Леонтева Сборник лабораторныкх работ по физике Мекханика 2015

Величина P = F/S называется напряжением. Коэффициент α – коэффициент упругости, зависящий только от материала, из которого сделан деформируемый образец. Вместо коэффициента упругости обычно используется обратная ему величина

которая называется модулем Юнга.

Используя выражения (6.1) и (6.2), представим относительное удлинение в виде

Полученное соотношение (в теории упругости его и называют законом Гука) позволяет выразить модуль Юнга через величины деформации и напряжения:

Методика опыта и описание прибора

Модули Юнга твёрдых тел обычно очень велики (E~1010– 1011 Па), поэтому для их определения согласно (6.4) требуются очень большие напряжения. В данной работе будем обходиться небольшими нагрузками, используя деформацию изгиба для определения модуля Юнга. Изгиб является совокупностью деформаций растяжения и сжатия.

Действительно, при изгибе стержня верхние его слои испытывают сжатие, нижние – растяжение (рис. 6.2). Некоторый средний слой,

так называемый нейтральный, ис- Рис. 6.2 кривляется, не меняя своей длины.

Перемещение, которое получает середина стержня при изгибе, называется стрелой прогиба (обычно обозначается λ). Величина λ зависит от модуля Юнга и приложенной нагрузки. Если стержень прямоугольного сечения опирается на опоры и изгибается сосредо-

51

точенной силой F, приложенной в середине стержня, то, как доказывается в теории упругости, эта зависимость выражается следующей формулой

где L – расстояние между опорами, a – ширина стержня, b – толщина стержня, F – сила.

Таким образом, зная L, a, b, F и измерив λ, можно определить модуль Юнга:

Установка для определения модуля Юнга схематически изображена на рис. 6.3. Вертикальные стойки А и В оканчиваются стальными призмами, на ребра которых кладётся испытуемый стержень. Середина стержня располагается против микрометрического винта. На середину стержня помещается подвес, на который кладутся грузы. Прогиб стержня определяется с помощью микрометра. Чтобы избежать увеличения стрелы прогиба из-за давления микрометрического винта, соприкосновение винта с подвесом определяется по загоранию лампочки.

Рис. 6.3

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Поместите стержень из исследуемого материала на рёбра призм и наденьте на него подвес для грузов (подвес должен располагаться посередине стержня).

2.Определите начальное положение середины стержня. Для этого приведите в действие электрическую схему и заметьте показание микрометра h0 в момент его соприкосновения с подвесом (в

52

момент загорания лампочки), при отсутствии нагрузки. Измерения h0 проделайте 5 раз, найдите среднее значение и результат запишите перед табл. 6.1.

3.Подвешивая различные грузы (семь комбинаций из грузов с

массами т1, т2, т3), аналогичным образом измерьте h1, h2 и т.д. соответственно каждой нагрузке. Результаты занесите в табл. 6.1.

Примечание: повторно измерять h0 после снятия нагрузок не надо, так как опыт проводится в пределах упругих деформаций.

4.По значениям h0, h1, h2, ... вычислите стрелу прогиба λi для каждого груза тi и, соответственно, значение отношений тi/λi. Результаты вычислений запишите в табл. 6.1. По полученным тi/λi найдите <т/λ> – среднее значение отношения т/λ и запишите результат в табл. 6.1.

Таблица 6.1

h0 = ___________

5.Измерьте штангенциркулем ширину стержня a и микрометром толщину b. Результаты измерений запишите в табл. 6.2. Измерьте также величину L – расстояние между опорами, и запишите результаты в таблицу 6.1.

6.По формуле (6.6) подсчитайте среднюю величину E модуля Юнга, используя значения a, b, g m/λ взятые из табл. 6.1. Не забудьте, что модуль Юнга измеряется в тех же единицах, что и давление, т.е. в паскалях.

7.В данном опыте погрешности измерений a, b, L невелики,

поэтому погрешность измерения модуля Юнга Е определяется главным образом погрешностью величины m/λ. Подсчитайте погрешность (m/λ) по данным табл. 6.1, а затем относительную δE и

53

Работа № 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Цель работы: определить модуль сдвига для стали или меди.

Приборы и принадлежности: крестовина, подвешенная на проволоке из исследуемого материала, 4 цилиндрических груза, секундомер, микрометр, штангенциркуль.

ВВЕДЕНИЕ

Сдвигом называется такая деформация твёрдого тела, при которой сохраняется его объем. Примером сдвига может служить деформация, при которой слои, параллельные некоторой плоскости – плоскости сдвига – не искривляясь и не меняя своих размеров, перемещаются параллельно друг другу.

