книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы

Такая квантовая структура называется одномерной, квантовой нитью или про­ волокой.

Наконец, при ограничении движения электронов потенциальными барье­ рами во всех трех направлениях возникает нульмерная структура или кван­ товая точка (которую иногда уподобляют искусственному атому) с волновой функцией

и набором дискретных уровней энергии Очевидно, что в реальных структурах глубина потенциальных ям конечна.

При понижении потенциальных барьеров, как уже было показано, происхо­ дит просачивание электронов сквозь барьер, амплитуды собственных волновых функций электрона на границах ямы становятся отличными от нуля (они тем больше, чем ближе уровень к верху барьера) и экспоненциально убывают в барьере при удалении от границы. При этом эффективная ширина ямы увели­ чивается, и собственные значения энергии £п при том же значении п умень­ шаются. Число квантовых состояний в потенциальной яме конечной глубины также становится конечным (рис. 3.2.4).

Оценим положение энергетических уровней в одномерной квантовой яме конечной глубины £„• Для упрощения выкладок перенесем начало отсчета ко­ ординаты в середину ямы (в точку х = Ъ/ 2 на рис. 3.2.3). Волновая функция

Учитывая условия непрерывности p и dp/dxi на границе II и III областей исключив из полученных соотношений коэффициент А, получим

Из непрерывности р и dp/dx i на границе I и II областей следует

Приравняв правые части приведенных соотношений, находим

ехр 0'Л2Ь) = ± ^ Д - | . jk2 + В

182 ПОЛУПРОВОДНИКИ Гл. 3

Вспомним, что

А /Я\ .exp(jx) + 1

С‘* Ы>27= - ’-exp (jx) — 1

Тогда для решения exp(jk2b) со знаком плюс ct%(k2b/2) = к2//3, а для решения со знаком минус tg(k2b/2) = - к 2/р. Из двух последних соотношений следует

Абсциссы точек пересечения кривых (3.2.7) и (3.2.8) с окружностью (3.2.9) на рис. 3.2.6, где в качестве координат отложены величины к2Ь/2 и /36/2, и дают возможность определить собствен­ ные значения энергии £п для кван­

товой ямы конечной глубины:

сказывается и на движении электрона в континууме над ямой. Кинетическая энергия электрона над ямой возрастает, и длина волны де Бройля уменьшается. Выйдя за пределы ямы, электрон снова приобретает первоначальное значение волнового вектора. Это приводит к частичному отражению потока электронов. Коэффициент отражения определяется соотношением (3.2.2) с заменой <§п на —<S„ и становится равным нулю (как будто ямы вообще нет) только при дис­ кретных значениях <В„ совпадающих с величинами собственной энергии для

184 ПОЛУПРОВОДНИКИ Гл. 3

При колебательных процессах Fx=о = 0, так как х —0 соответствует равно­ весию.

Амплитуда колебаний а>о в уравнении (3.2.11) определяется полной энерги­ ей колебаний £ = <£к +<§п. На рис. 3.2.7 приведена координатная зависимость

Полная энергия осциллятора в произвольный момент времени может быть представлена в виде

где wo = 27г^о = С/у/М .

Из рисунка видно, что осциллятор представляет собой своеобразную потен­ циальную яму с отражающими стенками. Ее ширина увеличивается с ростом полной энергии колебаний частицы (пропорционально квадратному корню из энергии).

Уравнение Шредингера для квантового осциллятора с <ВП= С 2х2/2

Решение этого уравнения получается достаточно громоздким, так как в него входит переменная х в квадрате. Поэтому приведем здесь только оконча­ тельный результат вычислений и его физическое толкование. Как и в случае квантовых уровней в задаче о прямоугольной яме, гармонический осциллятор имеет дискретный набор дозволенных значений энергии. Однако расстояние между дозволенными уровнями энергии здесь одинаково и составляет hi/0:

(3.2.13)

где п = 0, 1 ,2 ,...

