Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Большие системы и управление

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

11.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

		190
	tf[(o)0x+pslnd)sinoT\|	d^{(X)oy+ pcoscCjcosaT]
' V 'A	Tt	+ P	Tt	+

+ g с/^шо!/ +P) . + д(со0х+рsinai) oo^cosd- B(co0 + pcosd) x

d t								5
X cO 0zs i n d -	с(со0г+ к ) ш 0Х)+ aco0 x u 0%- cco0j.'U>0%'.									( 12)
Выражение для		M0y^можно преобразовать к						виду:
tf[co0_-*-BslnoT]				„	d(i£>0u + p cosoi)					+
М0и = ^	--------- sinoi+ б				—— ^		----------- c o s d
+ (61+ со0 г ) \|л(со0х+ p s L n d j c o s d -					8(ш0у+ pcosd)scno6Ca)0x~j-
	+ ( a -		с ) ш 0а. ш 0Ъ)			8				(13)
						dt
Величины of, ы, а ,		р ,	р ,	р , . р , р , а > 0<Е , ю 0у, а 0ъ, co0Xf,						со ^ и
со0г , фигурирующие в формулах (II)						и (12),		выражаются через
величины 8, 8,ср,#и		у		при помощи формул			(I)	- (9).
Проведем краткий анализ полученных выражений.
Из (II) и	(13)	следует, что в случае					идеальной		стабилиза
ции, т . е . при выполнении равенств (6), со							стороны		стабилизируе

мой массы на гиростабилизатор будет действовать составляющая инерционного момента

М0у = *	Psind)	SLnol +	^(СООУ'+Р) +(a-c)oo0xa 0	.(14)
М0у = *	a t		d t
Другая составляющая этого момента			М0г равна, очевидно,	нулю.
Как видно из выражения (14), даже в таком, реально не осу
ществимом на	практике,	случае на	гиростабилизатор должны были

бы действовать составляющие момента внешних возмущающих воздей ствий, обусловленные инерционноетыо как собственно стабилизи руемой массы, так и рам карданова подвеса.

Следует отметить, что до настоящего времени среди проек тировщиков нет единого мнения о числе составляющих инерцион

ного момента,	их	природе и относительной величине, В отдель
ных работах,	например, [ з ] , даже встречается утверждение, что
в рассмотренном		идеализированном случае

191

Наиболее широко распространено мнение, что в этом случае мо мент Моу определяется только членами, обусловленными инер ционностью рамы карданова подвеса.

Вдействительности, как показано выше, одна из составляю щих момента М0у1обусловлена инерционностью собственно стаби лизируемой массы. При этом, как показывают расчеты, эта состав ляющая доминирует над остальными.

Вреальных же условиях в связи с неидеальностью системы

стабилизации моменты	М0с. и	М0ъ должны оцениваться по форму
лам (II) и (13).	1	1

Рассмотренный пример показывает, что при проектировании систем управления необходимо обращать серьезное внимание на возмущающие воздействия, обусловленные специфическими условия ми функционирования этих систем.

				ЛИТЕРАТУРА
1.	Р и в к и н		С.С.,	Теория гироскопических устройств,
ч .1 , П,	"Судостроение", 1964.
2.	И ш л и н с к и й			А.Ю., Механика гироскопических си
стем, Изд. АН СССР, 1963.
3. Б е с е к е р с к и й В.А.,					О р л о в В.П., П о-
л о н с к э я		Л.В.,	Ф е д о р о в		С.М.,	Проектирование
следящих систем		малой мощности, Судпромгиз,				1957.

