Леонтева Сборник лабораторныкх работ по физике Мекханика 2015

Заметим, что ускорение а груза тем меньше, чем больше момент инерции маятника. Если I/r2 >> m, то ускорение a << g. Именно такое условие выполняется в данной работе. Тогда согласно (9.7) сила натяжения нити мало отличается от mg:

F = mg – ma ≈ mg.

Соответственно, уравнение моментов (9.6) приобретает вид

I·β = mgr. (9.10)

Угловое ускорение β = а/r, поэтому для проверки уравнения моментов (9.10) необходимо убедиться, что ускорение а груза пропорционально его массе:

Измерить ускорение груза можно, сначала найдя время движения t груза, опускающегося с высоты h:

Уравнение моментов позволяет определить момент инерции маятника Обербека, если известно ускорение груза. Действительно, из (9.11) найдём момент инерции маятника:

Момент инерции маятника Обербека относительно его оси вращения складывается из I0 – момента инерции пустой (без грузов) крестовины, и Iгр – момента инерции четырёх грузов, надетых на крестовину.

I = I0 + Iгр,

71

В свою очередь, момент инерции грузов, в силу теоремы Штейнера

где Iгр1 – момент инерции одного груза относительно оси, проходящей через его центр инерции, параллельной оси вращения, m0– масса одного груза, R – расстояние от центра инерции груза до оси вращения маятника.

Момент инерции груза Iгр1 ~ l2, где l – характерный размер груза. В нашей работе l2 << R2, т.е. грузы можно считать материальными

Последнее соотношение показывает, что при перемещении грузов вдоль спиц, на которые они насажены, будет изменяться момент инерции маятника. Если сначала грузы находятся на расстоянии R1 от оси вращения, а затем на расстоянии R2, то в силу (9.13)

где I1, I2 – моменты инерции маятника в первом и втором случаях. Это соотношение также проверяется в данной работе.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

В работе необходимо проверить равенства (9.11) и (9.17).

1. Для проверки (9.17) необходимо определить вначале момент инерции I0 крестовины без грузов, а затем с грузами, расположив их сначала на расстоянии R1, а затем – на расстоянии R2 от оси вращения. В свою очередь, для определения моментов инерции необходимо измерить ускорение а груза, а затем с помощью соотношения (9.13) найти момент инерции. Для этого:

•определите радиус среднего шкива r, измерив штангенциркулем его диаметр; найденное значение r, а также известные значения h0, m1, r запишите в табл. 9.1;

•к нити, намотанной на средний шкив ненагруженной кресто-

вины, прикрепите груз массы m1 и определите время движения t0 этого груза с высоты h0;

•измерьте время пять раз и результаты занесите в табл. 9.1;

72

Таблица 9.1

1

2

...

5

•определите среднее значение времени t0 и по формуле (9.12)

определите величину среднего ускорения а0, а по формуле (9.13) – средний момент инерции пустой крестовины I0;

• найдите абсолютную ошибку определения времени t и относительную ошибку определения ускорения:

• по известной δа0 и среднему значению момента инерции I0 найдите ошибку определения момента инерции:

I0 = I0 aa .

0

Результаты вновь занесите в табл. 9.1;

•определите момент инерции крестовины с грузами. Для этого расположите грузы (четыре цилиндра) посередине спиц крестовины так, чтобы метки на спицах находились у правого края грузов.

Измерьте расстояние от оси крестовины до середины груза R1. Результаты измерения занесите в табл. 9.2;

•тем же способом, что и для пустой крестовины, при тех же

грузе т1 и шкиве r определите время t1 движение груза с высоты h0; результаты измерения также занесите в табл. 9.2;

73

• так же, как и для первого опыта, найдите ускорение груза, момент инерции маятника и погрешность определения момента инерции I1, результаты занесите в табл. 9.2;

•переместив грузы до меток на концах спиц крестовины, при

тех же грузе т1 и шкиве r определите момент инерции грузов, находящихся на расстоянии R2 от оси вращения; результаты измерения занесите в табл. 9.3;

•так же, как и в предыдущем случае, вычислите среднее зна-

чение момента инерции I 2 и среднюю абсолютную ошибку I2, результаты измерения занесите в табл. 9.3;

• по найденным моментам инерции I0 , I1, I2 и известным расстояниям R1, R2 проверьте соотношение (9.17).

2. Изучите зависимость величины углового ускорения маятника от величины момента М приложенных сил. Эта зависимость при неизменном моменте инерции тела согласно (9.11) должна иметь вид

β = ar = mgrI .

Поскольку момент инерции в данном опыте остаётся постоянным, то отношение угловых ускорений при разных грузах должно равняться отношению масс этих грузов:

β1 = a1 = m1 . β2 a2 m2

Для проверки этих соотношений:

• занесите в первые три столбца табл. 9.4 данные из соответствующих столбцов табл. 9.3;

Измерений с грузом m1 заново проводить не надо!

