Леонтева Сборник лабораторныкх работ по физике Мекханика 2015
.pdf
4.Повторите измерения периода T0i колебаний 6 раз, занося результаты в соответствующие строки табл. 11.1.
5.Определите среднее значение периода колебаний T0 и запишите его в табл. 11.1.
6.По формуле (11.2) вычислите среднее значение момента
инерции I0 ненагруженной платформы и запишите эти результаты в табл. 11.1.
7.Вычислите отклонения T0i = T0i – T0 и среднюю квадратичную погрешность T0 и запишите в табл. 11.1.
8.По формуле (11.3) найдите погрешность определения мо-
мента инерции I0 и запишите результат в табл. 11.1.
Все дальнейшие измерения и вычисления проводятся в той же последовательности, что и только что описанные. Отличие состоит лишь в том, что все последующие измерения проводятся с платформой, нагруженной двумя цилиндрами.
9.Разместите грузы в центре платформы, поставив их друг на друга.
10.Составьте табл. 11.2 результатов вычислений и измерений.
11.Измерьте массу т цилиндра, найдите массу платформы, на-
груженной двумя цилиндрами и запишите результат перед табл. 11.2.
|
Масса платформы с грузами: m0+2m = |
|
Таблица 11.2 |
|||||
|
|
T1i |
|
|
|
|
|
|
№ |
t1i |
T1 |
T 1 i = T 1i – T 1 |
|
T 1 |
I1 |
I1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12.Повторите все измерения и вычисления описанные в пп. 2–8, занесите результаты по мере их получения в табл. 11.2.
13.Найдите момент инерции цилиндра относительно его оси
Iц = I1 −2 I0 ,
а также погрешность его измерения.
Разместите грузы симметрично по краям платформы, поста-
вив их на отмеченные для этого места.
91
14. Составьте табл. 11.3. Найдите расстояние от оси платформы до груза d, запишите результаты перед табл. 11.2:
Масса платформы с грузами: m0+2m = Расстояние от оси платформы до груза d =
Таблица 11.3
№ |
t2i |
T2i |
T2 |
T2i = T2i – T2 |
T2 |
I2 |
I2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
15.Проделайте все измерения и вычисления в соответствии с пп. 2–8, занесите результаты в табл. 11.3.
16.Окончательный результат запишите в виде:
Iц =Iц ±ΔIц.
17.Вычислите момент инерции цилиндра относительно его оси, измерив его диаметр (масса m уже измерена).
18.Сравните полученный результат с найденной величиной Iц.
19.Зная величину момента инерции пустой платформы I0, по формуле (11.5) найдите I – момент инерции цилиндра относительно оси, отстоящей от его центра тяжести на расстояние d.
20.Сравните найденную величину I − Iц с величиной md2, для
чего измерьте штангенциркулем расстояние d и вычислите произведение md2.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Что называется моментом инерции твёрдого тела?
2.Сформулируйте теорему Штейнера.
3.Вычислите момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии.
4.Докажите, что для всякого плоского тела (скажем, вырезан-
ного из листа стали) имеет место равенство Iz = Ix + Iy, где Ix , Iy, Iz – моменты инерции тела относительно осей OX, OY, OZ, проходящих через центр инерции тела, причём оси OX и OY лежат в плоскости тела, а OZ перпендикулярна ей.
92
5. Пользуясь выведенной в п.4. формулой, найдите:
•момент инерции однородного диска относительно его диаметра,
•момент инерции однородного квадрата относительно его диагонали.
Приложение к работе 11
ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА
Найдём период колебаний трифилярного подвеса. Для этого вычислим энергию движущегося подвеса. Если в некоторый момент времени подвес повернут на угол ϕ относительно своего равновесного положения, то его центр инерции при этом поднят на высоту h
относительно того же положения. |
|
r |
||||||
Запишем энергию подвеса: |
|
|||||||
B |
||||||||
|
Iϕ2 |
|
mh2 |
|
|
|
||
E = |
+ |
+mgh. |
(11.П1) |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|||
Здесь, как обычно, точкой над функцией обозначена ее производная по времени.
