книги из ГПНТБ / Караваев, Н. И. Электронные цифровые вычислительные машины и программирование учеб. пособие

Для образования прямого кода отрицательного числа из его дополнительного кода необходимо в цифровых разрядах заменить нули единицами, а единицы - нулями и к младшему цифровому разряду прибавить единицу.

Кроме обычного дополнительного кода числа X, в ЭЦВМ используется модифицированный дополнительный код, который обозначается [х] доп и образуется по формуле

тельный код отличается от обычного дополнительного кода

- 31 -

прямом коде. Правило образования обратного кода отрицатель­ ного числа может быть сформулировано следующим обрезом: чтобы представить отрицательное число в обратном коде, необ­ ходимо в знаковом разряде поставить единицу, а в цифровых разрядах нули заменить единицами, а единицы - нулями.

Например:

его обратного кода необходимо в цифровых разрядах нули за­ менить единицами, а единицы - нулями.

Кроме обычного обратного кода числа X, в ЭЦВМ исполь­ зуется модифицированный обратный код, который обозначает­

- 32 -

ЭЦВМ с помощью сумматора, в котором реализуется правило сложения дополнительных кодов. Дополнительные коды скла­ дываются по обычным правилам сложения, причем знаковый разряд рассматривается как обычный цифровой разряд. Это означает, что цифры в знаковом разряде складываются и, кроме того, производится перенос ив старшего цифрового разряда в знаковый разряд; единица переноса из знакового разряда теряется.

Полученная сумма будет выражена также в дополнитель­ ном коде, если абсолютная величина суммы меньше единицы.

При сложении чисел в дополнительном коде арифметичес­ кое устройство выполняет следующие операции:

-перевод чисел в дополнительный код;

-сложение дополнительных кодов чисел;

-перевод суммы из дополнительного кода в прямой. Результат суммирования в прямом коде передается в

запоминающее устройство или сохраняется в сумматоре. Примеры:

Сложение чисел в обратном коде осуществляется в ЭЦВМ с помощью сумматора, в котором реализуется правило сложе­ ния обратных кодов. Обратные коды складываются по обычным

- 33 -

правилам сложения, причем знаковый разряд рассматривается как обычный цифровой разряд. Из старшего цифрового разря­ да производится перенос в знаковый разряд и, кроме того, перенос из знакового разряда в младший разряд суммы /цик­ лический перенос/. Полученная сумма будет выражаться так­ же в обратном коде, если абсолютная величина суммы меньше единицы.

При сложении чисел в обратном коде арифметическое уст­ ройство выполняет следующие операции:

-перевод чисел в обратный код;

-сложение обратных кодов чисел;

-перевод суммы из обратного кода в прямой.

Результат суммирования в прямом коде передается в за­ поминающее устройство илч сохраняется в сумматоре.

+ 0,100101 1,001000

[X + У] обр - 1,101101 ; [X + У] пр = 1,010010 .

+0,110111

1,011000

10,001111

цикаический перенос

[X + У] обр = 0,010000; [X + У] пр = 0,010000.

- 34 -

+1,111010

1,001001

11,000011

циклический перенос

[X + У] обр * 1,000100; [X + У] пр = 1,-111011 .

При сложении чисел с одинаковыми знаками в машинах с фиксированной запятой может произойти переполнение разряд­ ной сетки. Поэтому необходимо установить признаки, по ко­ торым можно было бы судить о переполнении разрядной сетки машины. Признаки переполнения разрядной сетки наиболее просто реализуются в машинах в том случае, если сложение чисел проводится в модифицированных дополнительном или об­ ратном кодах.

Сложение чисел в модифицированных дополнительном и об­ ратном кодах проводится по тем же правилам, что и в обычных дополнительном и обратном кодах. Отличие заключается в том, что осуществляется перенос из одного знакового раа-

ряда в другой и, кроме того, в модифицированном дополнитель­ ном коде теряется единица переноса из старшего знакового разряда, а в модифицированном обратном годе из старшего знакового разряца осуществляется циклический перенос.

При.использовании модифицированных дополнительного или обратного кодов признаком переполнения разрядной сетки бу­ дет образование сочетания различных цифр в знаковых разря­ дах: либо 10, либо 0 1. В машинах имеется специальное уст­ ройство, которое сравнивает значения знаковых разрядов суммы и вырабатывает сигналы на останов машины в случае их несовпадения.

