книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве
..pdfГруппируя члены этого равенства, получим
Сравнивая полученное выражение с решениями для деформации сжатия многослойных систем в плоской задаче, находим, что эти зависимости аналогичны.
§ 4. ДЕФОРМАЦИЯ СЖАТИЯ МНОГОСЛОЙНОГО ЗЕРНИСТОГО ГРУНТОВОГО ОСНОВАНИЯ ОТ ПРОИЗВОЛЬНО ЗАДАННОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧЕ
Деформация сжатия многослойного грунтового основания от произвольно заданной нагрузки в пространственной задаче склады вается из деформации сжатия слоев, составляющих основание, и определяется выражением (13.1); вычислим эти составляющие.
Распределение вертикальных напряжений в верхнем слое си стемы от произвольно заданной нагрузки выражается зависимостью
(13.53)
F
где / (г; ср) — функция, выражающая нагрузку;
F — площадь, по которой распределена нагрузка;
— коэффициент распределительной способности материала верхнего слоя;
г; ср; z — координаты.
При распределении вертикальных напряжений по зависимости (13.53) деформация сжатия верхнего слоя составит
ОF
где w3l — осадка от заданной нагрузки однородного массива мощ ностью hlt образованного из материала верхнего слоя системы;
Ех — модуль деформации материала верхнего слоя. Определим деформацию сжатия второго слоя в системе при про
извольно заданной нагрузке на поверхности слоистого основания. Для рассматриваемого случая загружения распределение вер тикальных напряжений во втором слое системы при начале
координат на границе первого и второго слоев выразится уравнением
F
(13.55)
При распределении напряжений во втором слое по зависимости (13.55) деформация сжатия этого слоя
ку2 = |
fir, <Р)Х |
|
(13.56) |
где v2 — коэффициент распределительной |
способности материала |
второго слоя; £ 2 — модуль деформации материала второго слоя;
Нг — толщина второго слоя.
Произведя замену переменной интегрирования z в выражении (13.56) подстановкой (13.26), получим
оF
ОF
Первый член выражения (13.57) представляет собой осадку от
заданной нагрузки однородного массива мощностью
состоящего из материала второго слоя. Обозначим эту осадку через
|
"■ |
+Л* |
Ш’2= " ^ Г |
J |
± S / lr > f ) e x p (— i S - ) dFdi- (13'58) |
|
О |
F |
Второй интеграл выражения (13.57) преобразуем, произведя в нем замену переменной интегрирования t подстановкой (13.28); получим
j ± $ f ( r ,
ОF
=/ и Ч J/(r’ |
(1з-59) |
О/=■
Интеграл в первой части выражения (13.59) определим из фор мулы (13.54)
л.
’/(г . ?)ехр(— ^ г ) ^ = 2отэ1£ Л .
О/=•
Подставив это значение интеграла в выражение (13.59), получим
* y i F |
|
t |
_ |
j |
- £ - ] ’ / ( ' • ; |
|
(1 3 .6 0 ) |
оF
Учитывая принятое обозначение (13.58), а также выражения (13.60) и (13.57), получим деформацию сжатия второго слоя системы
= |
( 13-61) |
Определим деформацию сжатия третьего слоя системы. Распре деление вертикальных напряжений в третьем слое многослойной системы от произвольно заданной вертикальной нагрузки выра жается зависимостью
^i+Aa+Z |
f(r, <р) X |
2v3(/4]/"Ч"+/1аV~^+z)
Деформация сжатия третьего слоя системы при распределении вертикальных напряжений в нем по выражению (13.62)
2ч1-Е3 |
|
/(Г, <р)Х |
|
|
|
|
|
X exp / — — ------7 = |
- ^ ----- = |
---- ^ \ d F d z . |
(13.63) |
2''з(л‘ V ^ |
T + A* " K T |
+ * ) ) |
|
Произведя в этом выражении замену переменной интегрирова ния z подстановкой (13.34), получим
|
+ Л2 У |
^ - +Лз |
|
|
|
|
|
|
dFdt. |
hly ± - +h, y ± . |
^ |
|
||
Представив этот интеграл в виде разности двух интегралов, по |
||||
лучим |
|
|
|
|
У |
2L.+/l2y r^ . +Пя |
|
|
|
Ш3= ^ |
j |
- L f A r , |
< f)ex p (--£ r ) d F d t - |
|
2v3uE3 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
* • / ¥ + * • / ¥ |
i,f/(r’F |
?)exp(-i5r)df<tf*(13-64) |
||
*„е. |
0J |
|||
1 |
|
|
|
|
где v3 — показатель распределительной |
способности материала |
|||
третьего слоя системы; Е3 — модуль деформации материала третьего слоя системы;
h3 — толщина третьего слоя системы.
