Общий обзор мер связи

Измерительные шкалы		Шкала наименований		Шкала порядка	Интервальная, пропорциональная шкалы
		k = 2	k > 2
Шкала наименований	k = 2	Коэффициент контингенции 
	k > 2	Критерий 2	Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова К Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона С
Шкала порядка		Рангово-бисериальный коэффициент корреляции rRbis		Ранговые коэффициенты корреляции: Спирмена  Кендэлла 
Интервальная, пропорциональная шкалы		Бисериальный коэффициент корреляции rbis			Коэффициент линейной корреляции Пирсона r Корреляционное отношение 

Коэффициент контингенции

Если оба признака измерены по шкале наименований и каждый из них может иметь только два значения, то мерой связи является коэффициент контингенции «фи» — φ. В некоторых книгах по статистике этот коэффициент называется четырехклеточный коэффициент сопряженности или четырехпольный коэффициент,или тетрахорический показатель связи.

Удобнее всего этот коэффициент рассчитывать по 4-хпольной таблице сопряженности признаков (таблица 14) — таблице, показывающей частоту совместного появления у испытуемых пар значений по 2-м признакам.

Таблица 14

Значения признаков	X1 = 0	X2 = 1	Σ
Y1 = 0	f00 = a	f10 = b	a + b
Y2 = 1	f01 = c	f11 = d	c + d
Σ	a + c	b + d	N = a + b + c + d

Расчетное значение коэффициента контингенции вычисляется по следующей формуле:

Поскольку таблиц с критическими значениями для данного коэффициента не существует, то значимость этой меры связи оценивают при помощи критерия χ².

Правило принятия решения:

Расчетное значение критерия необходимо сравнить с критическим (или табличным) значением. Критическое значение находится в зависимости от числа степеней свободы (приложение с таблицами критических значений). Однако, для 4-хпольной таблицы число степеней свободы всегда равно 1 (ν = 1), поэтому можно привести эти значения, которыми всегдаследует пользоваться для 4-хклеточных таблиц:χ²_табл. = 3,84 для р = 0,95 и = 6,64 для р = 0,99.

Если χ²_расч≥ χ²_табл, то связь между признаками статистически значима, т. е. признаки изменяются согласованно. О направлении зависимости свидетельствует знак коэффициента взаимной сопряженности φ.

Если χ²_расч< χ²_табл, то связи между признаками нет.

Критерий «хи-квадрат» Пирсона

Назначения критерия

Критерий χ² применяется в двух целях;

1)для сопоставленияэмпирическогораспределения признака стеоре­тическим (равномерным, нормальным или каким-то иным);

2)для сопоставлениядвух, трех или более эмпирическихраспределе­ний одного и того же признака, то есть для проверки их однородности;

3) для оценки стохастической (вероятностной) независимости в системе случайных событий;

и т.д.

Описание критерия

Критерий χ²отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопостав­лять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований.В самом простом случае альтерна­тивного распределения ("да -нет", "допустил брак -не допустил бра­ка", "решил задачу -не решил задачу" и т. п.) мы уже можем приме­нить критерий χ².

Ограничения критерия

1.Объем выборки должен быть достаточно большим:N>30. ПриN<30 критерий χ²дает весьма приближенные значения. Точность крите­рия повышается при большихN.

2.Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5:f≥ 5.Это означает, что если число разрядов задано зара­нее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод χ²,не накопив определенного минимального числа наблюдений. Ес­ли, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7дням недели, то нам потребуется 5-7=35обра­щений. Таким образом, если количество разрядов(k)задано зара­нее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (N_min) оп­ределяется по формуле: .

3.Выбранные разряды должны "вычерпывать" все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопостав­ляемых распределениях.

4.Необходимо вносить "поправку на непрерывность" при сопоставле­нии распределений признаков, которые принимают всего 2значения. При внесении поправки значение χ²,уменьшается (см. пример с по­правкой на непрерывность).

5.Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду. Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

Алгоритм расчета критерия χ²

1. Составить таблицу взаимной сопряженности значений признаков следующего вида (по сути это двумерный вариационный ряд, в котором указываются частоты появления совместных значений признака) — таблица 14. В таблице располагаются условные частоты, которые мы обозначим в общем виде как f_ij. Например, число градаций признакахравно 3 (k=3), число градаций признакауравно 4 (m=4); тогдаiменяется от 1 доk, аj меняется от 1 доm.

Таблица 15

хi уj	х1	х2	х3	∑
у1	f11	f21	f31	f –1
у2	f12	f22	f32	f –2
у3	f13	f23	f33	f –3
у4	f14	f24	f34	f –4
∑	f1–	f2–	f3–	N

2. Далее для удобства расчетов преобразуем исходную таблицу взаимной сопряженности в таблицу следующего вида (таблица 16), располагая столбики с условными частотами один под другим: Занести в таблицу наименования разрядов (столбцы 1 и 2) и соответствующие им эмпирические частоты (3-й столбец).

Таблица 16

хi	уj	fij	fij*	fij–fij*	(fij–fij*)2	(fij–fij*)2/ fij*
1	2	3	4	5	6	7
х1	у1	f11	f11*
	у2	f12	f12*
	у3	f13	f13*
	у4	f14	f14*
х2	у1	f21	f21*
	у2	f22	f22*
	у3	f23	f23*
	у4	f24	f24*
х3	у1	f31	f31*
	у2	f32	f32*
	у3	f33	f33*
	у4	f34	f34*
						∑=………….

3.Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (4-й столбец), которая вычисляется по следующей формуле (итоговая частоты по соответствующей строчке умножается на итоговую частоту по соответствующему столбику и делится на общее количество наблюдений):

4.Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в 5-й столбец.

5. Определить число степеней свободы по формуле: ν=(k-1)(m-1) , гдеk -количество разрядов признаках,m— количество разрядов признакау.

Если ν=1, внести поправку на "непрерывность" и записать её в столбце 5а.

Поправка на непрерывность состоит в том, что от разности между условной и теоретической частотой отнимается еще 0,5. Тогда заголовки столбиков в нашей таблице будет выглядеть следующим образом:

Таблица 17

хi	уj	fij	fij*	fij–fij*	fij – fij* – 0,5	(fij–fij*– 0,5)2	(fij–fij*– 0,5)2/ fij*
1	2	3	4	5	5а	6	7

6.Возвести в квадрат полученные разности и занести их в 6-й столбец.

7.Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую часто­ту и записать результаты в 7-й столбец.

8.Просуммировать значения 7-го столбца. Полученную сумму обо­значить как χ²_эмп.

9.Правило принятия решения:

Расчетное значение критерия необходимо сравнить с критическим (или табличным) значением. Критическое значение находится в зависимости от числа степеней свободы по таблице критических значений критерия χ²Пирсона.

Если χ²_расч≥ χ²_табл, то рас­хождения между распределениями статистически достоверны, или признаки изменяются согласованно, или связь между признаками статистически значима.

Если χ²_расч< χ²_табл, то расхождения между рас­пределениями статистически недостоверны, или признаки изменяются несогласованно, или связи между признаками нет.

Прежде чем рассматривать меры связи дальше, необходимо освоить такую процедуру как ранжирование.