Выразим высоту h через угол ϕ поворота подвеса. На рис. 11.П1 равновесное положение подвеса изображено пунктирной линией, положение после поворота на угол ϕ – сплошной. Из рисунка видно, что
(H–h)2 = L2 – d2. |
(11.П2) |
Величину d легко найти из треугольника A'ED:
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
H |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
H–h |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
||
|
A' |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
||||
d |
|
|
|
|
R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
Рис. 11.П1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
d2 = R2 + r2 – 2rR cosϕ. |
(11.П3) |
|
Величину H определим из треугольника ABC: |
|
|
H2 = L2 – (R–r)2. |
(11.П4) |
|
В условиях нашего опыта длина нитей L, на которых укреплён |
||
подвес, значительно превышает радиусы R и r: |
|
|
L >> R, |
L>>r. |
(11.П5) |
93
Кроме того, будем рассматривать только малые колебания, при
которых |
|
|ϕ| << 1 |
(11.П6) |
||
и, как следствие, h << H. |
|
||||
|
|
|
|
||
С учётом этих неравенств из (11.П2)–(11.П4) получим |
|
||||
h = |
R r |
ϕ2 . |
(11.П7) |
||
|
|||||
|
L |
2 |
|
||
Дифференцируя (11.П7) по времени, получим |
|
||||
h = |
Rr |
ϕϕ. |
(11.П8) |
||
L |
|||||
|
|
|
|
||
Сравним теперь первые два слагаемые в (11.П1) друг с другом. Момент инерции подвеса I имеет порядок mR2, поэтому
h= Iϕ22 mR2ϕ2 .
Сдругой стороны, с учётом (11.П7)
mh2 |
|
mR2ϕ2 r |
2 |
|||
|
= |
|
|
|
ϕ . |
|
2 |
2 |
L |
||||
|
|
|
||||
Как видим, последнее полученное выражение отличается малым
множителем |
r |
ϕ 2 |
от предыдущего. Тем самым, кинетическая |
|
|||
L |
|
|
|
энергия подвеса определяется лишь кинетической энергией его вращения, и механическую энергию подвеса можно считать равной
E = |
Iϕ2 |
+ mgh. |
(11.П9) |
|
2 |
||||
|
|
|
Дифференцируя (11.П9) по времени, получим с учётом (11.П8):
ϕ+ |
mgRr |
ϕ = 0. |
(11.П10) |
|
IL |
||||
|
|
|
Это уравнение гармонических колебаний, квадрат частоты ко-
торых совпадает с коэффициентом перед ϕ: |
|
|||||
ω= |
mgRr |
. |
|
(11.П11) |
||
|
|
|||||
Период этих колебаний |
L I |
|
||||
|
|
|
|
|
||
T = 2π |
|
L I |
. |
(11.П12) |
||
|
|
|||||
|
|
|
mgRr |
|
||
94
Работа № 12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: определить момент инерции махового колеса.
Приборы и принадлежности: маховое колесо с дополнительным грузом, штангенциркуль, технические весы, секундомер.
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе момент инерции маховика предлагается определить методом колебаний. Для этого к краю маховика прикрепляют дополнительный груз, в результате чего маховик превращается в физический маятник (рис. 12.1). Измерив период колебаний этого маятника, определяют момент инерции маховика. В самом деле, период колебаний физического маятника
T = 2π |
|
|
|
I |
, |
|
|
(12.1) |
|
|
|
|
||||
|
mgd |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где I – момент инерции маятника отно- |
|
|
|
|||||||||||||
сительно оси вращения, m – его масса, |
|
|
|
|||||||||||||
d – расстояние от оси вращения до цен- |
|
|
|
|||||||||||||
тра инерции маятника, g – ускорение |
|
|
|
|||||||||||||
свободного падения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если обозначить через I1 и I2 момен- |
|
|
|
|||||||||||||
ты инерции маховика |
|
|
и |
груза |
соот- |
|
|
Рис. 12.1 |
||||||||
ветственно, а через m1 и m 2 их массы, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
то I = I1 + I2 , m = m1 + m2. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
T = 2π |
|
I1 + I2 |
|
. |
|
|
(12.2) |
|||||||||
|
(m |
+ m |
2 |
)gd |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда получим выражение для момента инерции маховика |
||||||||||||||||
|
I |
= |
|
(m + m )gT |
2d |
− I |
|
. |
(12.3) |
|||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4π2 |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
95
В данной работе дополнительный груз представляет собой цилиндр радиуса r, укреплённый на расстоянии а от оси вращения, поэтому его момент инерции относительно оси маховика
|
|
|
m r2 |
|
|
I |
2 |
= |
2 |
+ m a2 . |
(12.4) |
|
|||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно также выразить расстояние d через величины a, m1,
m2. В самом деле, по определению центра инерции |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
d = |
|
m2a |
|
, |
|
|
|
(12.5) |
||
|
|
|
|
m +m |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
откуда из (12.3) I = |
(m + m )gT 2d |
− I |
|
. |
|
|
|
(12.3) |
||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4π2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
и (12.4) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
= |
m2 gaT 2 |
|
−m |
r2 |
+ a2 |
. |
(12.6) |
||||
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4π |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Все величины, стоящие в правой части выражения (12.6), определяются опытным путём.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Измерьте пять раз диаметр D добавочного груза, определите для каждого измерения радиус r и найдите среднее арифметическое значение радиуса r .
2.Определите период колебаний махового колеса с грузом. Для
этого отклоните маховое колесо на угол не больше 30° от положения равновесия и 5–7 раз определите время t десяти полных колебаний1. По каждому значению времени вычислите период T = t/10
инайдите среднее арифметическое значение этого периода T1 .