192

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПРИНУДИТЕЛЬНОГО БРАШЕНШ КАРДАНОВА ПОДВЕСА СВОБОДНОГО ГИРОСКОПА НА ЕГО ДИНАМИКУ

Рассмотрим свободный трехстепенной астатический гироскоп, установленный на неподвижном основании, и тот же самый гиро скоп с наложенным на карданов подвес (относительно основания) принудительным вращением около направления, близко совпадаю щего с направлением его кинетического момента. При этом при мем, что силы как сухого, так и вязкого трения по осям враще ния рамок карданова подвеса " отсутствует!! Как в первом, так и во втором случаях положение главной оси ротора гироскопов

определяется по отношению к одной и той же "неподвижной” систе ме координат. Исследование ведется на базе линеаризованных уравнений движения - линейных моделей гироскопов.

Уравнения движения (при сделанных допущениях) свободного трехстепенного астатического гироскопа, установленного на не подвижном основании, имеют вид [ I ] :

		(I)
где <и и	р -	углы поворота соответственно внешней и внутрен
		ней рамок карданова подвеса;
д и	В -	приведенные моменты инерции гироскопа относитель-
		но осей вращения соответственно внешней и внуарен
		ней рамок карданова подвеса;

Н - кинетический момент гироскопа.

Исследуем характер движения главной оси этого гироскопа. Запишем уравнения (I) в виде

193

X + Х у = 0;

у - кос = 0,

где

X -Ы 1/А1 7	у - ^VW1,	Н	т
X -Ы 1/А1 7	у - ^VW1,	А -	т
или, введя комплексное переменное z = x + i y			, получим
	Ъ - I Хъ = 0 .		(2)
	Ъ - I Хъ = 0 .
Полагая при t=	О
	ot ~ /	& = <о	(3)
			(3)
	Р = Р 0 7	Р=Р<>

и интегрируя уравнение (2 ), легко показать, что

(°,-°,о+‘дГв)

о/г

. г ,2 В

<*о + Го Т

(Р"Ро~7Га) ”

= /.

А К а - Й й

ёг

- /г А.

^0 т + Ро

(4)

(5)

	Введем в рассмотрение прямоугольные системы координат		оI р
и	6г р	. Тогда выражения (4) и (5) есть не что иное, как урав
нения		траекторий изображающих точек картинных плоскостей	Ы р
и	6i р	соответственно (рис.44 и 45)1^.

Движение того же самого гироскопа, но с принудительным вращением его карданова подвеса описывается (при сделанных до пущениях) системой уравнений [2]

			ad .^ -	boi* - Н р* = 0 ,		(6)
					+ H*6l' = о,
			a ? * - b h
где а ,	b	и	Н* выражаются через параметры гироскопа,			описы-
^	На ри с.44, 45 и			всех	последующих изображено по	одной
траектории		изображающих точек, причем все они носят чисто ил
люстративный			(качественный)		характер.

			194
ваемого системой (1)[Ь	и	Н*зависят также и от угловой скоро
сти вращения карданова	подвеса		со 0 (оо0= сопвЩ;	о ^ и	р* опре
деляются в той же системе		координат, что и в предыдущем случае.
В работе [2]] показано,		что	система уравнений	(б)	с большой

точностью описывает прецессионное движение рассматриваемого ги роскопического устройства.

Рис.44. Траектории изображаю-		Рис.45.		Траектории изображаю
щих точек в плоскости	оi р	щих точек в плоскости & р
Введем комплексное	переменное		=	с	. Тогда вместо
(6) получим
					(7)

где

Л= а

Исследуем характер движения главной оси ротора этого гиро скопического устройства, при этом за начальные примем условия типа (3 ). Получим следующие результаты:

- при со0 < со0

af+ bt s i n ( k t - t )

ы,

а\+ bzsi n {k t - z )

а ,+ b/ sLn(kt-t) = t ,	( 8)

а\ + bzsln(ki-z)	(9)
	}

195

при

со0 = со0

р*

( Ю )

а 3+ b3t

+ с3 t z

а3 + b3t + c3t z

< V bk t + Сц_Ьг

< V М + М

( И )

- п р и

со0 => со0

<*»

Р»

(12)

а5 + bs e~Klt+c5 e'<'t

■Ь*е-*'*+Све*'*

<**

Р*

-+ cffe«,t

(13)

а6+ б6е ' м + с 6 е ^ "

+ 6« <?■

!’

