книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы

4.5 ЛИНЕЙНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 291

Здесь h(t) — импульсная, g(t) — переходная, К (и) — частотная характеристика идеального интегратора.

Часто в качестве простейшей интегрирующей схемы используют ДС-цепоч-

Переходная, импульсная и частотные характеристики ЯС-цепочки при­ ведены на рис. 4.5.3а. Видно, что /?С-цепочка по своим характеристикам

На рис. 4.5.4 показан про­ извольный импульс щ (г) единичной площади. При его дифференцировании

получается сдвоенный биполярный импульс. Однако в отличие от импульса щ (£), площадь которого при т 0 остается равной единице, площади каждого из сдвоенных импульсов при сжатии стремятся к бесконечности. При г -»• О единичный импульс обращается в дельта-функцию, а сдвоенный биполярный импульс — в ее производную Jj£(0 = S'(t).

10*

напряжения на нем. Иначе говоря, реальный конденсатор — это не С, a RC- цепь и для нее справедливы соотношения (4.5.25)

Дифференцирование на /?С-цепочке получа­ ется близким к идеальному только при t > где или и < то есть при малых г и малых (как и в случае интегрирования) выходных сигналах.

Аналогичные результаты получаются при ис­ пользовании дифференцирующих и интегрирую­ щих Д1-цепочек. В связи с этим простые RC и У?1-цепочки применяют для приближенного диф­ ференцирования и интегрирования сигналов. В прецизионных устройствах используются опера­ ционные усилители с большим коэффициентом усиления, охваченные отрицательной обратной связью. Они потому и получили свое название «операционные», что производят различные опе­ рации над сигналом, в том числе интегрирование и дифференцирование.

В заключение этого раздела отметим, что ес­ ли К (w) — спектральная функция h(t), то спек­ тральная функция д (t) есть К {u)/ju.

4.5.5. Условия неискаженной передачи сигнала. Считается, что сигнал на выходе идеальной для передачи сигналов цепи U2 (t) отличается от входного сигнала щ (t) только интенсивностью и временем запаздывания, то есть

Таким образом, условия неискаженной передачи сигнала есть условие со­ хранения его относительной формы (изменение масштабирования и временной сдвиг — не важны!)

Если спектр входного сигнала

СО

Gj (w) = / «1 (t) exp (—jut) dt,

то при комплексном коэффициенте передачи цепи

выходное напряжение, Действительно, составляет

СО

G'j (ш) К exp ( - J U T ) exp {jut) du>= К щ (t - г).

Z .

где Si(Z) = J —^dy — табулированный интегральный синус, ta = в/шс.

о

График функции (4.5.28) приведен на рис. 4.5.5. Время запаздывания ta тем больше, чем круче фазовая частотная характеристика. Можно показать, что время нарастания импульса tb = ж/ис — 1/2/ с, где / с — ширина полосы ча­ стот, пропускаемых фильтром. Чем больше ширина полосы пропускания, тем быстрее нарастает переходная функция и при / с —>оо на выходе получает­ ся ступенчатая функция с запаздыванием ta (неискаженное воспроизведение входного сигнала).

Импульсная переходная функция идеального фильтра нижних частот

Допустим, что на вход идеального фильтра нижних частот через промежут­ ки времени ж/ис подается ряд кратковременных импульсов, амплитуда кото­ рых соответствует мгновенным значениям непрерывной функции со спектром, ограниченным сверху частотой шс. Каждый импульс обусловливает выходной

ной длительности тн. Напомним, что видеоимпульсом (в отличие от радио­ импульса) называют импульсный сигнал без внутренней модуляции. Реакция фильтра может быть получена вычитанием из функции (4.5.28) точно такой же функции, смещенной на промежуток времени ти. Очевидно, что рост ам­ плитуды выходного сигнала продолжается лишь в течение времени входно­ го импульса ти. Таким образом, для получения наибольшей реакции фильтра длительность импульса т„ должна быть примерно равна времени нарастания фильтра h = 1/2/с- Следовательно, чем короче импульс, тем больше должна быть полоса пропускания системы.

