книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfвисимость (2.20) уже при п = 14 хорошо аппроксимирует сложную зависимость распределения усилий между частицами в массиве.
На основе зависимости (2.22) вертикальные напряжения от про извольной полосовой нагрузки согласно рис. 2.4 определятся так:
)-------- ь ь |
|
°г= V i —Iь/(?)ех |
(2-23) |
где /'(Б)— функция, описывающая характер |
нагрузки; |
£ — переменная интегрирования; |
|
2Ь — ширина загруженной полосы. |
|
§ 3. НАПРЯЖЕНИЯ ОТ НАГРУЗКИ, ОПИСЫВАЕМОЙ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ
Пусть нагрузка на поверхности задана уравнением |
|
/(л :)= Р 1е х р ( - С ^ 2). |
(2.24) |
Рис. 2.5. К расчету напряжений от нагрузки, заданной в плос кой задаче показательной функцией
а — действительная схема |
загружсиня |
массива; б — эквивалентная |
схема |
загружения |
массива |
На рис. 2.5 графически показано, как можно представить рас четную схему, эквивалентную заданной.
Отбросив слой толщиной z и заменив связи реакциями, получим систему, эквивалентную по распределению напряжений заданной системе, которую и будем рассматривать при решении задачи.
Влияние отброшенного слоя массива представлено в образован ной системе соответствующим распределением реакции основания.
Начало координат в новой системе перенесем по оси г на |
повепх |
ность ее. |
F |
Образованная система имеет нагрузку, распределение которой |
|
выражается уравнением |
|
|
(2.25) |
Сравнивая с (2.24), получим |
|
- к ' - р - р . 1 |
(2.26) |
На основе решения, полученного для линейной нагрузки на повепх ности, с учетом переноса координат для вертикальных напряжений
в любой точке массива имеем |
|
|
н |
|
где г — координата рассматриваемой точки в новой системе |
||||
(2 26)ОДСТЗВЛЯеМ |
В Ф°РМУЛУ (227) |
ЗНаЧеНИе |
и Р из |
выражения |
■ ~ Р |
, у Г |
“pf -71 ^2 rС,гV |
M S ) |
|
|
|
|
+ |
|
Формулой (2.28) и определяется распределение вертикальных напряжении в массиве от нагрузки, заданной уравнением (2.24).
§ 4. НАПРЯЖЕНИЯ В СЛОИСТОЙ СРЕДЕ ОТ ЛИНЕЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Можно рассматривать передачу усилий от частицы к частице в
слоистой среде таким же способом, как это было сделано для случая однородного массива. *
Для верхнего слоя толщиной Л (рис. 2.6) распределение средних
величин напряжений будет выражаться функцией распределения тех же напряжений в однородном массиве, т. е.
(2.29)
где — коэффициент структуры среды верхнего слоя. Рассмотрим распределение напряжений в нижнем слое Соста
вим новую расчетную систему (рис. 2.7) путем отбрасывания верх него слоя двухслойной системы и замены ее связей соответствую щими реакциями. Таким образом, от двухслойной системы перей- <30
дем к рассмотрению однородного массива, загруженного согласно зависимости (2.29) при z = h нагрузкой следующего вида:
<2 Л »
Теперь воспользуемся результатом, полученным ранее при рас смотрении вопроса о распределении напряжений от нагрузки, вы раженной уравнением типа (2.30). Вводим обозначения
Рис. 2.6. Расчетная схема по опреде- |
Рис. 2.7. Расчетная схема |
для опре- |
|
лению напряжений в духслойной си- |
деления напряжений |
в нижнем слое |
|
стеме от линейной нагрузки |
двухслойной системы |
от |
линейной |
|
нагрузки на поверхности |
||
Пользуясь зависимостью (2.28), для вертикальных напряжений в нижнем слое двухслойной системы получим
ч_ х2
2h |
(2.32) |
1+2 а 1 |
z |
2h |
а 2 |
где а2 — коэффициент структуры среды в нижнем слое; ai — коэффициент структуры среды в верхнем слое;
z — координата рассматриваемой точки при положении на чала координат на границе двух слоев.