где

а, , bt, К , е ,

" аб> Ь6>св>

k t

постоянные,

зависящие

от начальных значений о/*0 ,

рхо, о/*0,

р *0и

Л , п .

Очевидно, выражения (8)

(13) можно рассматривать как

уравнения траекторий изображающих точек картинных плоскостей

соответственно

(рис.46

и 47).

В самом деле, уравнения

(8) -

(13)

являются следствием за

кона движения [решения системы

(6)]

и его

первых производных

по времени

соответственно при со0< а50,

со0=со0и со 0> соо. Не

трудно заметить, что они помогают выяснить вид траекторий изо

бражающих точек. Действительно, уравнения (8) -	(13) напомина
ют по форме записи уравнения окружностей, однако	"радиусы” этих

"окружностей" не постоянны, а зависят от t . Например, уравне

ния (8) и (9) определяют на	плоскостях	и 6^	^ со о т в ет ст
венно кругосинусоидальные замкнутые траектории,			уравнения	(10)
и (II) - кругоквадратичные	расходящиеся траектории, а уравне
ния (12) и (13) - кругологарифмические		расходящиеся траекто
рии.
Дадим геометрическое толкование этого вопроса. Известно,
что каждому решению системы	(6 ), т .е .
ol	= of* (t) ,	1		(14)
*		I,		(14)
р*	=
соответствует интегральная кривая в пространстве			/?(of, р,	,а
of

М М * ) >

(15)

			196
соответствует	кривая	в	пространстве	* p * 7 £ j •
Введем в рассмотрение			прямоугольную систему	координат

0о/*р*£(рис.46) и допустим, что система (14) соответствует слу чаю, когда со < со0.

В пространстве R ( о / р * 71) первое уравнение системы (14) является уравнением синусоидального цилиндра с образующими, параллельными оси р^ , второе - уравнением синусоидального

			p.
/	у/		N \
			A. \ \
I	1 1		Y y\
		0	arbilafl/ai+bi
Nl \
V \ v			J/n/)
	\ \ K -		— L y /
Рис.46. Траектории изображаю				Рис.47. Траектории изображаю
щих точек		в плоскости су * р*		щих точек в плоскости 6^

цилиндра с образующими, параллельными оси ы%9 а (3) - уравне нием круго-синусоидального цилиндра с образующими, параллельны ми оси t . Очевидно, что в пространстве R(ol* , система

					197
(14)	дает линию пересечения первых двух цилиндров (точнее,										их
образующих, соответствующих одному и тому же							текущему моменту
t ),	лежащую на поверхности				цилиндра, заданной уравнением						(8),
т .е .	интегральную кривую системы (6 ).
Точка, образованная пересечением образующих первых двух
указанных выше цилиндров,				соответствующих одному и тому же мо
менту	времени,		при t = О занимает			положение	/?(о/Х0 ,			0J
т .е .	находится		в плоскости	<^* р*		• С возрастанием			t	U > 0)она
начинает перемещаться по интегральной кривой,								удаляясь от на
чальной точки			/?(й07 Ро*0).		В любой момент		t	этой	точке		на
плоскости о/*		у б у д е т соответствовать точка					(изображающая -
ее проекция)		с	координатами (			р* (£) )>	а	интегральной
кривой - траектория изображающей точки. Перебирая все										возмож
ные начальные условия, получим в пространстве								R (ы * ,		р * , t )
семейство интегральных кривых системы (б ), а							на плоскости о/^ р^-

соответствующее семейство траекторий изображающей точки. Если

система (6) в пространстве	р *, t )	удовлетворяет	усло
виям теоремы Пикара, то ее	интегральные	кривые (14) нигде	не

пересекаются и, следовательно, не будут пересекаться и траек тории изображающих точек.

