Принципы построения систем автоматического управления

1. Принцип возмущения или регулирование по возмущению (рис.4).

Рис. 2.4. Структурная схема регулирования по возмущению

В системах построенных по данному принципу выходная координата y инвариантна по отношению к возмущению F, т.е. действующие на объект возмущения не приводят к отклонениям выходной координаты от требуемого закона.

Принцип действия таких систем состоит в том, что возмущения, действующие на ОУ заранее измеряются измерительным элементом (ИЭ) и подаются на вход УУ, которое вырабатывает сигнал управления уже с учетом действующего на объект возмущения.

Недостатком данного принципа является то, что для качественного управления необходимо иметь большое число предварительной информации о возмущающих воздействиях, что ограничивает применение таких систем.

2. Принцип отклонения или регулирование по отклонению (принцип обратной связи) (рис.2.5).

Рис. 2.5. Структурная схема регулирования по отклонению

На рисунке обозначено:

В данном случае ошибка системы:

 (t) = g(t) – y1(t)

(2.3)

Принцип действия: Пусть при увеличении возмущения F выходная координата объекта y уменьшается, что приводит к уменьшению y₁, следовательно возрастает ошибка  из выражения (2.3) и соответственно управляющее воздействие u. Объект управления выравнивает значение выходной величины, т.е. y возрастает примерно до прежнего значения (рис. 2.6).

Определения:

1. Связь выхода звена САУ с его входом называется обратной связью (ОС).

2. Связь выхода системы с её входом называется главной обратной связью (ГОС).

3. Если сигнал ОС вычитается из входного, то ОС называется отрицательной обратной связью (ООС).

4. Если сигнал ОС складывается со входным, то ОС называется положительной обратной связью (ПОС).

Необходимо отметить, что в принципе отклонения главная обратная связь должна быть всегда отрицательной, т.е.

 (t) = g(t) – y(t)

(2.4)

5. Если на объекте управления можно выбрать одно или два наиболее сильно действующих возмущения, которые можно измерить, то используют комбинированные системы, применяя оба названных принципа (рис.2.6).

Рис. 2.6. Структурная схема принципа действия САУ при увеличении возмущающего воздействия F

4. Принцип дуального управления или принцип автоматической оптимизации (рис.2.7).

Рис. 2.7. Структурная схема принципа дуального управления

Дуальное управление исследует двойную цель – изучение объекта и одновременное приведение его к требуемому режиму.

Классификация систем будет производиться для систем, построенных по принципу отклонения (принцип ОС).

Все системы по своему математическому описанию делятся на два класса: линейные; нелинейные.

Линейных систем в природе нет, т.е. реально все существующие САУ нелинейны. Под линейными системами понимаются приближенные линейные математические модели реальных нелинейных систем. Большинство реальных систем можно свести к линейным, т.е. нелинейности в них являются несущественными (насыщение усилителей, петля гистерезиса и т.п.).

В тех случаях, когда нелинейности в САУ существенны и их нельзя линеаризовать, рассматриваются нелинейные модели, и применяются методы исследования нелинейной ТАУ.

В свою очередь линейные и нелинейные системы по принципу ОС делятся на три класса:

1. Непрерывные системы. Это такие системы, в которых контур ОС работает (функционирует) непрерывно во времени.

2. Релейные системы – более узкий класс систем, чем непрерывные. Это системы, где в контуре регулирования стоит релейный элемент (реле), т.е. контур обратной связи замыкается тогда, когда ошибка  a (a – зона нечувствительности реле – наперёд заданная величина) и размыкается, когда ошибка  b (отключение реле), где a > b. Отметим, что релейные системы существенно нелинейны и их нельзя заменять линейными математическими моделями. Для построения систем оптимальных по быстродействию (важный класс) в большинстве случаев используют системы с релейными элементами.

3. Дискретные системы. Это такие системы, в которых замыкание контура ОС происходит дискретно во времени. Кроме того, амплитуда входного сигнала может быть квантована по времени. Среди дискретных систем наибольшее применение получили импульсные системы регулирования и управления. Это такие системы, в которых происходит квантование ОС только по времени. Т.е. связи замыкаются с определенной, наперёд заданной частотой.

При исследовании САУ в ТАУ, как правило, имеют дело не с физическими объектами, а с их математическими моделями. Характеристики элементов САУ могут быть заданы аналитически, графически или в виде таблиц, которые позволяют определить поведение элемента или системы в любой момент времени.

