книги из ГПНТБ / Караваев, Н. И. Электронные цифровые вычислительные машины и программирование учеб. пособие

- 50-

Таблица 1.7

Отрицание равнозначности

Основные законы алгебры логики

Для установления эквивалентности различных логических выражений в алгебре логики используются следующие основные законы /табл. 1.8/.

Законы переместительный, сочетательный и распредели­ тельный /для сложения/ имеют место и в обычной алгебре. Распределительный закон для умножения и закон инверсииспециальные законы алгебры логики. Справедливость основ­ ных законов алгебры логики может быть установлена с по-

- 51 -

мощью таблиц истинности, а качестве примере приведем таб­ лицу истинности /табл. 1.9/ для закона инверсии.

Таблица 1.9

Двоичные функции

При рассмотрении логических связей было установлено, что значение истинности простого высказывания может прини­ мать значения 0 и 1. Следовательно, простое высказывание можно рассматривать как двоичную переменную. Сложное выска­ зывание можно рассматривать как двоичную функцию, так как значение истинности его может принимать также только два значения: 0 и 1.

В общем случае переменная величина X, которая может принимать только два значения: 0 и 1, называется двоичной переменной.

менных, то количество различных функций, которые могут быть получены путем комбинации этих переменных, будет рав­ но

ных имеют весьма большое значение. Это значение состоит в том, что из них может быть построена любая двоичная функ­ ция. Средством такого построения является суперпозиция двоичных функций, т . е . подстановка одних двоичных функций вместо аргументов в другие двоичные функции. Возможность такой подстановки обусловлена тем, что области значений двоичных функций и области значений двоичных переменных совпадают между собой.

Двоичные функции одной и двух двоичных переменных пред­

Решение этого вопроса с технической точки зрения эквива­ лентно выбору типовых логических элементов, из которых могут быть построены сложные схемы цифровых вычислитель­ ных машин. Следовательно, логические элементы необходимо выбрать так, чтобы из этих элементов молно было построить любую сколь-угодно сложную схему. Это требование равно­ сильно условию реализации любой логической формулы с по­ мощью определенных двоичных функций.

Система двоичных функций называется функционально пол­

гут быть выбраны несколько функционально полных систем, однако наибольшее распространение при синтезе схем ЭЦВМ получила основная функционально полная система, включаю­ щая функции "И", "ИЛИ" и "НЕ". Элементы, реализующие эти логические операции, называются основными логическими эле ментами.

Используя функции "И", "ИЛИ" и "НЕ", может быть выра­ жена любая двоичная функция. Наиболее просто решается эта задача, если функция задана в виде таблицы /таблицы истин ности/.

-bo -

Втаблице 1.12 ./кузины значения переменных и соответ ­ ствующие им значения функции. Колонка таблицы "W строки"

введена только для простоты изложения материала; практи­ чески она не используется и при табличном задании функции этой колонки моает не быть.

Для записи функции в виде' логического выражения может быть использовано одно из двух правил: правило записи функ­ ции по единицам или правило записи функции по нулям.

Правило записи функции по единицам можно сформулиро­ вать следующим образом: для каждой строки таблицы, в ко­ торой значение функции равно 1, составляется произведение переменных /если значение переменной равно нулю, то пере­ менная берется с отрицанием/; полученные произведения скла­ дываются.

Врассматриваемом примере значение функции равно 1 в строках 1, 2, 5, 7. Составив произведение переменных для этих строк и суммируя их, получим

Хг,Хз) = Х<Х2Хз+Х<Х2Хз+ Х1Х2Х3 +• Х<Х2Хз .