Рассуждая аналогичным образом, полупим траектории изобра жающей точки на плоскости й* ^(качественно подобные изображен

ным на рис.46)г	соответствующие уравнению (9 ).	Это применимо
к случаям со0=со0и	оо0> с о . На рис.47 показана	одна из	траек
торий изображающей точки, соответствующая уравнению ( I I ) .			Тра

ектории изображающей точки, соответствующие уравнению (12), ка чественно подобны приведенным на рис.47. Заметим, что изложен ное полностью применимо и к построению фазовых траекторий.

Таким образом, установлено естественное соответствие между

траекториями	изображающей точки	на	плоскости о/* р^ и интеграль
ными кривыми в пространстве /?(о^,			Другими словами, любо
му реальному	движению физически	осуществимого динамического

объекта, описываемого системой дифференциальных уравнений, всегда соответствуют два "движения”: движение точки по интегральной

кривой в пространстве типа	и движение	изобра
жающей точки по траектории,	расположенной в плоскости	типаос^р^.

В результате анализа построенных траекторий изображающих точек можно сделать некоторые выводы1' .

D Рассматривается лишь случай со0< со0(но не близких), так как именно он представляет практический интерес. Траектории изображающих точек при со0= со0и со > со0говорят о практической нецелесообразности этих случаев.

198

Из рис.44 следует, что при возмущении свободного трехсте пенного астатического гироскопа, установленного на неподвижном основании, его главная ось совершает незатухающие колебания около положения

=	п	1	(16)
	77 е	7 I
	т г А ' \

При наложении на	его подвес принудительного вращения главная
ось совершает колебания около положения (рис.43)
	Ы^О,	р * = 0 .	<17)
Картины движения	изображающих точек на плоскостях		и о/^ ^

хотя и остаются "идентичными", однако более детальное их иссле дование показывает, что точка (6**=0, рч= 0)обладает большим "притяжением", чем точка (&=07 £>=0). То же самое можно сказать и о точке (17), если сравнивать ее с точкой (16).

ЛИТЕРАТУРА

1. Н и к о л а и Е .Л ., Гироскоп в кардановом подвесе, "Наука", 1964.

2.	К а р г у Л.И ., Я б л о	н с к а я	В. А ., О характере
движения астатического гироскопа		во вращающемся кардановом под
весе,	"Известия ВУЗ, Приборостроение", 1968,		№ I .

199

Кандидат технических наук, доцент -А.П. СЕМЕНОВ

К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ТЕД ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

Пусть механическая система (тело) состоит для определен ности из п материальных точек переменной массы и движение каж дой из них описывается уравнением Мещерского

	dVi	ре ^		dm,: -			dm	v r		(I)
	/77; -- -	~ F-	+				^	v r		(I)
	/77; -- -	~ F-	+	dt	vn	+	d t	21 *
	1dt	L		dt	vn	+	d t
				(i ■- U 2 ,			n )
где	ml = m0i~ m n + mzi~				масса	L -й точки в момент			t	;
				m,OL	масса	I -й точки в момент			t 0 ;
				ГПл*— соответственно массы элементарных
					материальных точек (материальных
					частиц),		отделившихся от		I -й	точ
					ки и присоединившихся к ней за про
		йтц .		dmzi	межуток времени t - t 0 ;
		йтц .		dmzi	соответственно			секундные	расход и
		a t	’	a t	соответственно			секундные	расход и
		a t	’	a t	прирост массы I -й точки;
		йп = й п - * п \			прирост массы I -й точки;
		йп = й п - * п \			относительные			скорости материаль
					относительные			скорости материаль

=" il ных частиц соответственно отделяю

щихся от L -й точки и присоединяю щихся к ней;

абсолютные скорости материальных

un->

частиц соответственно отделяющихся

от / -й точки и присоединяющихся к ней;

скорость I -й точки; соответственно равнодействующие всех внешних сил и внутренних сил, приложенных к I -й точке.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