Одной из наиболее распространенных форм записи математической модели поведения САУ являются дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных).

Для составления математической модели, как правило, необходимо проделать три этапа:

1. Выделить физические величины, которые наиболее полно и правильно отражают поведение элемента;

2. Исходя из физической природы работы элемента составить функциональные связи между выделенными физическими величинами;

3. Полученную математическую модель привести к стандартному виду, с точки зрения процессов управления.

Пример: Для заданной электрической цепи составить дифференциальные уравнения

Д ано:

R = 5; L = 10; C = 12

; ; ; ;

; ; ;

;

При подстановке данных получаем окончательное дифференциальное уравнение:

Дифференциальные уравнения, описывающие динамику физической системы, получают­ся на основании фундаментальных физических законов. Этот метод в равной степени при­меним к механическим, электрическим, гидравлическим и термодинамическим системам.

Примеры систем

1. Система стабилизации (статическая система)

Рис. 2.8. Принципиальная схема

системы стабилизации

u_з– напряжение задающего сигнала; u_ос – напряжение обратной связи; u_ – напряжение ошибки системы; u_y – выходное напряжение усилителя (напряжение управления); Тг – тахогенератор, измеритель скорости вращения двигателя (U_ос = k_Тг);

При изменении момента сопротивления (нагрузки) двигателя в такой системе, его скорость вращения в установившемся режиме должна оставаться постоянной. .е. M – var,  – const (в определенном диапазоне изменения M, что обычно задаётся). Ошибка системы:

u_ = u_з – u_ос (2.5)

Работа состоит в следующем: При M_с, , u_oc, u_, u_y ,  примерно до прежнего состояния.

В статических системах ошибка u_ в установившемся режиме не может быть равна нулю. Т.е. эти системы характеризуются наличием статической ошибки, которая обычно задается при проектировании САУ и чем меньше эта ошибка, тем точнее осуществляется стабилизация выходной координаты системы.

2. Следящая система (астатическая система)

Рис. 2.9. Принципиальная схема следящей системы

П₁ – задающий потенциометр (угол задания _з);

В качестве измерителя угла поворота вала двигателя служит потенциометр П₂;

u_ – напряжение ошибки, пропорциональное углам рассогласования следящей системы

u = kп (з –  )

(2.6)

Принимаем, что при u_y  0   0, т.е. зона нечувствительности отсутствует, в реальных же системах при M_нагр  0   0 при u_y  a.

Работа системы: На П₁ задаем _з, появилось u_. и u_y, двигатель начал работать, приводя в движение через редуктор нагрузку, одновременно поворачивая движок потенциометра П₂ в сторону уменьшения рассогласования из (6). При достижении  = _з, u_ = 0 и u_y = 0 работа двигателя прекращается.

Таким образом, в следящих или астатических системах, статическая ошибка равна нулю.

В реальных системах обычно есть нелинейные элементы (кривые намагничивания, насыщения, гистерезис и т.п.), поэтому для перехода от реальной системы к идеализированной линейной необходимо произвести линеаризацию нелинейных характеристик системы.

В основе линеаризации нелинейностей лежит предположение о том, что в исследуемой САУ переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются всё время достаточно малыми.

Достаточная малость отклонений переменных в системах стабилизации и следящих системах обычно выполняется, т.к. этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы.

Линеаризация может быть осуществлена: графическим способом; аналитическим способом.

Если имеем графическую зависимость вход-выход нелинейного звена системы, например, в виде рис.2.10.

1.1. Метод касательной. Установившийся режим соответствует точке . Проведя касательную в этой точке, отрезок кривой можно заменить прямой. Из графика видно, что чем больше отклонение входной величины от установившегося состояния, тем больше ошибка линеаризации (требование к качеству).

Рис. 2.10. Иллюстрация метода касательной

1.2. Метод секущей. Если необходимо провести линеаризацию в области , то используется метод секущей (рис.2.11).

,

где

Рис. 2.11. Иллюстрация метода секущей

2. Если нелинейная функция задана (известна) в виде математического (аналитического) описания, например , где x₁ и x₂ – входные координаты и y допускает хотя бы одно дифференцирование по обеим координатам. Раскладываем эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося режима и при малых отклонениях и .

(2.7)

Уравнение (2.7) представляет собой члены 1-го порядка ряда Тейлора нелинейной функции . Таким образом, исходную нелинейную зависимость двух переменных мы заменили линейной комбинацией отклонений от установившегося режима.

