книги из ГПНТБ / Караваев, Н. И. Электронные цифровые вычислительные машины и программирование учеб. пособие

-41 -

апервые W. разрядов остаются без изменения; если цифра

ряды теряются.

В рассматриваемом примере после округления получим

[X • У] пр = 0,00100111. После округления получим

[х • у] пр - 0,0010 .

Д е л е н и е

Операция деления является наиболее сложной из всех операций, выполняемых ЭЦВМ. Способы проведения операции деления в машинах могут отличаться как составом элементар­ ных операций, так и последовательностью их выполнения.

- 42 - Деление чисел в машинах с фиксированной запятой и деление

мантисс в машинах с плавающей аапятой производится одинако­ во. Абсолютное значение частного получается в результате деления абсолютного значения делимого на абсолютное зна­

вычитания порядка делителя из порядка делимого. При нару­ шении нормализации мантиссы частного производится нормали­ зация ее и соответственно изменяется порядок частного. В машинах с фиксированной запятой делимое всегда должно быть меньше делителя, в противном случае произойдет переполне­ ние разрядной сетки.

Б современных ЭЦВМ наиболее распространенным является метод деления без восстановления остатка. Сущность этого метода заключается в том, что из делимого /или остатка/ производится последовательное вычитание /или прибавление к остатку/ делителя, сдвигаемого вправо на один разряд при каждом шаге деления /вместо сдвига делителя вправо производится сдвиг остатка влево/. Если после вычитания

делителя соответствующий остаток оказывается положительным /или равным нулю/, то значение данного разряда частього равно 1 и производится следующее вычитание сдвинутого впра­ во делителя из полученного остатка. Если остаток получится отрицательный, то в данном разряде частного ставится 0 и для получения следующего остатка прибавляется сдвинутый на один разряд вправо делитель. Следует заметить, что в про­ цессе деления сложение и вычитание производится в обратном или дополнительном модифицированном коде.

Таким образом, при использовании метода без восстанов­ ления остатка каждый шаг деления должен состоять из двух элементарных операций:

-сдвнг делителя вправо /или сдвиг остатка влево/ на один разряд;

-сложение делителя с остатком или вычитание делителя из остатка и определение цифры частного.

- 43 -

Пример:

делимое - [х] пр ш 0,1001 делитель- [ y j пр = 0,1101

а/ Определение знака частного:

0 + 0 = 0 ; б/ Деление чисел:

00,1001 сдвиг + 01,0010 11,0011

00,0101

сдвиг + 00,1010 11,0011

11,1101 сдвиг + Ц ,1010 00,1101

00,0111 сдвиг + 00,1110 11,0011

00,0001 сдвиг + 00,0010 11,0011

11,0101 сдвиг + 10,1010 00,1101

11,0111

- 44 -

В некоторых ЭЦВМ операция деления заменяется умноже­ нием на обратную величину. Пусть, например, требуется най­ ти величину N~ "у .Для этого предварительно вычисляют ве­ личину Z =-д- . Тогда 7V= X'Z . Вычисление обратной величи­ ны Z = j j производится обычно методом итераций, что требует выполнения значительного количества операций сложения и умножения.

$ 1.5. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Логика - это наука о формах и законах правильного мыш­ ления. Математическая логика - одна из ветвей общей логики. Математическая логика использует тот же язык формул,

что и математика. Для получения логических следствий из исходных посылок проводятся формальные преобразования логи­ ческих формул. Правила этих преобразований в ряде случаев соответствуют правилам алгебраических действий.

В настоящее время математическая логика приобрела также прикладное значение. Особенно широко математическая логи­ ка применяется для решения задач анализа и синтеза схем электронных цифровых вычислительных машин и автоматических устройств.

При решении задачи анализа необходимо работу схемы опи­ сать логическим выражением. Затем путем формальных преоб­ разований можно проанализировать вопрос экономичности схе­ мы и упростить схему, не изменяя функций, которые ока вы­ полняет.