Преобразуя выражение (2.32), приводим его к виду
В таком случае от трехслойной системы приходим к двухслой ной, для которой уже получено решение. Используя формулу (2.36), для эквивалентного слоя трехслойной системы получим
h, = hM^ . |
(2.40) |
Подставив в эту формулу вместо Нэ2 выражение (2.39), получим
h3 = (h3l + h32) - ^ . |
(2.41) |
Подставим также в формулу (2.41) выражение (2.38); после под становки имеем
э |
1 aj |
2 a2 |
(2.42) |
|
На основе выражения (2.42) получим формулу для эквивалент ного слоя многослойной системы
hs = hl ^ T + h2 - + |
+ hn- 1 |
(2.43) |
Формулой (2.43) определяется толщина эквивалентного слоя для п—1 слоев, приведенных к /2-ому нижнему слою. При опреде лении напряжений в промежуточных слоях уменьшается индекс п.
§5. НАПРЯЖЕНИЯ В СЛОИСТОЙ СРЕДЕ ОТ НАГРУЗКИ, ПРОИЗВОЛЬНО ЗАДАННОЙ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
В предыдущем параграфе рассмотрен вопрос о распределении напряжений в слоистой среде от линейной нагрузки. Естественно возникает вопрос, имеет ли место установленная закономерность пе рехода от слоистой системы к однородной для произвольной верти кальной нагрузки в плоской задаче.
Для решения этого вопроса рассмотрим следующую задачу, (рис. 2.9, а).
Положим, что нагрузка на поверхности представлена следующим
выражением: |
|
/,( * ) = - ^ У /( { ) е х р [ - Л * ( * - 5 У 1 Л , |
(2.44) |
Г тс —Ь |
|
где Ь, А — постоянные величины.
Для решения задачи о распределении напряжений от этой нагрузки рассмотрим сначала задачу о распределении напряжений в массиве от нагрузки
Нагрузка на поверхности во вновь образованной системе опреде ляется на основе зависимости (2.46):
/. (*. *,) = |
= j /(S) | / е х р ( - - (х^ 6)8 jell (2.47) |
|
-ь |
От этой нагрузки напряжения в массиве определяются как сумма напряжений от элементарных сил
+ ~
°г = j Л С71’ г') | / l U r ехр( _ d7>’ <2-48>
где т] — переменная интегрирования.
Координаты исходной системы связаны с координатами системы,
образованной выражением |
|
2 = 2 + 2!. |
(2.49) |
Подставляя (2.49) в выражение (2.46), |
получим |
—Ь
Сравнивая выражения (2.48) и (2.50), имеем
Л О , *! + * ) = ! |
Л O'), z,) j / - ^ - e x p j - 1)2 )ф |. (2.51) |
Выражение |
в зависимости (2.47) можно рассматривать |
как постоянную величину - у = -, т. е.
1Л г г - 7 Г - |
<2 52) |
В этой зависимости величина а принимается соответствующей рассматриваемой среде, и лишь величина zx зависит от параметра А . Решая выражение (2.52) относительно zlf получим
(2.53)
При образовании рассматриваемой системы толщина отбрасы ваемого слоя принималась произвольной. В частности, она может
быть равна величине, определяемой выражением (2.53). В этом слу чае выражение (2.47) будет тождественно выражению (2.44), т. е.
Мх’1*)шМх}- (2-54)
Подставляем вместо Zj его значение из выражения (2.53) в зависи мость (2.51). Учитывая также (2.54), имеем
H x' - i ^ + z ) = | ш } A ^ exp(~ ~ °(V )2) d71- (2-55)
Из выражения (2.55) видно, что функции нагрузки и распреде ления напряжений выражаются одним уравнением с параметрами, определяемыми вертикальной координатой рассматриваемой точки и постоянными зернистой среды, т. е.
« ,“ /(* . 1 F + 2)- |
(2-56) |
На основе приведенных решений рассмотрим вопрос о распреде лении напряжений в слоистой среде для произвольно заданной на грузки.
Пусть нагрузка на поверхности слоистой среды в пределах по лосы задана функцией (2.45). Распределение вертикальных напря жений в верхнем слое от такой нагрузки определится выражением (2.46), согласно которому напряжения на границе между верхним и вторым слоем (при z = hx)
\ = ] т |
j / |
(2 -57) |
—ъ
Образуя новую расчетную схему путем отбрасывания верхнего слоя и замены связей соответствующими реакциями, получим сог ласно зависимости (2.57) следующую функцию нагрузки
+ |
ь |
___ |
|
/,< * Л ) = 0(, = J |
/(«) | |
/ |
(2.58) |
-ъ
Функция нагрузки (2.58) удовлетворяет выражению (2.54). Сле довательно, распределение напряжений в верхнем слое новой рас четной схемы будет определяться согласно (2.55) и (2.56) той же функцией (2.58), т. е.