Передаточные функции. Кроме дифференциальных уравнений в ТАУ используются различные их преобразования, т.к. решение дифференциальных уравнений высокого порядка вызывает значительные трудности. Решения дифференциальных уравнений исследуются косвенными методами. Наиболее удобна алгебраизация дифференциальных уравнений.

Формальным обоснованием алгебраизации служит интегральное преобразование Лапласа, Карсона-Хэвисайда и Фурье.

Полученная в результате преобразований динамическая характеристика есть передаточная функция (ПФ).

В общем случае передаточная функция есть соотношение между входными и выходными переменными объекта или системы в операторной форме при нулевых начальных условиях.

Примем в качестве оператора, оператор дифференцирования . Отметим, что передаточные функции существуют только для линейных объектов.

Пусть система описывается дифференциальными уравнениями состояния и выхода:

(2.8)

причем для реальных объектов n > m.

Первое уравнение (2.8) можно записать

или где

– единичная матрица, .

, где – обратная матрица .

С учетом второго уравнения (2.8)

.

(2.9)

Обозначим –передаточная функция (функция оператора от p).

– т.к. y и u имеют m компонент.

.

(2.10)

Передаточная функция есть отношение оператора выходного сигнала к оператору входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Матричная передаточная функция (2.10) показывает какими операторными выражениями связаны между собой компоненты вектора y и u.

.

(2.11)

Если все u_j=0 и ij то .

W_ii(p) – собственная передаточная функция i-го канала, отражает соотношение между i-м входом и выходом при нулевых остальных входах.

Если один из элементов матрицы ПФ (3) равен 0, то это означает, что в рассматриваемой системе связь между соответствующими компонентами вектора y и вектора u отсутствует.

Понятие передаточной функции было введено при изучении скалярных систем, а затем расширено на многосвязные.

Удобство этого понятия состоит в следующем:

1. Позволяет в алгебраической форме отобразить соотношение между входом и выходом.

2. Допускает простую структурную интерпретацию.

3. Позволяет выявить ряд типовых элементов САУ.

4. ПФ тесно связана с понятием частотной характеристики.

Одним из распространенных в ТАУ является операторный метод, основанный на преобразовании Лапласа.

Преобразованием Лапласа называют преобразование функции f(t) переменной t в функцию F(p) другой переменной p с помощью интеграла

.

(2.12)

Функция f(t) называется оригиналом, F(p) – изображением функции f(t). – оператор Лапласа (комплексное число). Связь оригинала и изображения осуществляется записью .

Свойства преобразования по Лапласу.

1. Теорема суперпозиции: Изображение суммы равно сумме изображений слагаемых.

2. Изображение постоянной величины есть постоянная, деленная на оператор p.

3. Теорема линейности: Умножение оригинала на постоянную величину A влечет умножение изображения на эту постоянную.

4. Изображение производной n-го порядка соответствует умножению оператора p степени n на изображение функции при нулевых начальных условиях.

5. Изображение интеграла кратности n функции f(t) соответствует умножению изображения функции на при нулевых начальных условиях.

6. Теорема подобия (изменение масштаба): Если аргумент функции умножен на постоянное число A, то это соответствует умножению на изображения и аргумента изображения. .

Передаточную функцию, используя свойства преобразований Лапласа, можно получить аналогично предыдущему:

или

,

.

Пример:

.

;

где i, j элемент получен из выражения

, M_ij – минор i, j элементов.

– характеристический полином системы;

– характеристическое уравнение системы.

Передаточная функция скалярных систем

Имеем дифференциальное уравнение, описывающее поведение скалярной системы

.

(2.13)

Используя свойства преобразования Лапласа перепишем (1) в изображениях

.

(2.14)

По определению, тогда передаточная функция

,

(2.15)

где A(p), B(p) – соответственно полиномы знаменателя и числителя передаточной функции.

В ТАУ W(p) принято записывать в нормированном виде, когда свободные члены в полиномах A(p) и B(p) равны 1.

(2.16)

где – коэффициент передачи (усиления) элемента или системы.

Пример:

По свойствам преобразования Лапласа найдем

.

Итак, .

Имея передаточную функцию на структурных схемах, связь между входом u(p) и выходом y(p) можно показать в виде (рис.2.12).