При синтезе схем, имея логическое выражение, описываю­ щее некоторую логическую функцию, необходимо определить, из каких элементарных схем и каким образом может быть построена сложная схема, реализующая данную функцию. Для

- 45 - Логические связи и операции

Одним из разделов математической логики является ис­ числение высказываний /алгебра логики/. Высказыванием в математической логике называется всякое предложение, ко­ торое либо истинно, либо ложно. Одновременно истинным и ложным высказывание быть не может. Отдельные высказывания принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита /А, В, С А Высказывания, различные по содержанию, обозначаются рааличными буквами, но в дальнейшем оценка высказываний производится только по их истинности или ложности.

Для обозначения значений истинности высказываний могут быть испольэованы различные способы /например: И - истина, Л - ложь/, но чаще всего применяют двоичные цифры. Если выскавывание истинно, то значение истинности его равно 1, если ложно, то значение истинности равно 0. Запись А=1 означает, что высказывание А истинно; В = 0 означает, что высказывание В ложно. Знак равенства при записи высказыва­ ний является символом их эквивалентности. Запись А * В означает, что значения истинности высказываний А и В оди­ наковы, т . е . они одновременно либо истинны, либо ложны.

Высказывания могут быть простые и сложные. Простым вы­ сказыванием называется такое высказывание, значение истин­ ности которого не зависит от значений истинности других высказываний. Примеры простых высказываний: "Начались эк­ замены". "Сумма внутренних углов треугольника равна 180°" и т.д.

Сложным высказыванием называется такое высказывание, значение истинности которого зависит от значений истин­ ности других высказываний. Например, предложение "Оценка отлично выставляется в том случае, если даны правильные ответы на два вопроса и правильно решена задача" являет­ ся сложным высказыванием.

Объединение простых высказываний в сложные произво­ дится с помощью логических связей. Сложные высказывания, составленные из простых с помощью логических связей, мо-

- 46 -

гут изображаться в виде логических формул. Рассмотрим несколько примеров логических связей.

истинности исходного высказывания А получается а результа­ те операции логического отрицания и определяется таблицей истинности /табл. 1.3/.

В общем случае высказывание с четным числом отрица­ ний эквивалентно основному высказыванию, а с нечетным чис­

связью "И" называется такая связь, при которой сложное высказывание Р, образованное простыми высказываниями А и В, истинно только в случае истинности обоих высказываний, его составляющих. Во всех остальных случаях высказывание Р ложно.

с помощью операции логического умножения л определяется

Из таблицы 1.4 вытекают следствия:

А• 0 = 0 ;

А* 1 = А ;

А" А = А ;

А' А = 0 .

Распространяя эту связь на большее число высказыва­ ний, можно получать новые сложные высказывания. В общем случае логическая связь "И" это такая 'связь, при которой сложное высказывание истинно только в том случае, если истинны все простые высказывания, его составляющие. Во всех остальных случаях высказывание Р ложно.

А+ 1 = 1;

А+ А = А;

А+ А - 1.

Распространяя эту связь на большее число высказываний, можно получать новые сложные высказывания. В общем случае логическая связь "ИЛИ" это такая связь, при которой слож­ ное высказывание ложно, когда все составляющие его прос­ тые высказывания ложны. Во всех остальных случаях сложное высказывание истинно.

Р а в н о з н а ч н о с т ь д в у х в ы с к а з ы в а ­ н и й . Равнозначностью двух высказываний называется такая логическая связь, когда сложное высказывание Р, образован­ ное простыми высказываниями А и В, истинно тогда и только тогда, когда значения истинности высказываний А и В сов­ падают /либо оба истинны, либо оба ложны/.

Эта связь записывается Р*А«^з В и читается "Р есть А равнозначно В".

- 49 -

Значение истинности высказывания Р в зависимости от истинности высказываний А и В получается с помощью опера­ ции равнозначности и определяется таблицей истинности /табл. 1.6/.

равнозначности называется такая логическая свявь, когда сложное высказывание Р, образованное простыми высказыва­

Значение истинности высказывания Р в зависимости от истинности высказываний А и В получается с помощью опе­ рации отрицания равнозначности и определяется таблицей истинности /табл. \.7/.