Этот результат становится понятным, если исходить из следующих оце­ нок. Для квантовых микрочастиц длина де-бройлевской волны An = h/y/2mS„ уменьшается с ростом п. Легко убедиться, что в параболической потенциаль­ ной яме при приращении энергии частицы на величину hi/0 происходит именно такое расширение ямы, которое обеспечивает при меньшей длине волны резо­

3.2 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА ПРИ НАЛИЧИИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ 185

нансные условия для волновой функции, удлиненной на половину периода по сравнению с нижележащим уровнем.

Существование уровня с нулевой энергией (п = 0) является, как и в пря­ моугольной яме, прямым следствием принципа неопределенности. Если бы при нулевой температуре колебание ос­ циллятора полностью прекратилось, то оказалось бы возможным одно­ временно точно определить коорди­ нату и импульс частицы. Во взаимо­ действии осциллятора с другими си­ стемами нулевые колебания участия не принимают.

численную классически: так как скорость частицы больше при х = 0, то веро­ ятность нахождения ее при х = 0 меньше, чем вблизи точек поворота.

Правилами отбора для гармонического осциллятора изменение квантово­ го числа п при переходах ограничивается Дп = ± 1 : при переходе квантового осциллятора из одного квантового состояния в соседнее излучается или погло­ щается энергия huо.

энергетических уровней в яме было близко к рассчитанному согласно уравнению (3.2.6).

186 ПОЛУПРОВОДНИКИ Гл. 3

Волновые функции электрона на двух нижних уровнях этой ямы обозначе­ ны цифрой 1. Пространственная частота волновой функции на первом возбуж­ денном уровне вдвое больше, а собственная энергия вчетверо больше, чем на нижнем — основном уровне.

Цифрами 2 на рисунке обозначены имеющие такую же вероятность вол­ новые функции для этих уровней, сдвинутые по фазе на половину периода. Электрон во второй яме с шириной 6 также может оказаться с волновыми функциями типа 1 или 2.

На рис. 3.2.9в показана потенциальная яма такой же глубины с двойной шириной 26, которая может быть представлена как результат слияния двух одинарных ям с шириной 6 (барьер при сближении двух одинаковых ям только что исчез). Собственные значения энергии уровней в двойной яме при тех же квантовых числах п, очевидно, в 4 раза ниже, чем в одинарной яме.

Волновая функция основного уровня в яме двойной ширины (функция пока­ зана не в масштабе) образовалась в результате перемешивания двух волновых функций типа 1 нижних уровней одинаковых ям. Частота волновой функции здесь вдвое меньше, чем в одинарных ямах, поэтому энергия уровня в 4 раза меньше.

Волновая функция второго уровня в двойной яме (п = 2) — результат пере­ мешивания антисимметричных волновых функций типа 1 и 2 основного уровня двух одинаковых ям. Так как при таком перемешивании пространственная ча­ стота волновой функции практически не изменилась, то энергия второго уровня в двойной яме совпадает с энергией основного уровня в одинарной яме.

Аналогичная картина наблюдается и для второго и последующих уровней одинарных ям при их сближении. Таким образом в результате сближения и слияния двух одинарных потенциальных ям происходит расщепление энерге­ тических уровней.

Если при сближении двух ям потенциальный барьер между ними еще оста­ ется (рис. 3.2.96), то нижний отщепленный уровень оказывается вьше, чем в случае, показанном на рис. 3.2.9в.

Из вышеизложенного можно сделать вывод, что при сближении большо­ го числа (например, N > 1) одинаковых ям каждый уровень энергии в них расщепляется на N подуровней. Если между ямами сохраняются барьеры и волновая функция не сглаживается полностью, то разница в энергиях между верхним и самым нижним подуровнями с ростом N практически не увеличива­ ется. При этом энергетическая плотность подуровней становится значительной. Перемешиваясь, подуровни создают энергетическую зону разрешенных значе­ ний энергии.

3.2.6. Движение электрона в периодическом поле. Квантовая механика открыла возможность не только понять, но и количественно описать ражнейшие свойства твердых тел, которые нельзя объяснить на основе классической теории.

сталлическая решетка, то есть такое положение атомов, которое может быть получено путем периодического повторения элементарной ячейки. Волновые свойства электронов, способность их туннельным образом переходить от атома к атому при сближении атомов приводят к расщеплению атомных уровней в кристалле и превращению их в зоны.