Первое слагаемое зависимости (13.64) представляет собой выра жение для деформации сжатия от заданной нагрузки однородного
массива мощностью hx ] / |
— 4- h2 Л/— + Л3, состоящего из мате- |
|
“ |
v3 |
Р v 3 |
риала третьего слоя. |
|
|
Обозначим это выражение через
] / j Z +„ ,'|/ Z '+;ij
Под вторым интегралом выражения (13.64) произведем замену переменной интегрирования подстановкой (13.35). После замены переменной второй интеграл выражения (13.64) примет вид
"■1/Л4 + * “ V % -
|
0f |
-И/(г>F ^)exp( ~ ^ ) dFd/= |
_ |
' ,'VAv |
+"1 |
= / 4 |
J |
?)ехр ( - 1 ^ г ) ^ - (>3-66) |
|
0 |
F |
Интеграл в правой части выражения (13.66) определим из выра жения (13.58)
A , ] / 1J7 + " “
?)ехр ( - ^ ) d F A | = 2v,«£*».,. (13.67)
ОF
На основе этого соотношения и зависимости (13.66) второй ин теграл выражения (13.64) может быть представлен как
j |
i j > < ' - ? > e x p ( - ^ ) d™ = |
ОF
= TZW^ E 2 "[/"v2v3. |
(13.68) |
Принимая во внимание обозначение (13.65), соотношение (13.67) и выражение (13.64), получим
w3 = w33 — w32- ^ - Y ^ r - |
О3-69) |
|
£3 |
3 |
|
Эта формула определяет деформацию сжатия третьего слоя в си стеме; она по структуре аналогична формуле (13.61). В силу этого для определения деформации сжатия последнего слоя в системе имеем такую зависимость
w = |
а> |
— w |
„ f u r L i / |
|
|
|
(13.70) |
|||
Л |
э /z |
э ( л - 1 ) |
Е п |
У |
* п |
|
|
' |
' |
|
где w3n — деформация сжатия от заданной нагрузки |
однород- |
|||||||||
ного массива мощностью h A / — + |
Agl/ “ |
|
4- • • • + |
|||||||
|
|
|
|
|
r |
vn |
Г *П |
|
|
|
+ hn, состоящего из материала последнего слоя; |
|
|||||||||
^(л -п — осадка |
от заданной |
нагрузки |
однородного |
|
массива |
|||||
мощностью hx
4п—1 л* /
состоящего из материала (п—1)-го слоя системы; Еп_ j — модуль сжатия материала (п—1)-го слоя системы;
Еп — модуль сжатия материала я-го слоя системы. Подставим выражения (13.54), (13.61), (13.69) и (13.70) в формулу
(13.1); получим
Группируя члены этого равенства, получим
По формуле (13.71) определяется деформация сжатия многослойной системы от произвольно заданной нагрузки в пространственной за даче; она аналогична формуле, полученной для деформации сжатия многослойной системы в плоской задаче. Вместе с тем следует под черкнуть, что входящие в эти формулы величины шэ1; шэ2 w9n различны, так как определяются для разных нагрузок.
Г л а в а 14
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ДЛЯ ЗЕРНИСТОЙ ГРУНТОВОЙ СРЕДЫ ПРИ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЯХ ЗЕРЕН
§ 1. СВЯЗЬ МЕЖДУ СОСТАВЛЯЮЩИМИ НАПРЯЖЕНИЙ И УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ
Согласно рис. 14.1, перемещение частицы грунта в вертикальном направлении происходит под воздействием вертикальных состав ляющих напряжений и сил инерции, которые можно выразить так:
(14.1)
Усилия на соседнюю в ряду частицу по аналогии с зависимостью (14.1) и через приращение напряжений по оси х выразится так:
" 4'2)
где b — средний размер зерен.