Рис. 2.12. Структура связи между входом u(p) и выходом y(p)

Если полином , стоящий в знаменателе, приравнять нулю, то мы получим харак­теристическое уравнение, названное так потому, что его корни определяют характер движения системы. Корни характеристического уравнения называют также полюсами системы. Корни полинома , стоящего в числителе, называют нулями системы. В полюсах функция обращается в беско­нечность, а в нулях она становится равной нулю. Расположение полюсов и нулей на комп­лексной s-плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы.

Структурные схемы

Динамические системы, в том числе и системы автоматического управления, на языке ма­тематики описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Как было отмечено в предыдущих разделах, использование преобразования Лапласа сводит задачу решения дифференциальных уравнений к решению системы линейных алгебраических уравнений. Поскольку в системах управления путем изменения одних переменных произ­водится целенаправленное воздействие на другие переменные, то необходимо установить связь между этими переменными. Данную связь обычно представляют в виде передаточ­ной функции, которая является одним из основных понятий теории управления.

Преимущество передаточной функции заключается в том, что она позволяет изобра­зить причинно-следственную связь между переменными в наглядной схематической фор­ме. В теории управления преобладает представление различных динамических систем в виде структурных схем. Структурные схемы состоят из блоков направленного действия, каждому из которых соответствует определенная передаточная функция. Так, на рис. 2.13 изображена структурная схема двигателя постоянного тока, управляемого по цепи воз­буждения, которая отражает связь между углом поворота и приложенным напряже­нием

Рис. 2.13. Структурная схема двигателя постоянного тока

Для описания системы с несколькими управляемыми переменными используется структурная схема с перекрестными связями. Например, в системе на рис. 2.14 имеются две входных и две выходных переменных.

Рис.2.14. Система с двумя входами и двумя выходами

С помощью передаточных функций мы можем записать связывающие их уравнения:

где - передаточная функция от входа к выходу. Структурная схема, отражающая записанные выше уравнения представлена на рис.2.15. В общем случае, при наличии J входов и I выходов, связывающие их уравнения можно записать в матричной форме:

,

или в компактном виде

Здесь Y и R есть, соответственно, матрицы-столбцы, элементами которых являются I вы­ходных и J входных переменных, а G — матричная передаточная функция размерности I×J.

Рис.2.15. Структурная схема с перекрестными обратными связями

Пользуясь определенными правилами, структурную схему сложной системы можно упростить, сведя ее к конфигурации с меньшим числом блоков, чем в исходной системе. Поскольку передаточные функции являются средством описания линейных систем, им присуще свойство коммутативности. Следовательно, для поз. 1 из таблицы мы можем за­писать:

Если два блока соединены последовательно, то предыдущее уравнение можно записать также в виде

При этом предполагают, что если выход первого блока соединен со входом второго, то влияние нагрузки на первый блок является незначительным. Если же нагрузка оказы­вает существенное влияние на выходную переменную предшествующего блока, то инже­нер обязан учесть этот фактор и внести соответствующее изменение в передаточную фун­кцию.

Методы преобразования структурных схем основаны на рассмотрении алгебраиче­ских соотношений между отдельными переменными. Например, рассмотрим структур­ную схему, изображенную на рис. 2.16.

В этой системе с отрицательной обратной связью сигнал на входе объекта управления записывается в виде:

Таблица

Правила преобразования структурных схем

Преобразование	Исходная диаграмма	Эквивалентная диаграмма
1. Последовательное соединение блоков
2 .Перенос сумматора через блок с передаточной функцией (ПФ) по ходу движения сигнала
3. Перенос через блок с ПФ против движения сигнала
4. Перенос узла через блок с ПФ по ходу движения сигнала		+
5. Перенос сумматора через блок с ПФ против движения сигнала	+
6 . Исключение контура с обратной связью	+ + - H

Поскольку выходная переменная связана с этим сигналом передаточной функцией , то

и , следовательно,

Группируя члены при , получим:

Отсюда получим передаточную функцию, связывающую выход со входом:

Это выражение, известное как передаточная функция замкнутой системы, представляет особую ценность, т. к. оно свойственно большинству реальных систем управления.

Сведение структурной схемы, представленной на рис. 2.16, к одному-единственному блоку является лишь одним примером элементарных преобразований, приведенных в таблице. Анализ систем путем преобразования структурных схем дает гораздо лучшее представление о роли каждого элемента, чем это было бы при рассмотрении уравнений. Правила преобразования структурных схем мы проиллюстрируем на примере сведения многоконтурной системы к более простому виду.