Для записи функции по нулям необходимо для каждой строки таблицы, в которой значение функции равно 0, произ­ вести суммирование переменных /если значение переменной равно 1, то переменная берется с отрицанием/; полученные

Так, например, используя правило записи функции по единицам, операция запрета, равнозначность и отрицание равнозначности могут быть выражены через операции "И", "ИЛИ" и "НЕ" следующим образом /табл.1.11/:

- Ь6 -

Любая двоичная функция, выраженная через логические операции "И", "ИЛИ" и "НЕ", записывается в виде последова­ тельности букв, соединенных между собой знаками произведе­ ния или сложения. Очевидно, что чем меньше букв входит в эту формулу, тем меньше потребуется операций, а следова­ тельно, и элементов для реализации данной двоичной функции. Поэтому задача минимизации двоичных -функций сводится к отысканию таких форм, которые содержат минимальное коли­ чество букв.

Нахождение минимальной формы может быть проведено раз­ личными методами. Одним из них является аналитический ме­ тод. Сущность этого метода заключается в том, что двоичную функцию необходимо выразить через логические операции "И", "ИЛИ" и "НЕ" и, используя основные законы алгебры логики и следствия из таблиц основных двоичных функций, привести к

Задача нахождения минимальных форм является достаточ­ но трудной и значительных результатов можно достичь толь­ ко в том случае, если будет проявлена большая изобретатель­ ность.

- 57 - Синтез сложных логических схем

Слоеными логическими схемами будем называть схемы, сос­ тоящие из элементов, реализующих двоичные функции функцио­ нально полной системы.

Общий порядок синтеза сложных логических схем может быть следующим:

1. Определить условия работы схемы. Условия ре боты схемы могут быть сформулированы словесно или заданы в виде таблицы двоичной функции /таблицы истинности/.

2. Записать логическое выражение, описывающее работу дан­ ной схемы.

3.Минимизировать полученное логическое выражение.

4. Построить функциональную схему с указанием основных элементов и связей между ними.

5.На основе функциональной схемы разработать принципиаль­ ную схему.

Пример.

Минимизировать двоичную функцию

и построить функциональную схему для ее реализации. Используя основные законы алгебры логики, функция

/ 1 . 1 0 / может быть преобразована следующим образом:

Х( Х2Х3 + Х4Х2 X j +• Х{ ХгХз= Х< Х2Х3 +Х<ХгХз +• Х<СХг + Хз) =

= Х,Х 2 Х 3 + Х 1 Х г Х 3 + Х < Х 2 + Х 4 Х а - Х < ( Х 2 Х 3 + Х 2 ) + Х3 (Х,Х г +%0 .

Применяя соотношения / 1 . 8 / , полученное логическое выражение можно преобразовать к минимальной форме:

Х , ( Х 2 Х з + Х г ) + Х з ( Х 1 Х 2 + Х , ) = Х1СХз + Х г ) + Х 3 С Х 2 + Х < ) =

Рис. 1.3. Функциональная схема устройства для реализации функции / 1 . 1 1 /

необходимые логические элементы. Условные обозначения о с ­ новных логических элементов приведены в § 2.2 /рис . 2 . б/ .

Для построения принципиальной схемы устройства необ­ ходимо знать принципиальные схемы логических элементов. Принципиальные схемы основных элементов, используемых для построения устройств ЭЦВМ, рассматриваются в последую­ щих главах настоящего пособия.

Г Л А В А П ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И УЗЛЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ

пы, транзисторы, диоды, туннельные диоды, магнитные сердеч­

сочетании с другими радиотехническими деталями образуют схемы, имеющие два устойчивых состояния.

Такие схемы называются двухпозиционными элементами.

§ 2 . 1 . ДВУХП03ИЦИ0ННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Электронные вычислительные машины производят операции с величинами, представляемыми в цифровой форме. Вследствие этого числа необходимо изображать электрическими сигналами, характеризуемыми определенными параметрами. В общем случае число представляет собой совокупность нескольких разрядов, количество которых обычно является постоянным для данной машины.

Каждый разряд числа должен представляться схемой, ко­ личество устойчивых состояний которой должно соответство­ вать основанию системы счисления, принятой для представле­ ния чисел.

Например, для представления одного разряда числа, представленного в десятичной и двоичной системах счисления, необходимы схемы с десятью и двумя различными устойчивыми