число деталей в очереди = 1.929;

коэффициент использования = 0.75;

время пребывания в цехе = 0.571.

Задача 5.2. Задача линейного программирования.

Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек дол-

жен в сутки потреблять белков не менее 120 условных единиц

(усл. ед.), жиров – не менее 70 и витаминов – не менее 10 усл. ед.

Содержание их в каждой единице продуктов П1 и П2 равно соот-

ветственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед.

продукта П1 – 2 руб., П2 –3 руб.

Построить математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а ор-

ганизм получил необходимое количество питательных веществ. Най-

ти параметры задачи.

Решение. Составим экономико-математическую модель.

Пусть х1 – количество единиц продукта П1, х2 – количество единиц продукта П2.

Целевая функция – стоимость питания: Ц=2 х1+3 х2 min.

Ограничения:

1)необходимо потреблять не менее 120 единиц белка

0.2х1+0.1 х2 ≥ 120

2)необходимо потреблять не менее 70 единиц жиров

0.075 х1+0.1 х2 ≥ 70

3)необходимо потреблять не менее 10 единиц витаминов

0.1х2 ≥ 10

146

4) обе переменные неотрицательные

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

Для решения используем электронные таблицы OpenOffice.org

Calc.

На рис. 5.6 представлена исходная информация, необходимая для решения задачи.

В ячейках А3 и В3 установлены нули как начальное прибли-

жение. В ячейках А7 и А8 помещены коэффициенты целевой функ-

ции (2 и 3 соответственно). В ячейках А11:В13 помещены коэффи-

циенты всех трех ограничений.

В ячейках Е11:Е13 помещены знаки ограничений. Это спра-

вочные элементы и нужны только нам. Для программы решения за-

дач линейного программирования они не требуются.

В ячейках F11:F13 помещены правые части ограничений.

Теперь, необходимо задать формулы расчета целевой функции и левых частей ограничений.

Если посмотреть на нашу таблицу (рис. 5.6) и формулу целе-

вой функции, то можно записать: Ц=А7*А3+В7*В3.

Формулы подобного вида записываются через функцию

SUMPRODUCT (сумма произведений соответствующих элементов двух и более массивов).

147

Рис. 5.6. Исходная информация для решения задачи линей-

ного программирования

Поместим формулу вычисления целевой функции в ячейку D7.

Устанавливаем курсор в эту ячейку, печатаем символ «=», по-

является на строке ввода кнопка ввода функции «fx». Нажимаем ее и в «Категории» «Массив» выбираем функцию SUMPRODUCT (рис.

5.7).

После нажатия кнопки «Далее>>» появляется окно ввода па-

раметров (рис. 5.8).

148

После нажатия правой кнопки в окне ввода «Массив 1» на ра-

бочем листе активизируется окно ввода первого набора (рис. 5.9).

Мышкой выбирается прямоугольная область, содержащая эле-

менты первого массива. Это – значения переменных, т.е. ячейки А3:В3.

Рис. 5.9. Выбор аргументов То же выполняем и для второго массива. Это – коэффициенты

целевой функции, т.е. ячейки А7:В7.

Завершается операция нажатием кнопки «ОК» (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Завершение операции

Точно также в ячейки D11:D13 вводятся формулы для вычис-

ления левых частей неравенств.

Введенные формулы показаны на рис. 5.11.

150

Т.к. значения переменных сейчас равны нулю, то и результаты расчета по введенным формулам равны нулю (рис. 5.12).

Рис. 5.11. Отображение введенных формул

Рис. 5.12. Вид рабочей области после ввода формул

151

Для решения задачи необходимо вызвать соответствующий мастер последовательностью выбора команд меню: «Сервис» «По-

иск решения».

Появляется соответствующая панель (рис. 5.13).

Вокне «Целевая ячейка» указываем ее адрес: D7.

Впункте «Оптимизация результата» помечаем окошко «Ми-

нимум».

В окне «Путем изменения ячеек» указываем адреса наших пе-

ременных А3:В3.

Рис. 5.13. Ввод целевой функции и ограничений в мастер поиска решений.

152

В окнах ввода ограничений под общим именем «Ограничи-

тельные условия» указываем:

в окнах «Ссылка на ячейку» вводим адреса ячеек, в которых содержатся формулы вычисления левых частей неравенств

(D11:D13);

в окнах «Операция» выбираем либо знаки неравенств, либо ти-

пы переменных;

в окнах «Значение» указываем адреса ячеек, в которых нахо-

дятся числовые ограничения неравенств (F11:F13);

в последнем ограничении указываем, что все переменные не-

отрицательные.

После нажатия кнопки «Решить» появляется сообщение о ре-

зультате работы программы (рис. 5.14).

Рис. 5.14. Информационное сообщение о выполнении про-

граммы После нажатия кнопки «Сохранить результат» происходит воз-

врат в рабочий лист, на котором сохранены результаты расчета (рис.

5.15).

Итак, было получено, что нужно 800 единиц первого продукта и 100 единиц второго продукта. При этом, минимальные расходы со-

ставят 1900 денежных единиц.

153