книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве

На основе приведенных соотношений можно также записать

где kx— коэффициент неравномерности передачи усилий вдоль оси х;

откуда

имеем Р{ = Рп, a Pf = 0, т. е. усилие от вышележащей частицы пол­ ностью передается на i частицу (рис. 1.11).

Полученные зависимости позволяют по структуре среды вычис­ лить интересующие нас вероятности qx и q2. Согласно рис. 1.12 можно подсчитать qt и q} для каждого блока; отрезки, относящиеся к вычислению qlt обозначены одним штрихом, а отрезки, по кото­ рым следует вычислять qjt— двумя штрихами. Согласно формулам (1.36) и (1.37) длины этих отрезков необходимо поделить на длину рассматриваемого элемента. Если рассмотреть N элементов, то сред­ нее значение вероятности концентрации усилий к линии действия нагрузки вычислится по формулам:

Используя эти формулы, можно определить среднее для массива значение коэффициента неравномерности передачи усилий

N

2 ft

2 ? / /■= i

Так по реальной структуре можно построить эквивалентную ей расчетную модель со средними размерами блоков и средними усло­ виями распределения усилий между частицами для плоской задачи.

Таким же образом можно вычислить коэффициенты неравно­ мерности передачи усилий и в пространственной задаче. Если рас­ смотренную плоскость принять за плоскость zox, то на основании формулы (1.40) можно записать

До сих пор речь шла об усилиях, приложенных к частицам. Та­ кой термин является непривычным для механики грунтов и меха­ ники зернистых сред. Вместе с тем от усилия на частицу можно пе­ рейти к среднему давлению на единицу площади, если разделить усилие на площадь, занимаемую частицей. Если к тому же взять эту величину с обратным знаком, то перейдем к термину «напряже­ ние». В зернистой среде внешняя вертикальная нагрузка вызывает сжимающие напряжения. Если направить ось z вниз, то вертикаль­ ные напряжения будут со знаком минус. Знак остальных составляю­ щих напряжения, как будет видно из дальнейшего, однозначно оп­ ределяется знаком вертикального напряжения.

Размеры блоков и условия их опирапия могут быть представлены в виде единого показателя структуры безраспорной зернистой среды:

*, У, z.

В приведенных формулах имеется один коэффициент, характе­ ризующий безраспорную зернистую среду в плоской задаче, и два— анизотропную зернистую безраспорную среду в пространственной задаче. Если среда изотропна по направлениям осей х и у , то ах = = ау = а. В этом случае и в пространственной задаче среда харак­ теризуется одним коэффициентом структуры.

ЧАСТИЦЫ НА НИЖЕЛЕЖАЩИЕ

Пусть на поверхность зернистого безраспорного полупростран­ ства, изображенного на рис. 2.1, действует вертикальная нагрузка, причем на каждую частицу поверхности приходится нагрузка, рав­ ная единице.

Назовем слой, на котором нагрузка в рассматриваемом сечении передается на одну частицу, нулевым. Все остальные слои прону* меруем порядковыми числами сверху вниз.

Определим математическое ожидание вертикального усилия на частицу, расположенную в любом слое. Усилия от каждой частицы, расположенной в вышележащем слое, передаются на две частицы, расположенные в нижнем слое.

Предположим, что размеры частицы одинаковы и усилия от верхней частицы с одинаковой вероятностью распределяются на две нижние частицы. На рис. 2.1 показаны вычисленные на основа­ нии этой предпосылки величины усилий, приходящихся на каж-

Рис. 2.1. Расчетная схема зернистой среды блочного строения в плоской за­ даче при равновероятной передаче усилия от вышележащей частицы на ни­ жележащие

дую частицу; при этом общий множитель j для каждого ряда

вынесен в крайний столбец.

Приведенная на этом рисунке система чисел по расположению и по величинам представляет собой треугольник Паскаля,с помощью

которого, как известно, вычисляются биноминальные коэффициенты, которые можно вычислить также путем разложения по формуле бинома Ньютона следующего выражения

Если умножить правую и левую части выражения (2.1) на J ,

то получим величины усилий на частицы в л-ом ряду от единичной нагрузки на поверхности

(т)'<1+ 1>'-(т)'й + (т)'с1+

+ ( - f ) ' t f + + ( т ) ’ с : - <2 2 >

Слагаемые в правой части зависимости (2.2) представляют собой распределение вертикальных усилий в п-ом ряду рассматрийаемого сечения.

Например, для п = 4 имеем

4-3-2

В четвертом ряду соответственно расположены вертикальные усилия на частицы, которые равны:

Таким образом, распределение вертикальных усилий на частицы безраспорной среды в ряду подчиняется биноминальному закону.

В теории вероятностей доказывается, что кривая биноминаль­ ного распределения может быть аппроксимирована кривой нормаль­ ного распределения.

Для частицы т в слое п это будет

Начало координат кривой (2.3) в рассматриваемом сечении рас­ положено влево от точки приложения силы на величину у .

Перенесем начало координат кривой для всех слоев на линию действия силы. Тогда для функции распределения усилий по ча­ стицам

Разделим величину усилия на площадь, занимаемую частицей в горизонтальной плоскости. В результате получим среднее значе­ ние вертикальных напряжений

( 2. 12)

где аг — вертикальное напряжение, отнесенное к изотропному телу; Ргх — вертикальное усилие на частицу (блок); Ь, с — размеры частиц (блоков).

Подставляя в зависимость (2.12) выражение (2.11) для усилия на частицу, получим для напряжений следующее выражение:

(2.13)

Из полученной зависимости видно, что максимальные значения вертикальных напряжений будут при х = 0.

§ 2. НЕРАВНОВЕРОЯТНАЯ ПЕРЕДАЧА УСИЛИЙ ОТ ВЫШЕЛЕЖАЩЕЙ ЧАСТИЦЫ НА НИЖЕЛЕЖАЩИЕ

В предыдущем параграфе рассматривалась задача, в которой усилие, приходящееся на частицу, равновероятно распределяется между двумя нижележащими частицами.

При этих условиях усилие на частицы, лежащие на оси 2, т. е. для т = 0, согласно зависимости (2.5) определяется выражением

(2.14)

При неравновероятном распределении усилий между частицами выражение (2.14) примет, очевидно, другой вид, который будет определяться соотношением приходящихся усилий на частицы. Та­ кое соотношение в предыдущей главе характеризовалось отноше­ нием опорных реакций А и В в расчетной схеме (рис. 1.6) и оцени­ валось коэффициентом неравномерности передачи усилий. При ра­ венстве плеч это отношение равно единице и характеризует случай, рассмотренный в предыдущем параграфе, для которого усилия, приходящиеся на частицы, расположенные на оси 2, определяются выражением (2.14). При другом соотношении усилия на частицы, расположенные на оси 2, возрастут пропорционально коэффициенту неравномерности распределения усилий между частицами. В этом случае будем иметь следующую зависимость:

(2.15)

где k — коэффициент, определяемый выражением (1.11).