Разность между этими величинами вызывает скалывающие уси лия в частицах, на которые опираются рассматриваемые зерна. Эта разность связана определенной зависимостью с касательными напряжениями. Определим ее как некоторую функцию от каса тельных напряжений
Рис. 14.1. Схема к определению связи между динамическими усилиями на соседние в ряду зерна и перерезывающим уси лием в связующей частице
|
|
|
|
|
|
|
дЧГ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.3) |
/ ы |
— |
' |
|
|
|
|
(14.4) |
|
Разделив обе части равенства на b3, получим |
|
|||||||
1 |
/ / |
\ |
|
д ( до2 |
d2w \ |
(14.5) |
||
п |
о |
|
|
д'Ню |
|
Л |
тогда |
|
При статической нагрузке |
|
= 0, |
|
|||||
|
|
_ L |
f(x |
) =■.__ - |
Зг ■ |
(14.6) |
||
Ь3 -Д хг) |
дхдг |
C другой стороны, при статической нагрузке касательные напря жения с вертикальными связаны следующим соотношением
, = — vz-дз2 |
(14.7) |
||
|
дх |
|
|
Разделив обе части выражения (14.7) на vz, получим |
|
||
тлгz _ _ |
д?г |
(14.8) |
|
vz |
дх |
||
|
|||
Продифференцируем это уравнение по г
д |
/ 'хг \ ___ |
д2зг |
(14.9) |
|
дг |
\ \z J |
dxdz |
||
|
Правые части выражений (14.6) и (14.9) одинаковы, следо вательно,
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.10) |
Теперь выражение (14.5) |
примет вид |
|
|
|
||||
д _ I( тдгХх |
\\ |
_______ д |
I |
даг _ |
d 2W |
\ |
(14.11) |
|
дг ’ V[ кvz |
/ |
|
дх |
{ |
dz |
9 dt2 |
) ' |
|
|
|
|||||||
Приведем уравнения равновесия при равенстве нулю объемных
|
|
|
|
|
d4z |
~ 9 |
d2^ |
|
|
(14.12) |
|
|
|
|
|
|
dx |
dt2 |
|
|
|
||
|
|
д*х |
|
, |
d'xz |
|
d2u |
|
|
(14.13) |
|
|
|
дх |
|
|
dz |
~~ 9 |
dt2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разделив уравнение (14.12) на |
vz, |
получим |
|
|
|||||||
д - ( ! * - ) = ____ |
\d z |
r |
dt2 I |
|
(14.14) |
||||||
дх v |
VZ / |
|
|
к |
|
|
|||||
Дифференцируем выражения (14.11) по х |
и (14.14) по г |
|
|||||||||
& 2 |
l |
'xz |
\ |
_ |
д2 |
( дзг |
d2w |
\ . |
(14.15) |
||
dzdx |
\ |
^ |
) |
' |
dx2 \ dz 9 |
dt2 |
) ' |
||||
|
|||||||||||
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dxdz ■ W —
Левые части выражений (14.15) и (14.16) равны, следовательно,
дг L « \ dz |
r dt* I J |
= |
(14.17) |
дх*\ дг |
dt* ) |
Умножив и разделив правую часть этого уравнения на vz, полу-
[ИМ
_ « Л - и ± ! . _ р « L \ ] = vzJ L [ _ L ( * L _ p i i L } l . (14.18)
дг [ |
\ дг |
v dt2 j J- |
дх2 L vz \ d z |
dt2 ) J |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
/ дзг |
|
|
d2w |
|
/ |
J 7 |
|
|
|
|
(14.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
9 |
Л/2 |
|
|
|
|
|
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
77~ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
д/ |
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
: VZ |
|
|
|
|
|
|
(14.20) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
дх2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
уравнения (14.20) |
при |
следующих |
граничных |
условиях |
|||||||||||||||
/ = |
— Р (t) при z = 0, х = |
0, т. е. в точке приложения сосредото |
||||||||||||||||||
ченной |
нагрузки; |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|||||
/ = |
0 |
при |
z = 0, х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
т. |
е. |
во |
всех |
остальных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
точках |
|
поверхности |
мас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сива; |
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
0 при х -> |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f = — P(t) |
1— |
exp ( — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
