книги из ГПНТБ / Быстрова, В. И. Проектирование механизмов и приборов для целлюлозно-бумажных производств учебное пособие

авл перпендикулярно к звену АВ. Точка В совершает движение,

параллельное хх. Значит, вектор ав абсолютного ускорения точки В будет лежать на хх. Проведем через полюс плана я направление хх. Точка пересечения двух направлений определит конец вектора абсолютного ускорения точки В. Ускорение любой точки на звене АВ может быть определено с помощью теоремы подобия.

Определим теперь ускорения точек двухповодковой группы III модификации (рис. 14, а). Вектор абсолютного ускорения точки А складывается из вектора относительного ускорения и вектора

вращательное движение) будет складываться из. нормальной и тан­ генциальной составляющих. Поэтому уравнение (2.8) примет вид

ад = а£ ас -j- аде акор. (2.9)

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведе­ нию угловой скорости переносного движения и линейной скорости

II порядка III модификации. вии с уравнением (2.9). Таким об­ разом, из плана ускорений можно

определить ускорение точки С кулисы:

ас — ае ■— a” -j- аъс.

Величина вектора ав ускорения любой точки В , расположенной на кулисе, определяется из пропорции

ас __ 02С

ав ОпВ

20

Определение ускорений точек групп III класса

Оно может быть проведено методом «особой» точки Ассурй. Последовательность решения задачи аналогична определению ско­ ростей. Не останавливаясь на уже известной методике построения плана ускорений, приведем лишь те векторные уравнения, которые позволяют определить ускорения точек Е, D, F (рис. 15) трехповод­ ковой группы Ассура. Для «особой» точки S имеем

as — аА + asA + aSA’

as = ас + a«c -f- a^c.

Ускорение точки Е определится решением следующих уравнений:

af — as + a«5 + a^s, aE = &вЛ~ aEB + aEB

Для точки D уравнения имеют вид

И, наконец, ускорение точки F найдем при решении уравнений

Здесь а«д = v 2AjlSA, а"с = v 2c/lsc и т. д.

При изучении вопросов кинематического анализа механизмов законы движения ведущих звеньев были заданными. В зависимости от этих законов изучалось движение всех звеньев. При этом не принимались во внимание силы, действующие на звенья механизма и возникающие при движении звеньев механизма. Изучение сил, вызывающих движение звеньев, определение реакций в кинемати­ ческих парах, моментов инерции звеньев составляют содержание кинетостатического исследования механизмов.

ГЛАВА 3. КИНЕТОСТАТИКА МЕХАНИЗМОВ

Кинетостатика механизмов изучает силы, вызывающие движе­ ние звеньев механизмов, исследует связь между ними, определяет реакции в кинематических парах.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА

Как известно из курса теоретической механики, силы инерции, распределенные по всему звену, можно привести либо к одной рав­ нодействующей силе Р„ = —mas, где т — масса звена; as — ye­

21

где los — расстояние центра тяжести звена S до оси вращения О;

Уравнение (3.4) показывает, что сила инерции звена равна произ­ ведению массы звена на ускорение центра тяжести и направлена в сторону, противоположную этому ускорению.

Определим теперь точку приложения силы инерции Ри. Напишем уравнение моментов всех элементарных сил инерции от­

Момент от элементарных сил dP';t равен моменту равнодействую­ щей Pi,

Сопоставим уравнения (3.5) и (3.6), подставив предварительно вместо РХИ его значение из уравнения (3.3):

е = J r^dm = s mlosz,

отсюда

где Io — момент инерции звена относительно оси вращения О. Если звено представить как физический маятник, вращающийся отно­ сительно оси О, то величина, вычисленная по уравнению (3.7), есть длина 10К математического маятника. Следовательно, сила инер­ ции звена приложена в центре качания звена К-

Иногда удобно заменить момент инерции /о звена относительно оси О моментом инерции Is звена относительно центра тяжести 5:

Io = fs + mIzos,

тогда

Центр качания звена всегда лежит за центром тяжести на продол­ жении прямой, соединяющей ось вращения звена с центром тя­ жести (OS).

23

Если звено АВ (рис. 20) совершает сложное плоское движение и ускорения точек А и В известны, то ускорение центра тяжести звена (точки S) определится следующим образом. Конец вектора as должен делить отрезок, соединяющий концы векторов аА и ав, па части, пропорциональные отрезкам AS и SB на звене: ajlfb=AS/SB. Вектор a Sa м о ж н о представить как геометрическую сумму вектора ускорения аЛ центра тяжести в переносном движе

где Рид — сила инерции звена в переносном (поступательном) дви­ жении; Pusa — сила инерции звена в относительном (вращатель­ ном) движении.

§ 2. УСЛОВИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛИМОСТИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ РЕАКЦИЙ В КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАХ

Для того, чтобы задача силового (кинетостатического) расчета была статически определима, число неизвестных должно быть равно числу уравнений. Неизвестными являются реакции (действие одно­ го звена механизма на другое) в кинематических парах. Любая реакция характеризуется тремя параметрами: точкой приложения, величиной и направлением.

При отсутствии трения во вращательной кинематической паре реакция будет приложена к центру шарнира. Остаются неизвестны­ ми величина и направление. В поступательной паре при отсутствии

24

трения реакция перпендикулярна к направляющим. Не известны точка ее приложения и величина. В высшей кинематической паре при отсутствии трения' реакция направлена перпендикулярно к ка­ сательной в точке соприкосновения профилей, известны направле­ ние и точка приложения реакции и не известна величина реакции.