74

Таблица 9.4

R2 = ___________

• оставляя грузы на концах крестовины (на расстоянии R2 от оси вращения), подвесьте к нити другой груз m2 = 2 m1, определите время его падения с высоты h0 (высота h0 и радиус шкива r – те же, что и в табл. 9.4); повторите эти измерения 5 раз и данные занесите в табл. 9.5;

Таблица 9.5

R2 = ___________

•по данным таблиц 9.4 и 9.5 определите линейные а1, а2 и угловые β1 и β2 ускорения;

•проверьте выполнение соотношения

β = ar = mgrI

для каждого из найденных ускорений, а также проверьте справедливость соотношения

β1 = a1 = m1 . β2 a2 m2

75

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие виды движения твёрдого тела вам известны? Сформулируйте теорему Эйлера.

2.Что называется моментом инерции твёрдого тела?

3.Каким уравнением описывается вращательное движение твёрдого тела?

4.Сформулируйте теорему Штейнера.

5.Какие приближения использованы при выводе соотношения

(9.14)?

6.Соответствуют ли эти приближения точности Вашего эксперимента?

7.Влияет ли сила трения в оси маятника на справедливость соотношения (9.17)?

8.Для увеличения точности измерений необходимо, чтобы время движения груза было достаточно большим, т.е. масса груза не должна быть очень велика. Но и слишком малой её нельзя взять, так как на точности измерений начнёт сказываться влияние трения

воси маятника. Оцените оптимальную для вашего опыта массу груза.

76

Работа № 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ МЕТОДОМ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА

Цель работы: определение коэффициента трения качения шаров, выполненных из различных материалов по стальной пластине.

Приборы и принадлежности: маятник наклонный со сменными шариками.

ВВЕДЕНИЕ

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R и веса Р, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости.

Приложим к оси катка силу Q, как показано на Рис. 10.1, а. Тогда в точке А возникнет сила трения Fтр. Если сила Q достаточно мала (меньше некоторой критической величины Qкр), то сила трения Fтр будет силой трения покоя. Она в этом случае численно равна Q и будет препятствовать скольжению цилиндра по плоскости. Если считать нормальную реакцию N тоже приложенной к точке А, то она уравновесит силу Р, а силы Q и Fтр образуют пару с моментом M = QR, вызывающую вращение цилиндра. При такой схеме цилиндр покатится по плоскости, как видим, под действием любой, сколь угодно малой силы Q.

77

Истинная же картина, как оказывает опыт, выглядит иначе. Качение начинается, если сила Q имеет некоторое конечное значение Qпр. Объясняется это тем, что касание тел происходит не в одной точке, а вдоль некоторой площадки АВ (Рис. 10.1, б). Причины этого могут быть различными: деформация тел в месте их соприкосновения, неровность поверхности и т.п. Под действием силы Q интенсивность давления у края А убывает, а у края В возрастает. В результате реакция N оказывается смещённой в сторону действия силы Q.

С увеличением Q это смещение растёт и при достижении силой Q своего предельного значения Qпр, смещение также достигает некоторой предельной величины k. Таким образом, в предельном положении на каток будут действовать пара (Qпр,Fтр) с моментом Qпр R и уравновешивающая её пара (N,P) с моментом Nk. Из равенства моментов сил находим

RQпр = kN

Пока Q < Qпр каток находится в покое; при Q > Qпр начинается качение.

Входящая в формулу величина k называется коэффициентом трения качения. Она, как это видно из (10.1), имеет размерность длины. Измеряют величину k обычно в сантиметрах. Значение коэффициента k зависит от материала тел и определяется опытным путём.

Приведём значения этого коэффициента для некоторых мате-

Отношение k/R для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения. Этим объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением (колеса, катки, шариковые подшипники и т.д.).

78

колебаний. Если маятник начал колебания так, что максимальный угол отклонения маятника α0, а после n колебаний этот угол оказался равным αn, то коэффициент трения качения можно найти из следующей формулы (вывод её дан в приложении к работе):

где R – радиус шарика, β – угол наклона плоскости качения маятника (см. рис. 10.2), n – число колебаний маятника.

Выражение (10.2) можно упростить, если угол α0 мал. Действительно, при малом α0, мы можем записать

Эту формулу и следует применять в данной работе. При вычислениях имейте в виду, что углы α в формуле (10.3) предполагаются измеренными в радианах.

Угол наклона β ограничен пределами от 30° до 75°. О причинах таких ограничений см. в приложении к работе.

79

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

На рис. 10.3 показаны схема и общий вид установки спереди и сбоку. На вертикальной стойке 2 основания 1 размещается червячный редуктор, который осуществляет поворот и фиксацию нижнего кронштейна 3 (рис. 10.3, а). Червячный редуктор приводится во вращение маховичком 11 (рис. 10.3, в), отсчёт угла наклона образца проводится по шкале 4 (рис. 10.3, а и в).

Рис. 10.3

Нижний кронштейн 3 представляет собой литую деталь сложной конфигурации, на которой крепятся: шкала отсчёта амплитуды колебаний маятника 5, вертикальный стержень 6, предназначенный для крепления верхнего кронштейна 7 и датчик фотоэлектрический 9. Шкала 5 представляет собой пластину, в которой вырезано гнездо, предназначенное для установки сменных образцов.

По шкале определяется угол отклонения маятника от положения равновесия до 11°. Шкала снабжена зеркальным отражателем, который служит для уменьшения параллакса при отсчёте угла отклонения маятника

80