• • - / ( ‘ ' 1 Х Г + ' ) ' |
< 2 И ) |
где а2 — коэффициент, характеризующий структуру второго слоя системы.
за
Значение A t определим, приравнивая правые части зависимости (2.44) и (2.58):
] ^ ] / i k exp[ ~ i t {x- i)2}di=
—ь
+ Ь
= j / ( ( ) - ^ е х р [ - Л ? ( * - г ) 2]Л . |
(2.60) |
—ь
Из выражения (2.60) находим
Подставив значение А х в формулу (2.59), получим
» ,= / .( * . *,-*- + *)• |
<2-62) |
Обозначив в зависимости (2.62)
*!-*■ = А*. |
(2-63) |
получим
(2.64)
Перенесем начало координат по оси z на величину кэ1 вверх. Тогда новая координата рассматриваемых точек массива будет свя зана со старой координатой зависимостью
z = h 3l-\-zt |
(2.65) |
где z — новая координата. |
|
Подставляя выражение (2.65) в зависимости (2.64), получим |
|
= Л (*. г). |
(2.66) |
Выражение (2.65) представляет функцию распределения напряже ний в однородном массиве. Таким образом, приходим к заключению, что для определения величин напряжений во втором слое необхо димо верхний слой системы привести к эквивалентному по распре делению напряжений слою по формуле (2.63), а затем рассматривать приведенные два слоя как однородную среду.
Аналогичным образом можно получить формулы для определе ния эквивалентных толщин вышележащих слоев любой многослой ной системы.
В результате приходим к выводу, что характер приведения сло истой системы к эквивалентной однородной среде по распределению напряжений не зависит от вида заданной вертикальной нагрузки на поверхности безраспорной слоистой системы.
Г л а в а 3
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В БЕЗРАСП0РН0М ЗЕРНИСТОМ ОСНОВАНИИ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧЕ
§ 1. РАВНОВЕРОЯТНАЯ ПЕРЕДАЧА УСИЛИЙ ОТ ВЫШЕЛЕЖАЩЕЙ ЧАСТИЦЫ НА НИЖЕЛЕЖАЩИЕ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКЕ
Для выяснения связи между распределением усилий в плоской
и пространственной задачах рассмотрим |
частный |
случай |
равно |
|||||
|
|
вероятной передачи усилий от выше |
||||||
|
|
лежащей частицы на нижележащие. На |
||||||
|
|
рис. 3.1 изображена расчетная схема |
||||||
|
|
рассматриваемой задачи. |
|
|
||||
|
|
От |
единичной |
сосредоточенной |
||||
|
|
нагрузки, |
приложенной |
центрально |
||||
|
|
к частице, |
находящейся |
на |
поверх |
|||
|
|
ности, распределение усилий по ча |
||||||
|
|
стицам |
в шести рядах сверху, вклю |
|||||
|
|
чая и нулевой |
ряд, |
представлено на |
||||
|
|
рис. 3.2. На шести представленных |
||||||
Рис. 3.1. Расчетная схема опи- |
примерах |
можно установить |
законо |
|||||
рания вышележащего блока на |
мерность |
в |
распределении |
усилий |
||||
нижележащие |
в пространствен |
между частицами в слоях и выразить |
||||||
ной |
задаче |
это аналитической функцией. |
|
|||||
|
|
Анализ показывает, что не только |
||||||
для слоев, приведенных на рис. 3.2, но и для любого другого
слоя, распределение усилий между частицами подчиняется |
сле |
|
дующей функции: |
|
|
( Y )"(1 + |
>)*(4 -)*(* + Ч" = ( т ) " (1 + 1)П(1 + 1)Л’ |
(ЗЛ ) |
где п — номер рассматриваемого слоя. |
|
|
Так, для п = |
0 имеем |
|
+ 1)° = 1.
Для слоя с номером п = 3 распределение усилий будет следую щим:
(т )8(1 + 1)3(1 + *)5= (4-)а(1+з + з + 1)(1 + з+ з + 1) =
= (т )3( * + 3 + 3 + 1 + 3 + 9 + 9 + 3 +