Таким образом, для кинематической цепи, имеющей р2 низших кинематических пар и р{ высших пар, число неизвестных будет 2р2~\-р\- Если кинематическая цепь имеет п подвижных звеньев, число уравнений динамического равновесия будет равно 3п, тогда

1условие статической определимости будет Зп = 2р2-\-р\ и примет вид уравнений степени подвижности для групп Ассура. Следовательно, кинематическая цепь, представляющая группу Ассура, является статически определимой.

§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ В КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАХ

Определение реакций является главной задачей кинетостатики. Знание их необходимо для расчета механизмов на прочность, для определения износа деталей, уравновешивания сил инерции и т. д.

При силовом (кинетостатическом) расчете цепей будем пола­ гать, что все внешние силы и моменты, в том числе и силы инерции,

Рис. 21. Определение реакций в кинематических парах групп II класса II по­ рядка I модификации.

действуют на звено в одной плоскости и заменены одной силой. В тех случаях, когда линия действия силы выходит за пределы звена, наряду с силой вводится еще и момент. Сила переносится параллельно линии своего действия, чтобы направление пересекало линию центров шарниров звена в заданной точке. При определении неизвестных сил выделенную группу так же, как и составляющие ее звенья, можно рассматривать в состоянии равновесия, исполь­ зуя принцип Даламбера: «Если ко всем силам, действующим на одно звено или на несколько звеньев механизма, добавить силы инерции, развиваемые этими звеньями, то полученная система сил будет находиться в равновесии».

25

Рассмотрим двухповодковую группу Ассура I модификации (рис. 21, а), выделенную из схемы механизма. Шарниром А группа присоединяется к I звену, шарниром С — к звену IV. Замен-им действие звена I на звено II реакцией R13, действие звена IV на звено III — реакцией R43. Пусть группа АВС нагружена внешними силами Р2 и Р3 и моментами М2 и М3. Необходимо определить ре­ акции в кинематических парах. Для всей двухповодковой группы уравнение динамического равновесия будет

В уравнении- (3.11) силы Р2 и Р3 известны по всем параметрам: величине, направлению и точкам приложения. Реакции R!2 и R43 известны только по точкам приложения. Нахождение всех неиз ьестных параметров с помощью одного уравнения (3.11) невоз­ можно. Разложим каждую из реакций на две составляющие: на­ правленную вдоль звена (с индексом га) и перпендикулярную к зве­ ну (с индексом т ):

R43 = R£j + R43- }

Составляющие реакции RMбудут растягивать или сжимать звенья, составляющие Rx — создавать вращающий момент относительно точки В.

Составим уравнение равновесия отдельнодля звеньев II и III. Звено II находится под действием следующих сил и моментов:

R12, R ", Р2, R32, М2. Напишем уравнение моментов всех этих сил от­ носительно точки В:

2 M m ) = M 2 + P2A2 — /?-{2lAB = о,

откуда

Звено III находится под действием сил . R^3, R"3, Р3, R23 и момента Мг. Составим уравнение моментов относительно точки В:

^ М в ( ш) = — М 3 — P3fi3 — R]Jbc — 0.

отсюда

Направление сил R' определяется знаком правой части уравнений (3.13), (3.14). Подставим полученные значения для R \2 и R^n урав­

нение (3.11):

Здесь неизвестные параметры лишь R?2 и R43. Решим уравнение (3.15) графически, построив план сил (рис. 21,6). Для этого из

26

Это уравнение может быть решено графически на том же плане сил (рис. 21,6). Для этого соединим начало вектора Р3 с концом

а

Рис. 22. Определение реакций в кинематических парах групп II класса II порядка II модификации.

вектора R43. Реакция R23 будет направлена в соответствии с урав­ нением (3.16). Реакция R32 направлена в сторону, противополож­ ную R23.

27

-\-P2h2)/1ав- Знак правой части последнего уравнения определяет направление R]2. Теперь уравнение равновесия группы запишется

определяет, по какую сторону от точки В на плече /г4 будет прило­ жена реакция Ri2.

\

Рис. 23. Определение реакций в кинематических парах групп II клас­ са II порядка III модификации.

Рассмотрим двухповодковую группу Ассура III модификации (рис. 23, а). На всю группу действуют следующие силы и реакции:

R = R n43+R«-

28

Решим его графически на плане (рис. 23, б). Действие звеньев II и III друг на друга равно по величине, но противоположно направ­ лено: R23 = — R;j2- Из конца вектора R32 отложим вектор Р2. Да­ лее, замыкая треугольник сил в соответствии с уравнением (3.17), получим величину и направление реакции R12.

Точка приложения реакций R23 и R 32 определяется при состав­ лении уравнения моментов относительно точки А всех сил, дейст­ вующих на звено II. R32h—P2h2= 0, отсюда h = P2h2IR32. Знак пра­ вой части последнего равенства указывает, по какую сторону от

Пусть на группу III класса действуют заданные силы Р2, Р3, Р4, Р 5 и моменты М2, М3, М4 и М5. Необходимо определить реакции во всех шести кинематических парах. Разложим реакции R 12, R63, R74 па составляющие по двум направлениям: вдод»ь соответствую­ щих звеньев и перпендикулярно к ним:

R74 = R74 ~\~Rfp

Составим уравнение моментов всех сил, действующих на звено II, относительно точки D: R12Iad + M2-\-P2h2= 0, отсюда

Уравнение моментов сил, действующих на звено III, относительно точки Е будет R'33Ibe—Pzh3+ M3= Q, отсюда

Уравнение моментов сил, действующих на звено IV, относительно точки F будет R^/re + PJht— TW4 = 0 , тогда

бую» точку Ассура (S) и составим уравнение моментов всех сил, действующих на группу в целом, относительно точки S:

P2h2 + Р-о^ь + Рз^з + PJI4 — P]2Ias + ^ез^б — -^63^7 Ч~

Ч- Rj^sc Ч- М 2 Ч~М 3—■М 4 — М 5 = 0.'

29