S F

x

y γ

Рис. 7.1

Такая деформация происходит, если, например, одну из граней параллелепипеда (нижнюю на рис. 7.1), закрепить неподвижно, а к противоположной грани приложить касательную силу F.

Величина x, называемая абсолютным сдвигом, различна для различных слоёв, отношение же x/y постоянно. Это отношение называется относительным сдвигом и является характеристикой деформации сдвига. Из рис. 7.1 видно, что x/y = tgγ, а так как угол сдвига γ очень мал, то tgγ ≈ γ и относительный сдвиг x/y ≈ γ. Если касательная сила F распределена на площади S грани равномерно, то в каждом сечении, параллельном этой грани, возникает касательное напряжение (усилие), уравновешивающее эту силу:

55

56

где I2 – момент инерции системы, нагруженной четырьмя грузами, I1 – момент инерции системы, нагруженной двумя грузами. Тогда разность I2 – I1 есть не что иное, как момент инерции двух грузов относительно оси вращения. Согласно теореме Штейнера

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерьте рулеткой длину проволоки L и запишите результаты перед табл. 7.1.

57

2.Взвесьте на технических весах все четыре груза вместе. Вы получите массу четырёх грузов М. Массу одного груза вы получите как m = M/4. Запишите величину массы груза перед табл. 7.1.

3.Измерьте в нескольких местах с помощью микрометра диа-

метр 2r проволоки, найдите радиус проволоки ri для каждого измерения и по ним средний радиус

r = r1 + r2 +... + rn . n

Данные запишите в табл. 7.1.

4. Измерьте в нескольких местах внутренний 2R1 и внешний 2R2 диаметры цилиндра, определите R1, R2 и по ним средние значения

радиусов R1, R2. Все полученные данные занесите в таблицу 7.1.

5. Измерьте расстояние d от оси вращения до осей, проходящих через центр тяжести добавочных грузов. Как и ранее найдите среднее d . Занесите результаты в табл. 7.1.

6. Закрутите крестовину с двумя грузами на угол 100 – 150 и определите t1 – время 30 колебаний крестовины, нагруженной двумя грузами, а затем t2 – время 30 колебаний крестовины, нагруженной четырьмя грузами. Каждое измерение проделайте не менее пяти раз, каждый раз вычисляя периоды T1 = t1/30 и T2 = t2/30. Занесите измерения в табл. 7.2.

58

7.Подсчитайте по формуле (7.6) на основании данных табл. 7.1

и7.2 величину модуля сдвига материала проволоки G.

8.Определите погрешность измерений. Для вычисления погрешности в данном случае легче сначала найти относительную погрешность, а по ней – абсолютную.

Относительная погрешность согласно (7.6) определяется погрешностями измерений длины L и радиуса проволоки r, периода

колебаний грузов T и моментов инерции I1 и I2. Нетрудно понять, что последние три величины измеряются с большей точностью, чем первые две. Наибольшую погрешность даёт измерение радиуса проволоки просто потому, что проволока чаще всего неровная. Эта же причина даёт и сравнительно большую погрешность измерения длины проволоки. Поэтому

Поскольку длина проволоки L измеряется рулеткой, то погрешность такого измерения L имеет порядок одного сантиметра. Погрешность r находится обычным образом – определяются абсолютные погрешности отдельных измерений:

и находится средняя квадратичная погрешность

Найденные погрешности подставляются в формулу (7.9) и вычисляется относительная погрешность

ε = GG .

Ответ представьте в виде

G =G ± G.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какая деформация называется сдвигом?

2.Чему равен модуль сдвига жидкости?

3.Что представляет собой деформация кручения?

59

4.Докажите справедливость выражения (7.8) для момента

инерции полого цилиндра. Указание: момент инерции сплошного цилиндра равен, как известно, mR2/2.

5.Многие конструкции делают из труб (рамы велосипедов, мотоциклов и т.п.), точно также многие кости скелета человека и позвоночных животных полые. Почему, ведь, казалось бы, тонкостенная труба значительно теряет в прочности?

Приложение к работе 7

МОДУЛЬ КРУЧЕНИЯ

расстояния до оси r.

Деформация стержня приводит к возникновению упругих сил в стержне, момент которых нетрудно вычислить. Согласно закону Гука напряжение σ при сдвиге связано с углом сдвига γ и модулем сдвига G соотношением

60