книги из ГПНТБ / Большие системы и управление

20

уровня. Для обеспечения нормального функционирования узла £-го

мационную динамику в системе управления с иерархической струк­

*n6i

Граничные условия при интегрировании системы определяются следующими соображениями. Низший уровень ( 1 = 1 ) должен обеспе­ чивать элементы нулевого (1 = 0) уровня (производителей) с целью их целенаправленного функционирования постоянным потоком управляющей информации <?, бод, т .е .

Полученная система уравнений в частных производных опреде­ ляет условия, накладываемые при оптимизации структуры управле­ ния систеш .

При заданных потоках 01 выходной информации с низшего уров­ ня системы, контролируемой информации 00 и управляющей 0 т + 1ъ

качестве общего критерия оптимальности системы естественно по­ требовать "минимума экономических затрат на управление".

Стоимость узлов системы из рассмотренной модели запишется в виде

Полная стоимость системы управления слагается из стоимости ее узлов и линий связи между ними:

22

Исходя из принятого критерия, запишем формулировку задачи оптимизации структуры иерархической системы управления.

Найти параметры т , П[ , X'L структуры системы управления, описываемой системой уравнений (13), обеспечивающие минимум функции (16) при условиях (14).

Сформулированная задача оптимизации очень сложна в вычис­ лительном отношении. В качестве первого шага на пути ее упро­ щения перейдем от системы уравнений в частных производных к системе алгебраических уравнений типа (3 ). Такой переход можно считать оправданным, так как реальная система имеет смысл толь­ ко при фиксированных ivL , и нас интересует не связь между из­ менениями потока выходной информации при изменении состава уз­ лов, а выходные потоки узлов при фиксированном их составе:

Дальнейшее упрощение задачи оптимизации можно сделать при помощи фюрмулы (9), которая определяет оптимальное значение ин­ формационного потока на входе узла, обеспечивающее максимум производительности узла. Следовательно,

При этом 2ГЭ1 в соответствии с формулой (13) равно ^7 , а поток на выходе узла

где

( 20)

Естественно предположить, что система будет наиболее эконо­ мичной, когда каждый ее узел работает с наибольшей производи­

23

тельностью, т .е . когда обеспечивается максимум U-L , что дости­ гается при П[ , определяемом формулой (6).

Это допущение позволяет уменьшить число оптимизируемых параметров и сделать его равным числу уравнений связи, В силу чего оптимизация вырождается в решение системы урав­ нений связи:

С целш> дальнейшего исследования задачи удобно перейти от уравнений (21) к уравнениям, связывающим выходные потоки Q*L уровней. Для этого достаточно умножить обе части уравнения (21) на x L:

Рассмотрим конкретный пример определения структуры. Однако позволим в силу сложности задачи не требовать от структуры оп­ тимальности в смысле выражений (16) и (17) и определим лишь

откуда с учетом формулы (23) основное соотношение для опреде­ ления x-L будет

Рис.5 . Пример структуры системы

Полученная структура будет иметь вид, изображенный на рис.5. Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы. I . Обеспечение наибольшей информационной производительности

25

системы управления требует разделения ее структуры на отдель­ ные соподчиненные информационные узлы.

2. Возможно определение структуры системы оптимальной по стоимости и обеспечивающей заданную информационную производи­ тельность.

3. Каждый информационный узел имеет определенные оптималь­ ные размеры, обеспечивающие его наибольшую информационную про­ изводительность.

С целью дальнейшего исследования структурных вопросов си­ стем необходимо определить информационные способности элемен­ тов, их стоимости и характер совместного функционирования.

В дальнейшем предполагаются более детальные исследования функционирования информационного узла с учетом дифференциации функций его элементов, влияния информации узлов старших уровней, согласующей функционирование элементов подчиненных узлов, на состав последних, предполагается также учитывать надежность структуры.

26

Кандидат технических наук С.М. БОРОДИН

ОПЕНКА СЛОЖНОСТИ СИСТМ И ПРОЦЕССОВ

С проблемой оценки сложности систем и процессов весьма ча­ сто сталкиваются в самых различных областях научной и практи­ ческой деятельности♦ Наибольший интерес к этой проблеме про­ является в теории управления большими системами, где понятия "размерность” и "сложность" систем являются основными харак­ теристиками.