V2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2vz2-)• |
(14.21) |
|
Рис. 14.2. Схема, показывающая область |
|||||||||||||
|
Подставив |
в |
выраже |
|
||||||||||||||||
|
|
вынужденных |
возмущений |
среды при со |
||||||||||||||||
ние (14.21) значение / из |
|
средоточенной динамической |
нагрузке |
|||||||||||||||||
(14.19), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
« |
I * |
Р |
*• |
) |
|
|
' |
' |
V |
w |
ехр |
( |
- |
2vz2 |
(14.22) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дзг |
|
d2W |
|
Г) ... |
|
V2 |
|
|
|
|
|
(14.23) |
|||||
|
|
|
|
dz |
|
|
= |
— Р (/) |
~ 7 т= = ехр |
|
|
2vz2 |
||||||||
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
V2rcvz 2 |
( |
- |
|
||||||||
|
Учитывая, что |
|
|
dtp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 = E |
d*w |
|
|
|
|
(14.24) |
|||||
|
|
|
|
|
|
о |
= |
£ 7 7 |
|
dz2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
d2w |
|
|
d2w |
|
|
P(t) |
l / |
|
i r |
exp |
( |
|
- ^ |
) - |
(14.25) |
|||
|
|
dz2 |
|
|
dt2 |
|
|
|
E |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Уравнение (14.25) является неоднородным уравнением гипербо лического типа; оно выражает вынужденные колебания грунтового массива от вертикальной сосредоточенной динамической силы. Пра вая часть этого уравнения при принятых граничных условиях по казывает, что вынужденному возмущению подвергается лишь та часть массива, которая распределяет внешнее давление от статиче ской вертикальной силы (рис. 14.2).
Если возмущающая нагрузка распределена по полосе шириной 2b и может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от t, а вторая только от х, т. е.
Р(х, t) = Py{t)P2(x)} |
(14.26) |
то уравнение колебаний грунтовой среды от такой нагрузки опре делится так:
d * w ___ р_ |
d2w |
= |
Рх (/) |
-| Г С |
J |
п /?ч v |
|
|||||
dz2 |
Е |
dt2 |
|
|
Е |
|
У |
2- |
^ |
Х |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При подвижной нагрузке вертикальные колебания основания |
||||||||||||
определятся уравнением |
|
|
|
|
|
|
+ь |
|
|
|||
d2w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
___ р |
дЧ» |
_ |
Py(t) |
|
1 / |
у |
Г |
р m |
X |
|
||
dz2 |
Е |
dt2 |
|
|
Е |
|
У |
2к |
) |
|
|
|
|
X ехр (— [ж—лг0(f) —ер |
|
|
(14.28) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2.Z- |
|
) - • |
|
|
||
Рассмотрим поперечные колебания грунтового массива. Для |
||||||||||||
этого уравнение (14.12) |
продифференцируем по г, а (14.13) по х |
|||||||||||
|
d ^ x z |
_ |
|
d |
( дз2 |
|
d2w ' |
|
(14.29) |
|||
|
dxdz |
|
|
dz |
1 |
|
|
~ 9 |
dt2 |
, |
|
|
|
|
|
|
a |
\ ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2~ x z |
_ |
|
( d z x |
|
|
|
|
(14.30) |
|||
|
dxdz |
|
|
dx |
[ |
dx |
9 |
dt2 ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Поскольку левые части уравнений (14.29) и (14.30) равны, то |
||||||||||||
приравниваем и правые части, т. е. |
|
|
|
|
|
|
||||||
д |
I дзх |
|
д2и \ __ |
д |
/ дзг |
|
d2w |
\ |
(14.31) |
|||
dx |
\ dx |
9 |
dt2 j |
|
dz |
\ |
dz |
9 |
di2 |
) |
||
|
|
|||||||||||
Дифференцируя по |
z |
выражение |
(14.23), |
имеем |
|
|||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.32) |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя это выражение в уравнение (14.31), получим |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( - ! $ - - ) • <14-зз> |
||
Интегрируя |
по х , имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
д°х |
_ |
Р |
dt2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||
= - р ( о | | [ / - ^ г ехр( - ^ г ) л + Я„(г; t), (14.34)