Рис. 2.16. Система с отрицательной обратной связью

Рассмотрим упрощение структурной схемы на конкретном примере. На рис. 2.17 изображена структурная схема многоконтурной системы управления. Заметим, что сигнал подается на сумматор со знаком плюс, поэтому контур, образованный блоками , называют контуром с положительной обратной связью. Упрощение этой структурной схемы основано на применении правила 6 из табл. 2.1, которое связано с исключением изолированных контуров. Поэтому необходимо будет использовать и другие правила, чтобы подготовить схему к применению правила 6. Сначала, чтобы исключить кон­тур мы перенесем узел через блок С₄ по ходу движения сигнала (см. правило 4) и по­лучим схему, изображенную на рис. 2.18(а). Исключая контур по правилу 6, мы полу­чим схему рис. 2.18(б). Затем, исключая внутренний контур, содержащий Н₂/С₄, получим схе­му рис. 2.18(в). Наконец, исключая контур, содержащий Н₃, мы получим передаточную функ­цию замкнутой многоконтурной системы, как показано на рис. 2.18(г). Стоит обратить внимание на вид числителя и знаменателя этой передаточной функции. Можно видеть, что числитель образован произведением передаточных функций блоков, находящихся в прямой цепи от входа к выходу .

Рис. 2.17. Многоконтурная система управления

Знаменатель равен единице минус сумма произведений пере­даточных функций блоков, образующих замкнутые контуры. Произведение берется со знаком минус, так как в этих контурах обратная связь отрицательная. Чтобы лучше это проиллюстрировать, знаменатель можно записать в виде

а)

б).

в).

г).

Рис. 2.18. Этапы упрощения структурной схемы (рис. 2.17) связанные с исключением изолированных контуров

Метод структурных схем широко распространен в теории и практике автоматическо­го управления. Он дает очень наглядное графическое представление о взаимосвязи управ­ляемых и входных переменных. Кроме того, проектировщик легко может обнаружить не­обходимость введения в существующую структурную схему дополнительных блоков с целью улучшения характеристик системы.

Источники воздействий и сигналов

Чаще всего целью моделирования является изучение реакции системы или устройства на некоторые воздействия, в качестве которых нередко используются сигналы. Иногда их называют стандартными, или тестовыми, сигналами.

Слово «сигнал» происходит от латинского слова «сигнум» - знак. В физико-математическом представлении под сигналом можно подразумевать функциональную зависимость некоторого параметра (например, напряжения, тока, усиления, расстояния, и.т.д.) от другого параметра (например, времени, интенсивности и т.д.).

Сигнал можно рассматривать так же как форму, в которой облечена передаваемая, хранимая или передаваемая информация. Сигналы могут быть преобразованы в другую форму (например, электрические могут быть преобразованы в оптические и наоборот) при сохранении имеющейся в сигнале информации. Сигналы могут быть стационарным, если их параметры неизменны в ходе моделирования в ходе моделирования, или нестационарном, если они меняются – чаще во времени.

С помощью источников воздействия можно оценивать поведения различных устройств и систем. К примеру, важнейшие характеристики линейных усилителей рассматривается как его реакция на гармонический (синусоидальный) сигнал.

где амплитуда сигнала, - круговая частота (в рад/с), f – частота (в герцах), -фаза (в долях периода и градусах). Синусоидальный сигнал является периодической функцией времени t, где соответствует равенству где k –целое число. Синусоидальный сигнал стационарен – это означает, что его параметры (амплитуда, частота, фаза) не меняется во времени. Такой сигнал определен в интервале до ,то есть по существу он является теоретической абстракцией (энергия подобного сигнала равна бесконечности). Естественно, что на практике сигнал такого вида рассматривается в конечном интервале времени.

Целью моделирования импульсных систем и устройств часто является оценка их влияния на импульсные сигналы. В теоретическом аспекте особый интерес представляют два импульса – единичный импульс и единичный перепад.

Е диничный импульс, или - функция (дельта-функция Дирака), определяется соотношениями:

Физически этот сигнал не реализуем, но теоретически реакция на него линейной системы определяет ее импульсную характеристику.

Единичный скачок (функция Хевисайда) определяется выражением:

Единичный перепад легко реализуется физически, а реакция системы на него есть переходная характеристика . Иногда применяются несколько отличные выражения для единичного перепада, например считают, что его значение равным 1 при