3.Вывернув груз и укрепив его в положение диаметрально противоположное первому, так же как и в п. 2, определите средний
период колебаний T2 .
1 Так как между осью и маховиком существует заметное трение, то при определении Т приходится проводить отклонение на большие углы ≈30°. Формула же, связывающая период Т и момент инерции, выводится для малых углов отклонений. Поэтому наши вычисления являются приближенными.
96
4. Период колебаний маховика T найдите как среднее арифме-
тическое T1 и T2 .
5. Все измерения занесите в табл. 12.1. Перед таблицей запишите значения величин
a = (0,125±0,001) м m2 = (2,57±0,01) кг
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12.1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
D |
r |
r |
t1 |
T1 |
T1 |
t2 |
T2 |
|
T2 |
T |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средние |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|||||
значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.По данным a и m2, средним r и T , взятым из таблицы, пользуясь формулой (12.6), вычислите момент инерции маховика.
7.Определите погрешности вычислений.
Наибольшую погрешность имеет величина T. Тогда согласно
(12.6)
I |
|
= m |
|
gaT T |
. |
(12.7) |
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 2π2 |
|
||
Поскольку период определяется как среднее арифметическое Т1 и Т2, то погрешность T следует определять как
T = ( T1 )2 +( T2 )2 .
Зная Т, по формуле (12.7) определите I. Окончательный ответ запишите в виде
I1 = |
|
|
(12.8) |
|||
I1 ± I1. |
||||||
8. Определите относительную погрешность ε = |
|
I1 . |
||||
|
|
|
||||
I |
||||||
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|||
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Что называется моментом инерции твёрдого тела?
2.Сформулируйте теорему Штейнера.
97
3.Вычислите момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии.
4.Выведите формулу (12.1)
5.Согласно (12.1) период колебаний физического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это верно лишь для колебаний малой амплитуды, в нашем случае – малых углов отклонения груза от вертикали. Как будет зависеть период от амплитуды колебаний, если амплитуда сделается большой, будет ли период расти с ростом амплитуды, или же убывать?
98
Работа № 13
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И УПРУГОГО МАЯТНИКОВ
Цель работы: проверить зависимость периода колебаний от характеристик маятников, определить ускорение силы тяжести с помощью математического маятника.
Приборы и принадлежности: математический маятник, пружинный маятник, набор грузов, секундомер, штангенциркуль.
1. ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. Им может служить тяжёлый небольшой шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (рис. 13.1). Если длина нити l′ много больше радиуса шарика r, то шарик можно считать материальной точкой, а если шарик тяжёлый, т.е. его масса т много больше массы нити, то нить можно считать невесомой.
Период колебания математического маятника равен
T = 2π gl .
Рис. 13.1
(13.1)
Возведя (13.1) в квадрат, получим |
|
|||
T 2 = |
4π2 |
l. |
(13.2) |
|
g |
||||
|
|
|
||
Как видим, квадрат периода колебаний пропорционален длине маятника. Коэффициент пропорциональности зависит от ускорения силы тяжести g. Измерив период колебаний при различных длинах маятника l = l′ + r, можно определить ускорение силы тяжести.
99
Цель первой части работы состоит в проверке соотношения (13.2) и определении величины ускорения силы тяжести g. Для этого необходимо измерить период колебаний маятника при различных длинах нити, которую необходимо изменять в достаточно широких пределах (от 1,5 до 0,5 м). Результаты измерений следует
изобразить на графике зависимости квадрата периода от длины нити. Согласно (13.2) график должен иметь вид прямой линии (рис. 13.2), угловой коэффициент наклона которой зависит от величины g:
Рис. 13.2 |
T 2 |
= kl, k = |
4π2 |
. |
|
||||
|
|
g |
||
Для обеспечения необходимой точности результатов, следует измерять период с максимальной точностью. Для этого необходимо измерить продолжительность t достаточно большого числа п коле-
баний, тогда период определится как отношение
T = nt .
Очевидно, что ошибка измерения времени t секундомером не превосходит величины периода Т. Поэтому погрешность определения периода тем меньше, чем больше число колебаний п. Для обеспечения погрешности порядка 1–2 % следует измерять продолжительность порядка 50–100 колебаний для каждой длины нити.
Порядок выполнения работы
1.Приведите маятник в колебание, отклонив его на небольшой угол. В момент прохождения им одного из крайних положений включите секундомер и определите t время не менее 50 колебаний. Поделив время t на число полных колебаний, определите период колебаний маятника.
2.Проделайте эти измерения для длин нити 150 см, 125 см, 100 см, …, 50 см.
3.Все измерения занесите в первые четыре столбца табл. 13.1.
4.По данным табл. 13.1 постройте график согласно рис. 13.2.
100