Существующие методы определения показателя сложности сво­ дятся к оценке, в зависимости от цели и области исследования и наличия необходимой информации, тех или иных критериев ка­ чественно-количественного характера.

Интуитивно представляется ясным, что понятие сложность в любом случае должно определяться не только размерностью систе­ мы или явления по числу составляющих их элементов, но в первую очередь количеством существующих между этими элементами связей. Действительно, из двух систем, например, имеющих равное число элементов, сложнее будет та, в которой количество связей между элементами больше. В свою очередь число таких связей в системе будет определять уровень ее связности.

Предположим, что система ведет себя связно или как целое, если изменение в одной части или элементе системы вызывает из­ менение во всех других частях и во всей системе. С другой сто­ роны, можно судить о наличии признаков независимости поведения элементов системы друг от друга или о полной независимости (физической аддитивности) системы, если изменения в ней явля­ ются лишь физической суммой изменений в ее частях. Таким об­ разом, связность и аддитивность - крайности одного и того же свойства сложности системы.

27

Рассмотренное определение сложности не является полным,так как требует введения количественной меры оценки этого свойства по определенной шкале отношений.

Как известно, научный подход к решению проблемы оценки слож­ ности систем и процессов возможен только при условии наличия математической модели, достаточно хорошо отображающей свойства и характеристики объекта исследования и пригодной для исследо­ вания ее формализованными методами.

Класс модельных структур, отвечающих этим требованиям* при этом достаточно велик. Однако одной из наиболее удобных и в настоящее время распространенных моделей, применяемых для реше­ ния задач теории управления большими системами, является графо­ логическая модель Щ .

Графологическая модель системы или процесса представляет собой определенного вида граф, в котором выделенным элементам придан смысл вершин, а существующим между ними отношениям или связям - смысл ребер или дуг графа. В приложении данных поня­ тий к моделированию процессов известным методом сетевого пла­ нирования и управления используются соответствующие термины "сетевая модель" (сеть), "события" и "операции" (работы).

Рассматриваемая в дальнейшем графологическая модель иссле­ дуемой системы или процесса представляет собой граф G=(M,r),

шений (ребер или дуг). При этом допускается, что Гт может быть пустым, т .е . Гт - ф .

Рассматривая в дальнейшем лишь конечные графы, определим для них мощность вершин \ М\ъ ребер (дуг) |/У| графа.

Очевидно, что понятие "граф " определяет чрезвычайно широ­ кую область структурных множеств, классифицируемых по ряду при­ знаков на категории нуль-графа, базового, связного, полного графа, прадерева, сети [ I ] .

Одним из свойств графа является наличие определенного со­ отношения между мощностями вершин и ребер (дуг) для ряда назван­ ных категорий.

Для полностью связного графа без петель &п , имеющего за­ данную мощность вершин |Л/1, можно найти мощность его ребер |/^|,

мощность ребер или дуг.|А/| всех других названных категорий графа Естественное стремление связать понятие сложности системы

или процесса не только с количеством элементов |/1|и связей I Nh но и с их соотношением приводит в простейшем случае к использо­

тивным критерием сложности графа, представляющего модель систе­ мы или процесса.

Предельно сложным по своей структуре будет полный бесконтурный граф, для которого мощность его дуг при заданной мощно­ сти вершин определяется выражением ( I ) . В связи с этим графы этой категории, независимо от числа образующих их вершин, долж­ ны иметь, по-видимому, одинаковую оценку коэффициента сложно­

ности дуг этой категории графа соответственно равны |/Vn|= 10, \N*\ = 4950, а коэффициент сложности q(G'n)= 2 и g(G2n)= 49,5

Между тем, если и для С 2 принять q(Gz) = 2, то в этом случае

29

\ NZ\- 200, и граф едва ли можно отнести к сложным струк­ турам*

Предъявляя требования объективной оценки сложности структур­ ного строения систем и процессов, следует назвать, прежде всего, требования соизмеримости сложности рассматриваемой и предель­ ной структур и выражения значения коэффициента сложности в нор­ мированном виде.

Как показывает практика, большинство систем и процессов моделируются графом, имеющим

можно рекомендовать нормированный по соотношениям связности коэффициент сложности графа

эквивалентности множества вершин этих категорий графа и получим окончательно