Леонтева Сборник лабораторныкх работ по физике Мекханика 2015

ится, момент силы статического трения может принимать любое

значение от –Nmax до Nmax. Из-за того, что момент силы трения покоя может принимать любые значения вплоть до Nmax, по обе сто-

роны от положения равновесия существует интервал углов отклонения, в пределах которого трение покоя в состоянии уравновесить момент силы тяжести. Этот интервал называют зоной застоя, или мёртвой зоной. Если угловая скорость маятника обращается в нуль где-либо в пределах зоны застоя, маятник останавливается и в дальнейшем покоится в этой точке.

Важная отличительная черта затухания колебаний под действием силы сухого трения заключается в том, что движение полностью прекращается после конечного числа циклов. Пока осциллятор совершает колебания, знак скорости периодически изменяется, и каждое очередное изменение направления скорости происходит при всё меньшем отклонении от средней точки зоны застоя. В конце концов точка поворота оказывается внутри зоны застоя, где трение покоя в состоянии уравновесить возвращающую силу. В этот момент движение полностью прекращается. В какой именно точке произойдёт остановка, зависит от начальных условий, которые могут меняться от случая к случаю.

Найдём закон движения маятника с сухим трением. На вращающийся маятник одновременно действуют момент силы тяжести – mgl ϕ и момент Nтр силы трения скольжения. Уравнение вращения маятника с моментом инерции I имеет следующий вид:

В соответствии с принятой идеализированной характеристикой сухого трения, момент силы трения скольжения Nтр направлен противоположно угловой скорости маятника ϕ, и остаётся постоян-

ным (равным по модулю Nmax) до тех пор, пока продолжается вращение маятника в одном направлении. Поэтому движение маятника описывается двумя разными уравнениями в зависимости от направления движения маятника:

Удобно выразить Nmax через максимальный угол отклонения маятника ϕm, при котором он ещё может находиться в состоянии покоя:

112

Пусть в начальный момент t = 0 маятник повернут влево (по часовой стрелке) от положения равновесия, так что ϕ(0) < 0. Если это начальное отклонение выходит за границу зоны застоя, т.е. |ϕ(0)| > ϕm, маятник, будучи освобождённым без толчка, т.е. с нулевой начальной скоростью, начнёт двигаться вправо (ω > 0), и его движение будет описываться верхним из уравнений (15.9). Это уравнение приводится к виду обычного уравнения гармонических колебаний, если сделать замену переменных ϕ + ϕm = ψ:

Решение уравнения (15.11) представляет собой простое гармоническое колебание с частотой ω0:

ψ = ψ0 cosω0t,

откуда найдём зависимость ϕ от t:

ϕ = – ϕm + ψ0 cosω0t.

Среднее положение, около которого происходят эти колебания, совпадает, как видим, с левой границей зоны застоя ϕm. Это смещение среднего положения колебаний маятника вызвано постоянным моментом силы сухого трения, который действует на маятник влево (по часовой стрелке), пока он движется вправо (вращаясь против часовой стрелки).

Амплитуду колебаний, т.е. модуль величины ψ0, найдём из начального условия ϕ(0) = – ϕ0:

–ϕ0 = – ϕm + ψ0, ψ0 = –(ϕ0 – ϕm), |ψ0| = ϕ0 –ϕm.

Как видим, амплитуда колебания около средней точки –ϕm равна

ϕ0 – ϕm.

113

На рис. 15.2 показаны графики колебаний, затухающих под действием сухого трения, время выражено в единицах собственного периода колебаний, пунктирная линия изображает зависимость амплитуды от времени. Первый отрезок графика таких колебаний представляет собой часть синусоиды со средней точкой, смещённой вниз от оси абсцисс на расстояние – ϕm. Крайнее отклонение маятника вправо (верхняя часть синусоиды) в конце первого полупериода колебаний равно ϕ0 – 2ϕm.

Рис. 15.2

Когда маятник достигает этого положения, его угловая скорость обращается в нуль. Затем он начинает двигаться назад, т.е. влево. Поскольку при этом его угловая скорость ϕ отрицательна, мы

должны перейти ко второму уравнению (15.10). Значения ϕ и ϕ в

конце предыдущего полупериода служат начальными условиями для дальнейшего движения. Это движение опять представляет собой половину цикла гармонического колебания той же самой частоты ω0, но средняя точка колебаний теперь смещена к правой границе зоны застоя ϕm. Амплитуда соответствующего сегмента синусоиды равна ϕ0 – 3ϕm. Продолжив дальше такой анализ движения, заключаем, что в последующие полупериоды маятник совершает гармонические колебания около средних точек, поочерёдно сме-

114

щённых к границам мёртвой зоны ϕm и –ϕm. Каждому полупериоду соответствует одна и та же частота ω0 (частота собственных колебаний в отсутствие трения). Поэтому длительность каждого цикла затухающих колебаний равна периоду Т0 = 2π/ω0 собственных колебаний осциллятора в отсутствие трения.

Сшивание синусоидальных сегментов, средние точки которых поочерёдно смещены к правой и левой границам мёртвой зоны, даёт всю кривую процесса затухания колебаний под действием сухого трения, показанную на рис. 15.2. После каждого полного цикла таких колебаний максимальное отклонение маятника уменьшается на одну и ту же величину, равную удвоенной ширине зон застоя (т.е. на величину 4ϕm). Колебания продолжаются до тех пор, пока конечная точка очередного сегмента синусоиды не окажется внутри зоны застоя (–ϕm, ϕm).