Число независимых переменных в уравнении Шредингера для кристалла, учитывающем кинетические энергии всех электронов и всех ядер, потенци­ альную энергию попарного взаимодействия всех электронов между собой, ядер между собой и электронов с ядрами превышает число всех частиц в кристалле. Очевидно, что в общем случае такое уравнение не решается. Поэтому исполь­ зуются следующие приближения.

1)Поскольку в термодинамическом равновесии средние энергии электронов

иядер примерно равны (кТ/2 на степень свободы), а масса ядер на несколько порядков больше массы электронов, то скорость электронов примерно на два порядка больше. Это позволяет приближенно рассматривать движение элек­ тронов в потенциальном поле фиксированных ядер (адиабатическое прибли­ жение).

Малые тепловые колебания ядер около неизменных положений их равно­ весия учитываются как возмущение, не влияющее на энергетический спектр электронов, но устанавливающее распределение электронов по состояниям.

2)Принимается, что все электроны в атомах, кроме валентных, образуют вместе с ядрами неподвижный атомный остаток (ион). Обоснование такого при­ ближения будет приведено позже. Уравнение Шредингера записывается теперь только для валентных электронов (валентная аппроксимация).

3)Энергия попарного взаимодействия всех валентных электронов заменяет­ ся взаимодействием каждого электрона со стационарным усредненным полем всех остальных. Внутреннее поле в кристалле одинаково в кристаллографи­ чески идентичных точках, поэтому энергия электронов определяется теми же элементами симметрии, что и сама кристаллическая решетка. Поскольку это поле зависит и от движения самого электрона, оно называется самосогласован­ ным и определяется методом последовательных приближений.

Введение самосогласованного поля позволяет рассматривать электроны в кристалле как систему невзаимодействующих частиц (одноэлектронное при­ ближение). При этом волновая функция системы электронов выражается про­ изведением волновых функций отдельных электронов, а ее полная энергия рав­ на сумме энергий всех электронов.

После решения одноэлектронной задачи коллективное состояние валент­ ных электронов в полупроводнике определяется путем распределения их по одноэлектронным орбитам (состояниям) в соответствии со статистикой ФермиДирака, начиная с наинизшего уровня.

Таким образом, стационарные состояния валентных электронов в кристалле отличаются не местом локализации электрона (электрон находится около узла

Учитывая, что проницаемость потенциальных барьеров для туннелирующих электронов определяется в основном значениями <8П и 6 (уравнение (3.2.5)), представим потенциал цепочки атомов после их сближения в виде периоди­

В силу непрерывности волновых функций щ (ж) и и2(ж) и их производных на границах областей уравнения (3.2.23) и (3.2.24) переходят в

щ (ж = а) = «1 (ж = а + 6),

И, наконец, используя условие периодичности функции щ (ж), можно записать

Нетривиальные решения этой системы уравнений существуют только в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. Это условие приводит к выражению

к2а

Чтобы волновые функции в виде незатухающих функций Блоха (3.2.16) удовлетворяли уравнению (3.2.26), оно должно иметь решения относительно к2. График, соответствующий левой части уравнения (3.2.26) в функции от к2а при произвольно выбранном значении Р —37г/2, приведен на рис. 3.2.11. Поскольку стоящий справа в уравнении (3.2.26) cos ка изменяется только в интервале от - 1 до + 1 , то к2а может принимать только те значения, для которых левая часть не выходит из указанных пределов. Эти допустимые значения показаны

Р и с . 3.2.11. График функции, стоящей в левой части (3.2.26), для Р = Зтг/2 [16]

на рисунке жирными линиями. В соответствии с соотношением (3.2.19) они определяют возможные значения энергии £.

При изменении функции Psin (к2а)/к2а + cos к2а в пределах от + 1 до - 1

приписать единственному значению к, и зависимости разрешенных значений энергии в цепочке от волнового вектора представляются в виде косинусоид, отделенных друг от друга разрывами в энергетическом спектре (рис. 3.2.12). При этом разность фаз между всеми соседними по вертикали косинусоидами составляет половину периода. Из рис. 3.2.11 и рис. 3.2.12 видно также, что с увеличением энергии ширина разрешенных зон увеличивается.