- 36 -

Сложение и вычитание чисел в машинах с плавающей запятой

Сложение и вычитание чисел в машинах с плавающей за­ пятой производится в несколько этапов с применением спе­ циальных логических операций /сравнение чисел или их

сел в машинах с плавающей запятой обычно принимается сле­ дующая :

-сравнение порядков чисел;

-выравнивание порядков, заключающееся в том, что меньший порядок / с учетом знака/ увеличивается на величину раз­

ности порядков, а его мантисса сдвигается вправо отно­ сительно запятой на число разрядов, равное разности порядков; выравненный порядок будет порядком суммы;

-перевод мантисс чисел в модифицированный обратный или модифицированный дополнительный код;

-сложение мантисс, дающее мантиссу суммы;

-нормализация суммы при ее нарушении влево /при этом

производится сдвиг мантиссы вправо на один разряд и одновременно увеличивается порядок суммы на единицу/;

-перевод мантиссы в прямой код;

-нормализация суммы при ее нарушении вправо.

Следует обратить внимание на то, что нормализация сум­ мы влево проводится до перевода мантиссы в прямой код. Признаком нарушения нормализации влево при использовании модифицированных кодов является сочетание различных цифр в знаковых разрядах, т . е . признак нарушения нормализации влево совпадает с признаком переполнения разрядной сетки /для машин с фиксированной запятой/. Нормализация суммы при ее нарушении вправо проводится после перевода мантис­ сы суммы в прямой код.

- 37 -

Следует заметить, что порядки выражаются целыми чис­ лами ; запятая при записи порядков используется для отде­ ления знаковых разрядов.

а/ Сравнение порядков:

Этот же порядок будет и порядком суммы до проведения нор­ мализации.

Таким образом, после выравнивания порядков будет:

в/ Перевод мантисс в модифицированный дополнительный код:

,ГПх]доп - 00,10110000; - П1у]доп - 11,10011000 .

г/ Сложение мантисс: +00,10110000

И,10011000

00,01001000

вправо. Для нормализации суммы мантисса сдвигается влево на один разряд, а порядок суммы уменьшается на единицу:

В заключение следует отметить, что в машинах с пла­ вающей запятой переполнение разрядной сетки будет только в том случае, если в результате проведения операции будет получен порядок, который по абсолютной величине больше наибольшего представляемого в матине порядка.

У м н о ж е н и е

При рассмотрении операций сложения и вычитания было установлено, что для их реализации в ЭЦВМ наиболее удобно использовать представление чисел в дополнительном или об­ ратном коде. При выполнении операции умножения также жела­ тельно использовать представление чисел в дополнительном или обратном коде, так как в этом случае может быть получен результат с учетом знака. Однако использование дополнитель­ ного или обратного коде при выполнении операции умножения связано с рядом трудностей. Поэтому в большинстве совре­ менных машин умножение чисел производится путем умножения абсолютных величин этих чисел, представленных в прямом ко­ де, и определения знака произведения.

Знак произведения определяется специальной схемой пу­ тем сложения знаковых разрядов сомножителей; на выходе схе­ мы получается цифра, соответствующая знаку произведения.

- 39 -

Сложение знаковых разрядов осуществляется в соответствии с таблицей:

Из этой таблицы видно, что правило сложения знаковых разрядов сомножителей полностью соответствует правилу оп­ ределения знака произведения.

При умножении чисел в машинах с плавающей запятоС опе­ рация умножения чисел слагается из умножения мантисс и алгебраического суммирования порядков. Результат операции, при необходимости, нормализуется. Для умножения мантисс может быть выбран тот же способ кодирования, что и при ум­ ножении чисел в машинах с фиксированной запятой, т.е.% про­ изведение мантисс получается путем умножения их абсолютных величин, представленных в прямом коде. Для получения ал­ гебраической суммы порядков обычно используется обратный или дополнительный код.

Умножение в двоичной системе счисления может быть вы­ полнено путем последовательных суммирований и сдвигов. Про­ цессом суммирования управляют цифры множителя: если очеред­ ная цифра множителя 1, то множимое добавляется к сумме час­ тичных произведений; если очередная цифра множителя 0, сум­ мирование не производится.

В настоящее время известно несколько способов умноже­ ния двоичных чисел, но наибольшее применение имеют два спо­ соба.

1. Умножение начинается с младших разрядов множителя /множитель сдвигается вправо/. После каждого такта сумми­ рования сумма частичных произведений сдвигается вправо.

Множимое неподвижно. Умножение может начинаться также со старших разрядов множителя. В этом случае множитель и сумма частичных произведений сдвигаются влево.