Однако расширение полосы пропускания ведет к увеличению помех и шумов на выходе системы-

Из рис. 4.5.5 вИДно, что д (t) ф 0 при t < 0. Это указывает на физическую неосуществимость идеального фильтра нижних частот. Однако его рассмотре­ ние позволяет отчетливо выявить влияние ограниченности полосы пропускания системы на характер переходной функции.

4.6.Оптические сигналы и системы [23]

4.6.1.Спектральный анализ двумерных функций.

4.6.1.1. Двумерные функции и их спектры. Произвольная двумерная кусочно-непрерывная функция U (х,у ) пространственных координат х и у с конечным числом экстремумов также может быть представлена в виде инте­ грала (обратного преобразования) Фурье:

Функция Gu (v,p) называемая двумерной спектральной функцией (двумер­ ным спектром) функции пространственных координат U(x,y), является ком­ плексной функцией двух независимых пространственных частот и и р (соот­ ветствующие им круговые пространственные частоты их = 2 ли и и у = 2 л р) и находится прямым преобразованием Фурье исходной функции U (х,у):

Пределы интегрирования двойных интегралов в соотношениях (4.6.1) и (4.6.2) относятся к интегрированию по обеим переменным.

Модуль функции Gu (v,p) называют пространственно-частотной характери­ стикой функции U (х, у).

Если двумерная функция задана в полярных пространственных координатах

то для вычисления ее спектра также необходимо перейти к полярным коорди­

причем ых = 2 л х = y p i

Элементарная площадка в прямоугольных и полярных координатах Bbipaжается как

dА = dxdy = pdpdip.

298 СИГНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ИХ ОБРАБОТКИ Гл. 4

Пусть имеется вещественная функция двух переменных U(x,y). Произве­ дем ее преобразование Фурье, но только по одной координате х:

ОО

Gu {у,у)

Значок «А» над координатой у означает, что преобразование по этому ар­ гументу еще не проведено. Полученная функция Gu {v,y) представляет собой одномерную спектральную функцию (спектр) для сечения пространственной функции U (х, у = const) по некоторой произвольной плоскости у = const.

Если теперь произвести преобразование Фурье Gu {v,y), рассматривая ее как функцию аргумента у, то очевидно

ОО

JGu {щ У) exp { - j 2 nyy) dy =

—ОО

ОО

=/ / U (x,y)exp[—j 2 ir (их + yy)]dxdy = Gu (и, у ) .

Аэто уже двумерный спектр функции U(x,y) и разбить его на отдельные сечения по х и у в общем случае нельзя.

Если значения двумерной функции в каком-либо частном случае не зави­ сят от одной из координат, например у, то двумерный спектр этой функции трансформируется к виду

Gu (щр) J J U (х)ехр [-;2я-( их + fiy)\ dxdy =

ОО

ех р (-;2 , » ) * / exp {—j2nfiy) dy = Gu {0)6(ц).

Это значит, что на всех пространственных частотах у, (кроме нулевой частоты

у= 0) спектральная функция равна нулю.

4.6.1.2. Двумерные спектры функций с разделяющимися переменными.

Функция двух независимых переменных называется функцией с разделяющи­ мися переменными, если ее можно представить в виде произведения двух функ­ ций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

U(x,y) = Ux (x)Uy (y),

радиуса-вектора: U = U(p).

2тт оо

Gu (х,0) = Jdip J U (p,(p)exp[-j2 Kxpcos(<p — в)] pdp =

оо

ОО27Г

= 2 п J U (p)pdp^~ J ехр[—j 2 л хр cos (<р —0)]d<p.

оо

Внутренний интеграл представляет собой функцию Бесселя нулевого по­ рядка, не зависящую от фазового угла в и обозначаемую

о

Таким образом, пространственный спектр становится функцией только про­ странственной частоты >с\

Двумерное преобразование Фурье над функциями, обладающими осевой симметрией, называется преобразованием Фурье-Бесселя или преобразовани­ ем Ганкеля нулевого порядка.

Если функция Gu (х) обладает осевой симметрией, то существует и обрат­

Вычислим спектр функции, которая равна UG внутри круга с радиусом ро, а за пределами этого круга равна нулю. Очевидно, что в этом случае

ОО