у г (значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной).

Операция (4.5.3) называется сверткой функций щ (t) и h{t). Таким образом сигнал на выходе линейной цепи является сверткой входного сигнала щ (t) с импульсной характеристикой цепи h(t).

На рис. 4.5.1а-г показан порядок операций, которые необходимо проделать для получения и2 (t) в некоторый момент t в соответствии с первым интегралом в соотношении (4.5.3). На

быть умножена ордината «х (t) для того, чтобы определить ее вклад в значение выходного колебания и2(t) в рассматриваемый момент t.

Иногда функцию Л (—г) называют функцией памяти четырехполюсника и обозначают h ( —r) = m(r), тогда его выходной сигнал представляется взаимной

4.5 ЛИНЕЙНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 285

корреляционной функцией входного сигнала и функции памяти:

— ОО

Очевидно, что в реальных электронных схемах память ограничена во вре­ мени и интеграл

о

Это неравенство называют условием устойчивости системы.

Импульсная характеристика особенно удобна для расчета реакции на корот­ кий входной импульс. Выходная реакция цепи в момент времени t на короткий импульс длительности tn, пришедший на ее вход при t = 0, согласно (4.2.3) составляет

где в < tn и S — площадь входного импульса. Таким образом, при подаче на вход четырехполюсника импульса малой длительности по сравнению с г вы­ ходной сигнал зависит от площади импульса, а не от его формы (аналогично G(u>) в спектре импульса). Это и понятно: такой короткий импульс по суще­ ству сам является тестовым, точнее, отличается от дельта-импульса только площадью. Если площадь дельта-импульса по определению равна единице, то площадь реального короткого импульса равна 5. Поэтому и выходной сигнал системы составляет не h(t), a h(t)S.

4 .5.2. Переходная характеристика четырехполюсника. Входное воздей­ ствие щ (t) четырехполюсника можно представить не только в виде бесконеч­ ной последовательности дельта-импульсов, но и в виде бесконечной последо­ вательности скачков напряжения разной величины, возникающих в различные моменты времени. Так, для воздействия, изображенного на рис. 4.5.2 имеем

(4.5.7) Правая часть этого соотношения получена аналогично правой части соотноше­ ния (4.5.3).