Таким образом, в случае затухания под действием сухого трения максимальные отклонения маятника убывают по линейному закону (см. рис. 15.2). Последовательность максимальных отклонений образует убывающую арифметическую прогрессию, и колебания полностью прекращаются через конечное число циклов, в противоположность случаю вязкого трения, когда максимальные отклонения убывают в геометрической прогрессии (экспоненциально) и формально движение продолжается бесконечно долго.

Следует иметь в виду, что рассмотренные нами виды затухания колебаний всегда существуют одновременно. Причём при сравнительно больших амплитудах колебаний основную роль может играть сила вязкого трения. При малой амплитуде вязкое трения также делается малым и преобладающая роль в затухании колебаний переходит к сухому трению. Поэтому график колебаний, можно сказать, «склеен» из двух графиков: на завершающем участке колебания затухают под действием сухого трения и их амплитуда убывает по линейному закону, на начальном участке, если амплитуда была достаточно велика, амплитуда убывает по экспоненциальному закону.

Описание установки и метода измерений

Измерения проводятся в полуавтоматическом режиме на установке, схема которой изображена на рис. 15.3. Ось маятника со-

115

единена с подвижным контактом реостата, концы которого подключены к источнику постоянного напряжения. Параллельно реостату подключены два одинаковых резистора R1, образующих делитель напряжения.

m

Рис. 15.3

Когда маятник находится в состоянии равновесия, подвижной контакт реостата находится в середине реостата и напряжение между точками А и В равно нулю. При отклонении от равновесного положения маятник поворачивает ось реостата, его контакт сдвигается (точка А1), и между контактом реостата (точкой А1) и серединой делителя напряжения (точкой В) возникает напряжение пропорциональное углу поворота маятника. Это напряжение подаётся на вход звуковой платы компьютера. Параллельно входу звуковой платы подключён конденсатор большой ёмкости, нужный для уменьшения шумов, возникающих при движении ползунка реостата. Программа обработки сигнала выводит на экран график колебаний.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Изучение колебаний с сухим трением

1.Включите компьютер и запустите программу «Колебания». На экране появится стартовое окно программы (15.4).

2.Нажмите кнопку ПУСК, после чего появится новое окно (рис. 15.5). Введите в окно вашу фамилию и инициалы.

3.Нажмите Ok, вызвав основное окно программы (рис. 15.6).

116

8. Получите график зависимости амплитуды колебаний от времени (рис. 15.7), нажав кнопку Огибающая. Одновременно вы сохраните график в файле Колебания на рабочем столе Windows.

Рис. 15.7

9.Вызовите обычный диалог печати, нажав кнопку Печать. Распечатайте график, выбрав нужные опции или оставив стандартные.

10.По графику определите период колебаний T.

11.По начальному углу отклонения и числу колебаний маятника до его остановки (определите это всё по графику) оцените угол

застоя ϕm.

12. По формуле (15.9) вычислите момент силы трения. При вычислениях примите массу груза равной 0,5 кг, длину маятника измерьте самостоятельно.

2.Изучение колебаний с вязким трением

1.Поставьте под груз ванночку и наполните её водой до половины. Теперь движение груза будет происходить в воде и трение будет вязким, пока амплитуда колебаний и, соответственно, скорость маятника будут достаточно большими.

2.Выполните пункты 1–9 предыдущего раздела.

3.По распечатанному графику колебаний, определите их период T. Также по графику колебаний определите коэффициент зату-

хания β и по формуле (15.5) логарифмический декремент затухания λ. Поскольку затухание колебаний определяется вязким трением

118

лишь при достаточно большой амплитуде колебаний, то для определения коэффициента затухания β необходимо использовать начальный участок графика колебаний, где скорость маятника была относительно велика. Для нахождения границы этой области следует построить огибающую колебаний, когда они сделались достаточно малыми и трение из вязкого сделалось сухим. Эта огибающая является прямой линией (сплошная линия на рис. 15.8), поскольку здесь преобладает сухое трение. Область, где амплитуда колебаний уже не подчиняется линейному закону убывания, это область преобладания вязкого трения (область под пунктирной прямой). Вот в этой области и следует находить β.

Рис. 15.8

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Каков физический смысл логарифмического декремента затухания?

2.Во сколько раз изменяется энергия маятника за время «жиз-

ни» колебаний τ?

3.Какое движение совершает маятник, если β > ω0?

4.По какому закону изменяется амплитуда колебаний под действием вязкого трения?

5.Как изменяется со временем энергия колебаний при вязком трении?

119

6.Постройте график зависимости энергии колебаний от времени при вязком трении.

7.Как зависит время жизни колебаний τ от начальной амплитуды колебаний при вязком трении?

8.В чём различие между колебаниями с сухим и вязким трени-

ем?

9.Как зависит частота колебаний маятника от величины сухого трения?

10.Как изменяется со временем энергия колебаний при сухом трении?

11.Постройте график зависимости энергии колебаний от времени при сухом трении.

12.Как зависит от начальной амплитуды время жизни колеба-

ний τ при сухом трении?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1.Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1 . СПб.: Лань, 2006.

2.Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 т. М.: Астрель: АСТ, 2007.

3.Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики. В 3-х т. Т. 1. СПб.:

Лань, 2009.

4.Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М: Бином, 2014.

5.Лисицын С.Г. Механика в задачах. М.: НИЯУ МИФИ, 2011.

Дополнительная

1.Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. М.: Наука, 1965 (и др. издания).

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1977 (и др. издания).

3.Матвеев А.Н. Механика. М.: Высшая школа, 1981.

120